Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>. | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
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=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | ||
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Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu: | Beispielsweise ergibt sich die Länge <math>d</math> der '''Diagonale in einem Quadrat''' der Seitenlänge <math>a=1</math> über den Satz des Pythagoras (<math>a^2 + a^2 = d^2</math>) zu: | ||
:<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math> | :<math>a^2 + a^2 = 2 \cdot a^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 =d^2 \quad \Rightarrow \quad d = \pm \sqrt{2} = \pm 2^{\frac 1 2}.</math> | ||
Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden. | Die mathematisch richtige Lösung <font style="vertical-align:18%;"><math>\textstyle d=-\sqrt{2}</math></font> ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden. | ||
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Auch die Länge der Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu: | Auch die Länge der '''Raumdiagonale <math>D</math> im Einheitswürfel ('''das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: <math>d^2 + s^2 = D^2</math>) zu: | ||
:<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.</math> | :<math>\sqrt{2}^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3 = D^2 \quad \Rightarrow \quad D = \pm \sqrt{3} \pm 3^{\frac 1 2}.</math> | ||
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben. | Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung <math>\textstyle D = \sqrt{3}</math> angeben. | ||
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Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also: | ||
:<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R} | :<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}^+</math> | ||
==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== | ==== Wurzelfunktion auf ganz IR ==== |
Version vom 11. Februar 2009, 12:39 Uhr
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Graphen kennenlernen
Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit IR+ heißt n-te Wurzelfunktion.
Wegen: gilt: Potenzfunktionen mit sind n-te Wurzelfunktionen .
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzeln
Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:
Die mathematisch richtige Lösung ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.
Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung angeben.
Beispiel: Kubikwurzel
Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:
APLETT
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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.