Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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|{{Lernpfad-M|[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
In diesem Lernpfad kannst du die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung an Hand
 
vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad
<br>'''Voraussetzungen: '''
[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen,  
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
<br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}
===1. Das Flächenproblem===
}}
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
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{{Kurzinfo-1|M-digital}}
 
==Das Flächenproblem==
 
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|[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
|Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
|}
===2. Unter- und Obersumme===
 
[[bild:Integral1.png|right]]
 
 
==Unter- und Obersumme==
[[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².  
*Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².  
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
**Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
**Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
**Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
#[[Mathematik-digital/Einführung in die Integralrechnung/Lösung|Lösung]]
**[[Diskussion:Einführung in die Integralrechnung|Lösung]]
*Zusammmenfassung im [[bild:Infini_AB1.doc|Arbeitsblatt 1]]
*[[bild:Infini_AB2.doc|Aufgaben]] zur Berechnung bestimmter Integrale
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
==Das bestimmte Integral==
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
*Berechne:  <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>;  <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
==Flächenberechnung==
[[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
* Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
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=== 3. Negative Fläche? ===
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"] (s. Arbeitsblatt 3)
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]


==Integralfunktion==
=== 4. Integralfunktion ===
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das [[bild:Infini_AB7.doc|Arbeitsblatt 4]].
 
 
===5. Aufgaben===
 
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]  
==Zusätzliche Übungsaufgaben==
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]
 
 
==Für Interessierte==
*Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
 
*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
*Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
 
{{Mitgewirkt|
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]]
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]]}}


===6. Hauptsatz der Integralrechnung ===
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]


[[Kategorie:Integralrechnung|!]]
Maria Eirich und Andrea Schellmann,  14.09.2006

Version vom 26. September 2006, 15:22 Uhr

In diesem Lernpfad kannst du die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung an Hand 
vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad
Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, 
die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.

1. Das Flächenproblem

2. Unter- und Obersumme

Integral1.png
  • Begriffsklärung Unter- und Obersumme
  • Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
    • Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
    • Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
    • Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
    • Lösung
  • Zusammmenfassung im Arbeitsblatt 1
  • Aufgaben zur Berechnung bestimmter Integrale
  • Berechnung von Unter- und Obersummen mit GeoGebra
  • Aufgaben zur Flächenberechnung mit Geogebra

3. Negative Fläche?

4. Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Arbeitsblatt 4.

5. Aufgaben

6. Hauptsatz der Integralrechnung

Maria Eirich und Andrea Schellmann,  14.09.2006
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