Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Abschlusstest und Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsexperiment: Unterschied zwischen den Seiten

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< Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Maria Eirich
 
Main>DinRoe
 
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Du bist nun am Ende des Lernpfades zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung angekommen.
= Zum Überlegen =
 
{| class="hintergrundfarbe8"
Um dein Wissen über Wahrscheinlichkeiten zu testen, bearbeite alle Aufgaben des folgenden Abschlusstest, der durchmischt Aufgaben zu allen Themen dieses Lernpfades erhält.
|-
 
| [[Datei:Idee-Icon.png|40px]] || Überlege dir zunächst weitere Sitautionen (neben der Shuffle-Funktion), in dem der Zufall eine Rolle spielt. Inwieweit sind diese Situationen zufällig?
Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.
Notiere diese Situationen und tausche dich anschließend mit deinem Übungspartner/ deiner Übungspartnerin aus.
|}


== Abschlusstest ==
= Was ist ein Zufallsexperiment? =
Viele Berechnungen, in dem der Zufall eine Rolle spielt, liegen Zufallsexperimente zugrunde.


=== Aufgabe 1 ===
Hier erfährst du was Zufallsexperimente sind:
<div class="zuordnungs-quiz">
{| class="hintergrundfarbe3"
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
Bestimme, ob es sich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente handelt oder nicht.
{|
|-
|-
|Zufallsexperiment || Eine Karte aus einem Kartenstapel ziehen || Wettervorhersage || Glücksrad drehen || Eine Person befragen, welche Partei sie wählen wird  
| [[Datei:Definition-Icon.png|50px]] || Ein '''Zufallsexperiment''' ist ein Versuch (Vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann, welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird.
|-
Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden.
| kein Zufallsexperiment || Hütchenspielen || Testen wann Wasser zu kochen beginnt
|-
 
|}
|}
</div>


Thema der Aufgabe: [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsexperiment Zufallsexperiment]
Kommen wir zu deinen notierten Situationen, in dem der Zufall eine Rolle spielt:


=== Aufgabe 2 ===
{| class="hintergrundfarbe9"
Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...
 
:a) eine schwarze Kugel zu ziehen?
 
:b) keine rote Kugel zu ziehen?
 
:c) eine rote oder weiße Kugel zu ziehen?
 
 
<popup name="Lösung">
:a) P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%
 
:b) P("keine rote Kugel") = 0,7907 => 79,07%
 
:c) P("weiße oder rote Kugel") = 0,2442 => 24,42%
</popup>
 
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 3 ===
Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:
:a) Die Zahl ist ungerade
:b) Die Zahl ist durch 4 teilbar
:c) Die Zahl ist eine Primzahl und gerade
:d) Die Zahl enthält die Ziffer 5
 
 
<popup name="Lösung">
'''Lösung für a):'''
 
A: Eine ungerade Zahl wird gezogen
 
A = {13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53}
 
P(A) = 0,5122 => 51,22%
 
'''Lösung für b):'''
 
B: Eine Zahl wird gezogen, die durch 4 teilbar ist
 
B = {16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52}
 
P(B) = 0,2439 => 24,39%
 
'''Lösung für c):'''
 
C: Eine Zahl wird gezogen, die Primzahl ist und gerade
 
C = { }
 
P(C) = 0
 
'''Lösung für d):'''
 
D: Die Zahl die gezogen wird, enthält die Ziffer 5
 
D = {15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53}
 
P(D) = 0,1951 => 19,51%
</popup>
Themen der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis|Ereignisse]] und [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 4 ===
In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.
:a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?
 
:b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im vierten Zug die rote zu ziehen, wenn die drei zuvor gezogenen Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden?
 
 
<popup name="Lösung">
'''Lösung für a):'''
 
P("rote Kugel ziehen") = 0,125 => 12,5%
 
'''Lösung für b):'''
 
P("rote Kugel ziehen") = 0,0833 => 8,33%
</popup>
 
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 5 ===
Ein nicht fairer Würfel mit den Augenzahlen 1-4 hat bei 500 Testdurchläufen folgende Daten geliefert:
 
{| class="wikitable"
|-
|-
! Augenzahl!! Eins !! Zwei !! Drei !! Vier
| [[Datei:Gedanken-icon.png|60px]]|| Sind alle deine Situationen Zufallsexperimente?
|-
Wenn ja, warum?
| Anzahl || 152 || 49 || 190 || 109
Wenn nein, warum nicht? Begründe deine Gedankengänge.
|}
|}


Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
= Beispiele für Zufallsexperimente =


:a) Wie häufig fällt die Augenzahl 3?
Wollen wir mal der Definition ein bisschen Leben einhauchen und sehen uns ein paar konkrete Beispiele für Zufallsexperimente an:
* Die '''Shuffle-Funktion''' in einer Playliste ist ein '''Zufallsexperiment''', weil:
:* man vorher nicht sagen kann, welcher Song als nächstes gespielt wird.
:* es soviele Ausgänge gibt, wie es Songs in der Playliste gibt
:* es sich beliebeig oft mit dem Knopfdruck auf Shuffle wiederholen lässt unter den gleichen Bedingungen


:b) Wie häufig fällt eine gerade Augenzahl?
[[Datei:Football-1658110 960 720.jpg|200px]]
* Ein '''Münzwurf''' ist ein '''Zufallsexperiment''', weil:
:* man vorher nicht bestimmen kann, ob Kopf oder Zahl oben liegt
:* es zwei Ausgänge gibt: Kopf und Zahl
:* ein Münzwurf sich beliebig oft wiederholen lässt unter gleichen Bedingungen


:c) Wie wahrscheinlich ist es, dass nicht die 1 fällt?
= Aufgaben zu Zufallsexperimenten =
 
== Aufgabe 1: Was sind Zufallsexperimente?==
<popup name="Lösung">
<quiz display="simple">
:a) P(A) = 0,38 => 38%
{ Wobei handelt es sich um ein Zufallsexperiment? }
 
+ Lose ziehen
:b) P(B) = 0,396 => 39,6%
+ Würfeln
 
- Siedetemperatur von Wasser in einem Experiment bestimmen
:c) P(C) = 0,696 => 69,6%
|| Wasser fängt immer bei 100°C an zu sieden, daher ist das Ergebnis vorhersagbar und es handelt sich nicht um ein Zufallsexperiment
</popup>
+ Spielkarten aus einem Kartendeck ziehen
 
- Bestimmen der Innenwinkelsumme eines zufälligen Dreiecks
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit|Gesetz der großen Zahlen]]
|| Auch wenn man ein zufälliges Dreieck auswählt, beträgt die Innenwinkelsumme immer 180°. Daher ist das Ergebnis vorhersgbar und es handelt sich nicht um ein Zufallsexperiment
 
</quiz>
=== Aufgabe 6 ===
Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
:a) A: Es handelt sich um ein „E“.
:b) B: Es handelt sich um einen Konsonanten.
:c) C: Es handelt sich um einen Vokal.


== Aufgabe 2: eigene Zufallsexperimente ==
Überlege dir, wo dir im Alltag Zufallsexperimente begegnet sind. Notiere dir drei dieser Zufallsexpermiente und begründe, warum es sich um Zufallsexperimente handelt und welche mögliche Ausgänge sie haben.


Tausche dich anschließend mit deinem Lernpartner aus und lass dir von deinem Lernpartner die Begründung nennen, warum es sich um Zufallsexperimente handelt.
<popup name="Lösung">
<popup name="Lösung">
:a) P(A) = 0,1176
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen.
 
:b) P(B) = 0,647
 
:c) P(C) = 0,3529
</popup>
 
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 7 ===
In einem Würfelspielt steht folgende Spielregel: "Man werfe zwei Würfel und bilde die größtmögliche Zahl aus den beiden Augenzahlen" (Beispiel: Wenn man eine 2 und eine 4 würfelt, ist das die Zahl 42)


:a) Gib den Ergebnisraum für dieses Spiel an.


:b) Gib folgende Ereignismengen an:
Auf einem Jahrmarkt oder bei Gewinnspielen findet man manchmal Glücksräder, die man auf ein bestimmtes Feld zum Halten bringen muss, um einen Preis zu gewinnen.
::1) A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
::2) B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.
::3) D: Die Zahl ist größer als 50.


Es handelt sich um ein Zufallsexperiment da...


<popup name="Lösung">
*es mehrere mögliche Ausgänge gibt (jedes Feld des Glücksrades ist ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments)
:a) <math>\Omega</math> = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 52, 62, 33, 43, 53, 63, 44, 54, 64, 55, 65, 66}
*man vorher nicht sicher sagen kann, wo das Glücksrad beim nächsten mal stehen bleibt
*man es beliebeig oft wiederholen kann


:b)
::1) A = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
::2) B = {41, 42, 43, 44, 54, 64}
::3) C = {53, 54, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 66}
</popup>
</popup>


Themen der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ergebnis_und_Ergebnismenge|Ergebnisraum]] und [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis|Ereignisse]]
== Aufgabe 3: Lückentext ==
<div class="lueckentext-quiz">
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen '''Ausgang''' man nicht '''vorhersagen''' kann. Bei einem '''Zufallsexperiment''' sollen '''mehrere''' mögliche Ausgänge möglich sein und es soll '''beliebig oft''' unter den '''gleichen''' Bedingungen wiederholbar sein.


=== Aufgabe 8 ===
Eine Münze oder einen '''Würfel''' zu werfen zählen zu Zufallsexperimenten. '''Test''' ist kein Zufallsexperiment.
Eine Klassenarbeit in Mathematik hat den folgenden Notenspiegel:
</div>
{| class="wikitable"
|-
| Eins || Zwei || Drei || Vier || Fünf || Sechs
|-
| 2 || 6 || 9 || 7 || 3 || 1
|}


:a)Wie wahrscheinlich ist es eine Zwei zu haben?
== Aufgabe 4: Zufallsexperiment oder kein Zufallsexperiment? ==
 
<div class="zuordnungs-quiz">
:b) Wie wahrscheinlich ist es durchgefallen zu sein?
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
 
Ordne die Bilder und Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.
:c) Wie wahrscheinlich ist es, dass man die Note 3 oder besser geschrieben hat?
{|  
 
| Zufallsexperiment || Lotto spielen || Wettervorhersage || Ergebnis eines Fußballspiels
:d) Wie viele Schülerinnen und Schüler hätten eine 2 schreiben müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für eine 2 bei P(„Die Note 2“) = 0,25 liegt?
 
 
<popup name="Lösung">
:a) P("Note Zwei") = 0,214 => 21,4%
 
:b) P("durchgefallen") = 0,143 => 14,3%
 
:c) P("Note 3 oder besser") = 0,607 => 60,7%
 
:d) Es hätten 7 SchülerInnen die Note 2 schreiben müssen.
</popup>
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
=== Aufgabe 9 ===
Im Sommer 2009 gab es in Berlin folgende Zahlen an Schulabgängern:
 
{| class="wikitable"
|-
| Gesamtzahl || mit allgemeiner Hochschulreife || mit mittlerem Schulabschluss || Hauptschulabschluss || ohne Schulabschluss
|-
|-
| 24 600 || 11 600 || 6 400 || 4 500 || 2 100
| kein Zufallsexperiment || Hütchenspielen
|}
|}
 
</div>
Berechne die Wahrscheinlichkeit...
 
:a) dass ein Schulabgänger im Jahr 2009 mit mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
:b) dass ein Schüler mit allgemeiner Hochschulreife oder mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
:c) dass ein Schüler mit Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
<popup name="Lösung">
:a) P("mittlerer Schulabschluss") = 0,2602 => 26,02%
 
:b) P("Hochschuleife oder mittlerer Schulabschluss") = 0,7317 => 73,17%
 
:c) P("Schulabschluss") = 0,9146 => 91,46%
</popup>
Themen der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit|Gesetz der großen Zahlen]] und [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Ereignis|Ereignisse]]
 
=== Aufgabe 10 ===
Ein Glücksrad ist in 12 gleichgroße Sektoren eingeteilt, die von 1 bis 12 nummeriert sind. Das Glücksrad wird einmal gedreht.
 
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man...
 
a) eine Zahl, die größer 10 oder kleiner als 3 ist?
 
b) eine Primzahl?
 
c) eine Zahl, die durch 4 teilbar ist?
 
 
 
<popup name="Lösung">
'''Lösung für a):'''
 
P(A) = 0,33
 
'''Lösung für b):'''
 
P(B) = 0,4167
 
'''Lösung für c):'''
 
P(C) = 0,25
</popup>
Thema der Aufgabe: [[../Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Laplace-Experiment|Laplace-Experiment]]
 
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

Version vom 9. November 2017, 20:45 Uhr

Zum Überlegen

Datei:Idee-Icon.png Überlege dir zunächst weitere Sitautionen (neben der Shuffle-Funktion), in dem der Zufall eine Rolle spielt. Inwieweit sind diese Situationen zufällig?

Notiere diese Situationen und tausche dich anschließend mit deinem Übungspartner/ deiner Übungspartnerin aus.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Viele Berechnungen, in dem der Zufall eine Rolle spielt, liegen Zufallsexperimente zugrunde.

Hier erfährst du was Zufallsexperimente sind:

Datei:Definition-Icon.png Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch (Vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann, welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird.

Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden.

Kommen wir zu deinen notierten Situationen, in dem der Zufall eine Rolle spielt:

Datei:Gedanken-icon.png Sind alle deine Situationen Zufallsexperimente?

Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? Begründe deine Gedankengänge.

Beispiele für Zufallsexperimente

Wollen wir mal der Definition ein bisschen Leben einhauchen und sehen uns ein paar konkrete Beispiele für Zufallsexperimente an:

  • Die Shuffle-Funktion in einer Playliste ist ein Zufallsexperiment, weil:
  • man vorher nicht sagen kann, welcher Song als nächstes gespielt wird.
  • es soviele Ausgänge gibt, wie es Songs in der Playliste gibt
  • es sich beliebeig oft mit dem Knopfdruck auf Shuffle wiederholen lässt unter den gleichen Bedingungen

Football-1658110 960 720.jpg

  • Ein Münzwurf ist ein Zufallsexperiment, weil:
  • man vorher nicht bestimmen kann, ob Kopf oder Zahl oben liegt
  • es zwei Ausgänge gibt: Kopf und Zahl
  • ein Münzwurf sich beliebig oft wiederholen lässt unter gleichen Bedingungen

Aufgaben zu Zufallsexperimenten

Aufgabe 1: Was sind Zufallsexperimente?

Wobei handelt es sich um ein Zufallsexperiment?

Lose ziehen
Würfeln
Siedetemperatur von Wasser in einem Experiment bestimmen
Spielkarten aus einem Kartendeck ziehen
Bestimmen der Innenwinkelsumme eines zufälligen Dreiecks


Aufgabe 2: eigene Zufallsexperimente

Überlege dir, wo dir im Alltag Zufallsexperimente begegnet sind. Notiere dir drei dieser Zufallsexpermiente und begründe, warum es sich um Zufallsexperimente handelt und welche mögliche Ausgänge sie haben.

Tausche dich anschließend mit deinem Lernpartner aus und lass dir von deinem Lernpartner die Begründung nennen, warum es sich um Zufallsexperimente handelt. <popup name="Lösung"> Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen.


Auf einem Jahrmarkt oder bei Gewinnspielen findet man manchmal Glücksräder, die man auf ein bestimmtes Feld zum Halten bringen muss, um einen Preis zu gewinnen.

Es handelt sich um ein Zufallsexperiment da...

  • es mehrere mögliche Ausgänge gibt (jedes Feld des Glücksrades ist ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments)
  • man vorher nicht sicher sagen kann, wo das Glücksrad beim nächsten mal stehen bleibt
  • man es beliebeig oft wiederholen kann

</popup>

Aufgabe 3: Lückentext

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang man nicht vorhersagen kann. Bei einem Zufallsexperiment sollen mehrere mögliche Ausgänge möglich sein und es soll beliebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholbar sein.

Eine Münze oder einen Würfel zu werfen zählen zu Zufallsexperimenten. Test ist kein Zufallsexperiment.

Aufgabe 4: Zufallsexperiment oder kein Zufallsexperiment?

Zuordnung
Ordne die Bilder und Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Zufallsexperiment Lotto spielen Wettervorhersage Ergebnis eines Fußballspiels
kein Zufallsexperiment Hütchenspielen
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