Einführung in die Integralrechnung

Vorlage:Lernpfad-M

Das Flächenproblem

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können. Wie groß ist der Flächeninhalt des Grundstücks? Wie groß ist der Wasserverbrauch?

Unter- und Obersumme

• Begriffsklärung Unter- und Obersumme
• Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².

1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
4. Lösung

• Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra

Das bestimmte Integral

• Informiere dich im  Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral" über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".

• Berechne: $\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$; $\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$; $\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x$
• Überprüfe die Lösung mit folgendem Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
•  Weitere Aufgaben mit Lösung

Flächenberechnung

• Aufgaben zur Flächenberechnung mit Geogebra
• Kläre die Bedeutung des Begriffs "negativer Flächeninhalt"!
• Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!

Integralfunktion

• Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
• Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
• Bearbeite nun als Zusammmenfassung das  Arbeitsblatt "Integralfunktion".

Zusätzliche Übungsaufgaben

• Integration mit unbekannten Grenzen

Für Interessierte

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit ausführlichem Beweis

• Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
• Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.