Integralrechnung/Aufgaben und Integralrechnung/Hauptsatz: Unterschied zwischen den Seiten

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==Aufgaben==
=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung=
{{Aufgaben-M|10|
Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
Bestimme jeweils eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu folgenden Funktionen <math>f(x)</math> durch '''umgekehrte Differentiation'''.
{{Kastendesign1|
# <math>f(x)=x^2</math>
BORDER = cornflowerblue|
# <math>f(x)=x^3</math>
BACKGROUND = cornflowerblue|
# <math>f(x)=3x</math>
BREITE =100%|
# <math>f(x)=x^5</math>
INHALT=
# <math>f(x)=5x^2</math>
* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
# <math>f(x)=x^4</math>
* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
# <math>f(x)=2</math>
* Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von <math>f(x)</math> und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:
# <math>f(t)=2t^5</math>
<div align="center">
# <math>f(x)=\frac{2}{5x^2}</math>
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>.
# <math>f(x)=\cos{(3x)}</math>   (nur Lk)
</div>
# <math>f(x)=x+2\sin{(2x)}</math>   (nur Lk)
* Die "Flächeninhaltsfunktion" wird '''Stammfunktion''' genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit <math>f(x)</math>:
# <math>f(x)=e^x</math>
<div align="center">
# <math>f(x)=e^{-x}</math>
<math>F \ '(x) = f(x)</math>
# <math>f(x)=2\cdot e^x</math>
</div>
# <math>f(x)=e^{-3x}</math>
* '''Integrieren''' oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des '''unbestimmten Integrals''' bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:
# <math>f(x)=\frac{1}{3}e^{x+5}</math>
<div align="center">
# <math>f(x)=1+e^{\frac{1}{2}x}</math>
<math>\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)</math>
# <math>f(x)=\frac{5}{2}e^{2x-2}</math>
</div>
* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
|
BILD=Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png|
ÜBERSCHRIFT=Zusammenfassung|
}}
}}
<br>
{{Lösung versteckt|{{Lösung|1=
Die allgemeinen Lösungen lauten:
<br>
# <math>F(x)=\frac{1}{3} \cdot x^3</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{4} \cdot x^4</math>
# <math>F(x)=\frac{3}{2} \cdot x^2</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{6} \cdot x^6</math>
# <math>F(x)=\frac{5}{3} \cdot x^3</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{5} \cdot x^5</math>
# <math>F(x)= 2x</math>
# <math>F(t)=\frac{1}{3} \cdot t^6</math>
# <math>F(x)=-\frac{2}{5}x^{-1}=-\frac{2}{5x}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{3}\sin{(3x)}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{2} \cdot x^2 - \cos{(2x)}</math>
# <math>F(x)=e^x</math>
# <math>F(x)=-e^{-x}</math>
# <math>F(x)=2\cdot e^x</math>
# <math>F(x)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-3x}</math>
# <math>F(x)=\frac{1}{3} e^{x+5}</math>
# <math>F(x)=x+2e^{\frac{1}{2}x}</math>
# <math>F(x)=\frac{5}{4}e^{2x-2}</math>
}}}}
<br><br>
<br><br>
{{Frage|
Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Wie lautet die (allgemeine) Stammfunktion zur allgemeinen Potenzfunktion <math>f(x)= a \cdot x^n</math>?
}}
<br>
<br>
{{Lösung versteckt|{{Antwort|
 
<math>F(x)= \frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} + c</math>
}}}}
<br><br><br>
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<div align="center">
<div align="center">
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</div>
</div>
<br>
{{Navigation Lernpfad Integral}}
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[[Kategorie:Analysis]]
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Version vom 22. Oktober 2009, 08:16 Uhr

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen. Vorlage:Kastendesign1

Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:




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