Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Abschluss des Einstiegsbeispiels und Textaufgaben/Wiederholung - Gleichungen lösen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>DinRoe
 
Main>Karl Kirst
 
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= Wie wahrscheinlich ist ein bestimmter Song? =
[[Datei:KatharinaP_Agent_Tafel.jpg|rechts]]Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.
Wir wollen uns nun mit der Beantwortung der Einstiegsfrage beschäftigen: Wie wahrscheinlich ist es nun, dass das nächste abgespielte Lied von Fiana Lovelace ist?


Ihr habt zur Überprüfung eurer Vermutung zwei Simulationen durchgführt, bei dem die Grundmenge der abgespielten Songs immer größer gewählt werden konnte. Bei der ersten Simulation war die Grundmenge noch sehr gering und ihr konntet vielleicht Schwankungen bei den relativen Häufigkeiten im Austausch mit den anderen Gruppen feststellen.


Je '''höher die Grundmenge''' jedoch wurde, desto '''geringer die Schwankungen''' in den meisten Versuchsreihen. Ihr solltet bei 5000 Songs bemerkt haben, dass sich die relative Häufigkeit der Lieder von Fiana Lovelace sehr nah um die 40% liegt.
Gleichungen wie
Würde man noch größere Grundmengen simulieren, würde die relativen Häufigkeit immer näher an 40% liegen und man könnte nur sehr geringe Schwankungen bei verschiedenen Versuchsreihen feststellen.


x + 8 = 12


{| class="wikitable center"
4x - 5 = 3x + 2 oder auch
 
(x + 4) · 2 = 3x
 
nennt man lineare Gleichungen.<br />
 
 
Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.<br />
 
 
&nbsp;<br />&nbsp;
 
{{Mathematik|<popup name="Anschauungsbeispiel">
[[Datei:ChristinaG_Anschauungsbeispiel_1.png]]</popup>}}
 
 
Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.<br />
{{Merke|1=<br />
1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen<br />
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen<br />
3. x berechnen<br />
4. Probe<br />
5. Lösungsmenge notieren}}
 
&nbsp;<br />&nbsp;
__FORCETOC__
__TOC__
&nbsp;<br />&nbsp;
 
= Anfänger=
 
 
 
{{Übung|Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.}}
<div class="lueckentext-quiz">
Welche Zahl erfüllt die Gleichung?<br />
{|
| 2 + 4x = 58 || '''14 ()'''
|-
| 2y + ¼ = ¾ || '''0,25 ()'''
|-
| 8 – 2x = 4 || '''2 ()'''
|-
|-
| Die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Song von Fiana Lovelace ist, liegt also bei 0,4 also 40%.
| 2 + z/5 = 1/2 || '''-7,5 ()'''
|-
| 5z - 7 = -2z || '''1 ()'''
|}
|}
</div><br />


Warum man bei großen Grundmengen von den relativen Häufigkeiten auf die Wahrscheinlichkeiten schließen kann, werdet ihr im Laufe des Lernpfades erfahren oder ihr könnt es [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit|hier]] nachlesen.
&nbsp;<br /><br />&nbsp;


=Alternativer Lösungsweg=
{{Übung|Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?<br />Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.}}<br />
Man kann auch eine andere Überlegung anstellen:
<quiz display="simple">
{ 2x – y = r  <br />  x – y = r/2 }
- Richtig
+ Falsch


In der Playliste gibt es insgesamt 10 Songs. Da die Shuffle-Funktion kein Song bevorzugt, sind alle Songs gleichwahrscheinlich beim nächsten Abspielen.
{ w – 3u = s  <br />   3u = s – w }
Dies bedeutet, dass jeder Song die Chance von <math>\frac{1}{10}</math> hat als nächstes gespielt zu werden. Dies entspricht eine Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{10} = 0,1 </math>, also 10%.
- Richtig
+ Falsch


Da Fiana Lovelace insgesamt 4 Lieder in der Playliste hat, sind 4 von 10 Lieder in der Playliste von ihr und damit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit:
{ (x- 2)y = u  <br />   x – 2 = u/y }
<math>\frac{4}{10} = 0,4 </math>, also 40%.
+ Richtig
- Falsch


{ x + y/3 = w  <br />  x + y = 3w }
- Richtig
+ Falsch
</quiz>


Diese Überlegung funktioniert nur dann, wenn die Shuffle-Funktion alle Songs gleichwahrscheinlich abspielt.
<br />


Das man solche Experimente dann Laplace-Experimente nennt, werdet ihr später im Lernpfad erfahren oder schon [[Benutzer:DinRoe/Übungsseite/Übungsseite21|hier]] nachlesen.
= Fortgeschrittene=


= andere Ideen?=
{{Merke-M|Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!}}
Wenn ihr noch andere Ideen hattet, wie ihr auf die 10% gekommen seid, dann stellt diese euren Mitschülern und Lehrkraft im Klassenplenum vor - alle Ideen und Überlegungen sind willkommen :)


{|
{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
 
 
{|width="100%" style="border-style:none"
|7x – 8 – 12 – 3x = 2x
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=10</math>}}
|-
|-
| [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Noch_mehr_Simulation_zur_Shuffle-Funktion#Simulation_mit_gr.C3.B6.C3.9Ferer_Grundmenge Zurück zur letzten Seite]  || || || ||............. || || || || oder  ||  ||  || ||............. ||  ||  ||  || [https://wiki.zum.de/wiki/Benutzer:DinRoe/%C3%9Cbungsseite/Einf%C3%BChrung_in_die_Wahrscheinlichkeitsrechnung Weiter zur nächsten Seite]
|2y – 3y + 5y – 24 = 0
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>y=6</math>}}
|-
|4,5a + 12,5 = 7a
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>a=5</math>}}
|-
|2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=12</math>}}
|-
|5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=7</math>}}
|}
|}
<br />
{{Aufgabe|Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:}}<br />
{|width="100%" style="border-style:none"
|A = ab/2 || b=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>2A/a=b</math>}}
|-
|u = 2a + 2b || b=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(U-2a)/2=b</math>}}
|-
|x/a – b = c || x=?
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>(c+b)*a</math>}}
|}
<br />
= Experten =
{{Übung|Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.}}<br />
<div class="lueckentext-quiz">
{|width="100%" style="border-style:none"
|4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 || '''43,75()'''
|-
|¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½ || '''119()'''
|-
|10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5 || '''8()'''
|-
|(x – 6)(x + 6) = x(x + 9) || '''-4()'''
|}
</div><br />
&nbsp;<br />&nbsp;
{{Aufgabe|Drücke die Variable x aus:}}<br />
{|width="100%" style="border-style:none"
|(ax + b)/c = d
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=(cd-b)/a</math>}}
|-
|ax/c + b = d
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|<math>x=[(d-b)*c]/a</math>}}
|}
<br />
{{Aufgabe|In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?}}<br />
{|width="100%" style="border-style:none"
|S = 12 * L
| style="text-align:right" | {{Lösung versteckt|In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer}}
|}
<br />
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Version vom 1. Dezember 2011, 22:50 Uhr

KatharinaP Agent Tafel.jpg

Du sollst in diesem Kapitel noch einmal üben, was Gleichungen sind und wie man diese löst.


Gleichungen wie

x + 8 = 12

4x - 5 = 3x + 2 oder auch

(x + 4) · 2 = 3x

nennt man lineare Gleichungen.


Zur Bestimmung der Lösung wird die Gleichung äquivalent umgeformt, bis du die Lösung ablesen kannst. Durch äquivalente Umformungen ändert sich die Lösungsmenge nicht. Solche Umformungen sind Addition und Subtraktion derselben Zahl oder desselben Terms auf beiden Seiten der Gleichung oder Multiplikation und Division beider Seiten mit derselben Zahl.


 
 

Vorlage:Mathematik


Du siehst, Ziel der Umformungen ist es, so zu sortieren, dass die Terme mit x auf der einen Seite und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Schreibe dir nun das Anschauungsbeispiel und den Merktext in dein Übungsheft.

Merke


1. Vereinfachen: eventuell Klammern auflösen, ggf. zusammenfassen
2. Sortieren: durch äquivalente Umformungen alle x auf eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen
3. x berechnen
4. Probe

5. Lösungsmenge notieren


 
 

 
 

Anfänger

Übung
Löse die Aufgaben in deinem Übungsheft. Schreibe die Lösungen anschließend in die Kästchen.


Welche Zahl erfüllt die Gleichung?

2 + 4x = 58 14 ()
2y + ¼ = ¾ 0,25 ()
8 – 2x = 4 2 ()
2 + z/5 = 1/2 -7,5 ()
5z - 7 = -2z 1 ()


 

 

Übung
Welche Umformungen sind richtig, welche falsch?
Begründe deine Antwort und stelle die falschen Umformungen in deinem Heft richtig.


1 2x – y = r
x – y = r/2

Richtig
Falsch

2 w – 3u = s
3u = s – w

Richtig
Falsch

3 (x- 2)y = u
x – 2 = u/y

Richtig
Falsch

4 x + y/3 = w
x + y = 3w

Richtig
Falsch



Fortgeschrittene

Merke
Bei der folgenden Übung musst du zunächst die gleichartigen Ausdrücke ordnen! Dabei können aber leicht Rechenzeichen verloren gehen!! Besser ist es, gleichartige Ausdrücke zu markieren oder zu unterstreichen und gleich zusammenfassen!


Übung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.



7x – 8 – 12 – 3x = 2x
2y – 3y + 5y – 24 = 0
4,5a + 12,5 = 7a
2,5x – 14,4 + 1,5x + 9,2 = 1,5x + 24,8
5x – 14 + 4x + 10 = 5x + 24



Aufgabe
Forme die Formel nach der gesuchten Variable um:


A = ab/2 b=?
u = 2a + 2b b=?
x/a – b = c x=?


Experten

Übung
Welche Zahl erfüllt die Gleichung? Arbeite in deinem Heft.


4n – 9,1 + 1,1n + 4,3 = 1,2n + 56,5 + 2,3n + 8,7 43,75()
¼ x – 14 ½ + ½ x + 9 ¼ = ½ x + 24 ½ 119()
10 – 3x +2(5x – 2) = 7(x + 5) – 3x – 5 8()
(x – 6)(x + 6) = x(x + 9) -4()


 
 


Aufgabe
Drücke die Variable x aus:



(ax + b)/c = d
ax/c + b = d



Aufgabe
In einer Schule gibt es L Lehrer und S Schüler. Was sagt die Gleichung aus?



S = 12 * L
In dieser Schule gibt es zwölf mal so viele Schüler wie Lehrer



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