Einführung in die Differentialrechnung

Aus ZUM-Unterrichten

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Blumenvase
GeoGebra


In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:

Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?

Barringer-Krater

Meteor.jpg

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Durchschnittliche Änderungsrate

Blumenvase
GeoGebra

Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...

Sekantensteigung

Barringer-Krater

Ich schreibe in den nächsten Tagen an diesem Abschnitt noch weiter (Roland)

Die Steigung der Sekante durch die Punkte und des Graphen der Funktion kann man mit

berechnen.

GeoGebra






GeoGebra

Verändere im Applet die Punkte A und B und ...

Berechne ..., indem du die Funktionswerte mit Hilfe der Funktionsvorschrift berechnest.



Vorlage: Differenzenquotient

Übungen? Übung


Sekante

Übung? Übung Sekante

Differenzenquotient

Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.

Differentialquotient

Der Differentialquotient f'(x0 ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten

Differentialquotient

Der Differentialquotient f'(x0) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 bezeichnet.

Der Differentialquotient f'(x0 )

  • beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
  • beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.


GeoGebra

Schreibe die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.

Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen in deinem Heft.





Vorlage: Differentialquotient

Durchschnittliche Änderungsrate => momentane Änderungsrate
Sekantensteigung => Tangentensteigung
Differenzenquotient => Differentialquotient


Übung1

Übung 2

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion

Kontext plus Übung