Kürzen von Brüchen und Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen: Unterschied zwischen den Seiten

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Main>Katja Heimlich
 
Main>Florian Bogner
(interessierte)
 
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[[Benutzer:Katja Heimlich/Lernpfad Erweitern|zurück zum Lernpfad Brüche erweitern]]
= Das „Ziegenproblem“ =
__NOTOC__
{{Lernpfad-M|<big>'''Brüche kürzen'''</big>


''Teil 2 der Lernpfadgruppe: Brüche erweitern, kürzen und vergleichen.''


*'''Zeitbedarf:'''
{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidat zwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege.
*'''Material:'''
 
Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an:
 
Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht.
 
Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will.
}}
 
 
{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
}}
}}


{{Kurzinfo-1|M-digital}}


==Hinführung Kürzen ==
Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
 
Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
 
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
 
 
----
 
 
Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
 
Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder.
 
Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
 
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegenproblem, nur mit Schweinchen]
 
 
----
 
 
'''Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!'''
 
 
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
 
 
{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt, wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}}
 
{{Lösung versteckt|:Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>
 
:BaumdiagrammAuto}}


[[Bild:Comic_Kürzen.gif ]]


{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}}


{{Lösung versteckt|:Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}\ .</math>


'''Das ist ja viel übersichtlicher, wenn man im Zähler und im Nenner nicht so große Zahlen stehen hat, das findest du doch auch, oder?!'''
:BaumdiagrammKandidat}}


<colorize>Los geht's, wir machen alles übersichtlicher!</colorize>


#In diesem Zimmer liegt alles herum. Hilf mit, dann geht es schneller.
{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}}
#Nachdem du beim Zimmeraufräumen geholfen hast, kannst du dich mit deinen Freunden verabreden. Sortiere doch schon mal die Süßigkeiten, damit jeder das bekommt, was ihm schmeckt.


===Was ist hier geschehen? ===
Lösungshilfe: {{versteckt|:Hier gibt es verschiedene Fälle, je nachdem, wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt. Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen. Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.}}


Welcher Bruchteil ist zu Beginn blau gefärbt? Welcher Bruchteil ist gefärbt, wenn du das Kästchen drückst?


<ggb_applet height="430" width="660" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Hokuspokus.ggb" />
{{Lösung versteckt|:Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
 
:BaumdiagrammModerator}}
 
 
{{Aufgaben-M|5.4|Interpretiere das gesamte Baumdiagramm nun richtig. Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}}
 
{{Lösung versteckt|*Betrachten wir zuerst die Strategie, nicht zu wechseln. Man erhält nun die Gewinnwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade „ohne Wechsel“ '''addiert''':
 
:BaumdiagrammkeinWechsel
 
:<math></math>
 
 
*Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade „mit Wechsel“, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn man prinzipiell die Tür wechselt:
 
:BaumdiagrammWechsel
 
:<math></math>
 
 
*<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von &nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;auf&nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp; !!!
}}


<br>
Willst du versuchen, ob du unnötige Unterteilungen entfernen kannst? Hier hast du die Möglichkeit es herauszufinden.


Quiz Kürzen
----


===Begriff Kürzen ===
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
;[[Bild:Feststellung.gif|left]]
<br>
Was du gerade gemacht und beobachtet hast, nennt sich '''Kürzen'''.


Beim Kürzen eines Bruches vergröberst du die gezeigten Bruchteile, indem du die unnötigen Unterteilungen entfernst.
Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?
<br>
<br>


</div>
Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler '''„Number of doors“''' weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.


<br>
Würdest du '''jetzt''' wecheln???
Kommt dir das bekannt vor? {{Lösung versteckt|Kürzen ist das Gegenteil von Erweitern, allerdings mit einigen Besonderheiten.}}
<br>
<br>
<colorize>Die Rechnung, die dahinter steckt</colorize>


==Kürzen ==
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 3-Türen-Problem] mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.).
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
;[[Bild:Comic_Merke.gif]] Ein Bruch wird gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch die selbe Zahl dividiert.  


Beispiel: <math>\frac{12}{18}=\frac{12 : 6}{18 : 6}=\frac{2}{3}</math>
</div>


Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.


=== Quiz was stimmt, was nicht? ===
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegenproblem anschaulich erklärt]
...
===Geogebra: Kürzen mit Brüchen, wobei nicht immer alles geht ===
...
=== Spiel mit Lösungswort ===
...
===Geogebra: Finde den wertgleichen Bruch mit dem kleinsten Nenner ===
...
===Begriff: vollständig kürzen ===


===schnell kürzen ===
...
===Schüttelsätze zum Merksatz ===
...


==Übungen zum Kürzen ==
----
...


===Mit welcher Zahl wurde gekürzt? ===


[http://lernpfad.ln0.de/%dcbungen%20zum%20K%fcrzen/kuerzZahl/findediezahl-kuerzen.html Findest du die Zahl, mit der gekürzt wurde?]
Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt.  


<div align="right">[[Benutzer:Katja Heimlich/Lernpfad Größenvergleich von Brüchen|weiter zum Lernpfad Brüche vergleichen]]</div>
<colorize>Herzlichen Glückwunsch!</colorize>

Version vom 6. September 2009, 12:22 Uhr

Das „Ziegenproblem“

Vorlage:Kasten Mathematik


Aufgabe

Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!


Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?

Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt



Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?

Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.

Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.

Vorlage:Rechtsklick FensterZiegenproblem, nur mit Schweinchen



Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegenproblems“!


Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.


Vorlage:Aufgaben-M

Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von
BaumdiagrammAuto


Vorlage:Aufgaben-M

Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von
BaumdiagrammKandidat


Vorlage:Aufgaben-M

Lösungshilfe: Vorlage:Versteckt


Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
BaumdiagrammModerator


Vorlage:Aufgaben-M

  • Betrachten wir zuerst die Strategie, nicht zu wechseln. Man erhält nun die Gewinnwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade „ohne Wechsel“ addiert:
BaumdiagrammkeinWechsel
Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }


  • Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade „mit Wechsel“, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn man prinzipiell die Tür wechselt:
BaumdiagrammWechsel
Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }


  • Fazit: Wenn man die Türe wechselt verdoppelt sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von   auf   !!!



Interessiert dich das Ziegenproblem genauer, oder leuchtet dir die Lösung noch nicht ein?

Öffne noch einmal das Ziegenproblem mit den Schweinchen. Du kannst die Anzahl der Türen erhöhen: Schiebe den Regler „Number of doors“ weiter nach rechts. Hast du eine Tür gewählt, öffnet der Moderator alle anderen Türen, bis auf die mit dem Hauptgewinn.

Würdest du jetzt wecheln???

Vorlage:Rechtsklick Fenster3-Türen-Problem mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.).


Du kannst jetzt auch unter dieser Seite die Erklärungen lesen.

Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegenproblem anschaulich erklärt



Du hast den Lernpfad nun erfolgreich bewältigt.

Herzlichen Glückwunsch!

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