Protokolle vom Mai 2013: Unterschied zwischen den Versionen

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(Wendestelle einer logistischen Funktion)
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====Aufgabe 1d====
  
 
===Wendestelle einer logistischen Funktion===
 
===Wendestelle einer logistischen Funktion===

Version vom 6. Mai 2013, 19:29 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 6.05.2013 / Thema:logistisches Wachstum

Vorlage:Kurzinfo-3

Protokoll von --OB3A 17:51, 6. Mai 2013 (CEST) (Schuljahr 2012 / 13)
Lehrer C.-J. Schmitt (2 Unterrichtsstunden)

Graphen der Wachstumsvorgänge

Hier nochmal einen Überblick über die Graphen verschiedener Wachstumsvorgänge.


Lineares Wachstum

Linear.jpg


Exponentielles Wachstum

Exponentiell.jpg


begrenztes Wachstum

Begrenztes.jpg


logisitisches Wachstum

Logistisches .jpg



Alternative Herleitung der Formel für das logistische Wachstum

\frac{f'(t)}{f'(t) \cdot (G-f(t))} =k


\frac{f'(t)}{f(t) \cdot G}+\frac{f'(t)}{(G-f(t)) \cdot G}  =k


\frac{f'(t)\cdot (G-f(t))+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t) \cdot G-f(t) \cdot f(t)+(f'(t) \cdot f(t))}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{G \cdot f(t) \cdot (G-f(t))}


=\frac{f'(t)+0}{f(t) \cdot (G-f(t))}


Buch S. 137

Aufgabe 1a

f(0)=\frac{10}{1+4e}

f(0)=2

A=2

S=10



Aufgabe 1c

f(t)=\frac{10}{1+4e^{-0,25t} }

Ableiten mit Kettenregel

_______________________

h(z)=\frac{10}{z}  \qquad h'(z)=-\frac{10}{z^2}

g(t)=1+4e^{-0,25t}  \qquad g'(t)=-e^{-0,25t}

_______________________


f'(t)=-\frac{10}{(1+4e^{-0,25t})^2 } \cdot (-e^{-0,25t})


=\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Probe:

a=G \cdot k

k=0,25


f'(t)=0,025 \cdot (10-f(t)) \cdot f(t)


=0,025 \cdot ( \frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )\cdot (10-\frac{10}{1+4e^{-0,25t} } )

Erweitern

=\frac{2,5(1+4e^{-0,25t})-2,5 } {(1+4e^{-0,25t})^2 } =\frac{10e^{-0,25t} }{(1+4e^{-0,25t})^2 }


Aufgabe 1d

Wendestelle einer logistischen Funktion

Vermutung

Die Wendestelle einer logistischen Funktion ist dort wo der Funktionswert die Hälfte der Schranke ist.

Wendepunkt ist bei y=5

Schranke ist bei y=10

f''(t)=10\frac{-0,25e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})^2 - e^{-0,25t} \cdot 2(1+4e^{-0,25t}) \cdot (-e^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{(e^{-0,25t} \cdot (1+4e^{-0,25t})) \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^4 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25 \cdot (1+4e^{-0,25t}) -2(-e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  \left[ -0,25-e^{-0,25t} +2e^{-0,25t)}\right]    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


f''(t)=0


0= 10 \frac{e^{-0,25t}  ( -0,25te^{-0,25t} )    }{(1+4e^{-0,25t})^3 }


Nur die Klammer im Zähler kann Null werden.


0=-0,25te^{-0,25t}

\ln (0,25)=-0,25t

\frac{\ln (0,25) }{-0,25} =t=5,55

f(5,55)=5



Hausaufgaben zum 08.05.2013

Buch Seite 137 Aufgabe 1a,2b,7,8a