Energieumsatz bei chemischen Reaktionen und Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben: Unterschied zwischen den Seiten
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Main>Karl Kirst (mitgewirkt) |
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''' | {{Lernpfad-M|Üben, Anwenden und Veranschaulichung von Extremwertaufgaben an anwendungsbezogenen Beispielen. | ||
*'''Zeitbedarf:''' eine Unterrichtsstunde/mehrere Unterrichtsstunden | |||
*'''Material:''' Stift und Papier, Konzentration | |||
}} | |||
{{Kurzinfo-1|M-digital}} | |||
= Extremwertaufgaben in der Anwendung = | |||
==Einführung== | |||
[[Bild:einführungsgrafik4.png|left]] | |||
Als Extremwert einer Funktion wird derjenige Wert bezeichnet, der innerhalb eines gewissen Bereichs größer ('''Maximum''') bzw. kleiner ('''Minimum''') als alle anderen Werte in diesem Bereich ist. Hierbei wird noch zwischen einem '''lokalen''' und einem '''globalen''' Extremwert unterschieden. Global ist der Extremwert dann, wenn er der größte bzw. kleinste Wert im '''gesamten''' Definitionsberich ist, im anderen Fall ist es ein lokaler Extremwert. | |||
'''Formal ist er folgendermaßen definiert:''' | |||
Es sei <math> U \subseteq\mathbb R </math> eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und <math> f\colon U\to\mathbb R </math> eine Funktion. | |||
f hat an der Stelle <math> x_0\in U </math> | |||
= | * ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt; | ||
* ein globales Minimum, wenn <math> f(x_0)\leq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt; | |||
* ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall <math> I = (a,b) </math> gibt, das <math> x_0 </math> enthält, so dass <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in I\cap U </math> gilt; | |||
* ein globales Maximum, wenn <math> f(x_0)\geq f(x) </math> für alle <math> x\in U </math> gilt. | |||
==Wozu überhaupt Extremwerte? == | |||
Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw. | |||
== Allgemeines Lösungsverfahren == | |||
Ein Extremwert einer Funktion tritt immer dort auf, wo die 1. Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle hat und die zweite 2. Ableitung keine Nullstelle besitzt (Alternativ können hier statt der 2. Ableitung auch die Vorzeichen der ersten Ableitung betrachtet werden. Bei Vorzeichenwechsel liegt dann ein Extremwert vor). | |||
Ist allerdings wie bei praktischen Problemen keine explizite Funktion vorgegeben, sondern nur das Problem formuliert, muss zunächst eine passende Funktion, die Zielfunktion, aufgestellt werden. Hierbei hilft es, sich an folgendes Schema zu halten: | |||
'''1. Stelle das Problem in einer Skizze dar''' | |||
Eine Skizze hilft, sich die Problemstellung deutlich zu machen. Kennzeichne in der Skizze die bekannten und unbekannten Größen. Überlege dir, welche Größen in der Skizze du noch nicht weißt und ob du diese durch die anderen Größen ermitteln kannst. | |||
'''2. Stelle die Zielfunkion auf''' | |||
Versuche nun, deine Skizze in eine Funktion zu übertragen. Hierbei musst du die Größe, die du maximieren oder minimieren willst, durch die anderen vorhandenen Größen ausdrücken. | |||
'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen''' | |||
Unter Nebenbedingung versteht man einen für die Aufgabe notwendigen Zusammenhang, der nicht direkt aus der Aufgabenstellung hervorgeht. Ist in der Zielfunktion also noch eine Größe, die du nicht kennst, versuche sie durch die anderen gegebenen Größen z.B. mit Hilfe eines geometrischen Zusammenhangs auszudrücken. Am Schluss darf deine Zielfunktion nur noch von einer Größe abhängen. | |||
'''4. Extremwert der Zielfunktion bestimmen''' | |||
Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um eine Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum. | |||
== | == Der schräge Wurf == | ||
Als erstes Beispiel wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht. Hierzu sind natürlich einige Vorüberlegungen zu treffen. Von was hängt die Wurfweite sonst noch ab? Erinnerst du dich an die entsprechenden physikalischen Formeln? Wenn du dich nicht erinnern kannst oder um deine Formeln zu überprüfen, klicke auf Lösung anzeigen! Aber: Vorher nachdenken! | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Entscheidend ist die Zerlegung der Bewegung in eine x- und eine y-Komponente. | |||
Der Ort des Objekts ergibt sich aus dem Anfangsort, der Geschwindikeit in die jeweilige Richtung mal die entsprechende Zeit und die Geschwindigkeitsänderungen (welche über die Beschleunigung ausgedrückt werden) mal die quadratische Zeit: | |||
<math> x(t)=x_{0}+v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a_{0} \cdot t^2 </math> | |||
Dies müssen wir nun in x- und y-Richtung ausdrücken. In x-Richtung bleibt die Geschwindigkeit (wenn wir die Reibung vernachlässigen) über die ganze Strecke konstant und wir starten am Anfangspunkt 0: | |||
< | <math> x(t)=v_{x} \cdot t </math> | ||
< | |||
In y-Richtung starten wir ebenfalls am Anfangspunkt 0, allerdings nimmt die Geschwindigkeit mit der Erdbeschleunigung g ab: | |||
<math> y(t)=v_{y} \cdot t - 1/2 \cdot g \cdot t^2 </math> | |||
< | }} | ||
Versuche nun nach dem oben dargestellten Schema vorzugehen, dir also in einer Skizze die Situation zu verdeutlichen und die entsprechenden Größen einzuzeichnen! Wo befindet sich der Winkel <math>\alpha</math>? | |||
{{Lösung versteckt|Skizze: | |||
< | <ggb_applet width="400" height="250" filename="schraeger_Wurf4.ggb" showResetIcon="true" /> | ||
}} | |||
Als feste Größe ist die Abwurfgeschwindigkeit <math>\vec v_{0}</math> anzusehen. Dies ist die Geschwindigkeit, die du durch deine Wurfbewegung dem Ball in einer bestimmten Richtung mitgibst. Der entscheidende Parameter ist der Winkel <math>\alpha</math>. Kannst du die noch unbekannten Größen mit Hilfe von <math>\vec v_{0}</math> und <math>\alpha</math> ausdrücken? | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Um unsere Gleichungen für x(t) und y(t) aufzustellen benötigen wir die noch unbekannten Größen <math> v_{x} </math> und <math> v_{y} </math> die sich aus der Skizze ablesen lassen: | |||
<math> v_{x}=v_{0} \cdot cos(\alpha) </math> und | |||
<math> v_{y}=v_{0} \cdot sin(\alpha) </math> | |||
[[ | }} | ||
[[ | |||
[[ | Nun kannst du die beiden Ortsgleichungen aufschreiben und zu einer Funktionsgleichung umformen. Die Zielfunktion ist dabei die Funktion der Größe, die du maximieren willst. In unserem Fall möchten wir zunächst das Maximum der Wurfweite in Abhängigkeit des Abwurfwinkels bestimmen. Unsere Zielfunktion ist also die Ortsfunktion in x-Richtung. Versuche diese Funktion mit Hilfe der bisherigen Gleichungen aufzustellen. | ||
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[[ | {{Lösung versteckt mit Rand|Durch das Zusammensetzen der obigen Funktion von <math> x(t) </math> und <math> v_{x}(t) </math> ergibt sich folgender Zusammenhang: | ||
[[ | |||
[[Kategorie: | <math> x(t)=v_{x} \cdot t = v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot t = x(t,\alpha) </math> | ||
}} | |||
Nun musst du dir klar werden, welche Größen du darstellen willst! In unserem Fall: Wurfweite x in Abhängigkeit des Wurfwinkels <math> \alpha </math>. Steht dies schon da? Oder steht in der Funktion eine Variable, die stört bzw. nicht gegeben ist? Dann musst du diese Variable durch deine eigentlich interessanten Größen ausdrücken, oder anders gesagt, eine Nebenbedinung formulieren. | |||
Tipp: Nicht erschrecken vor zunächst etwas unhandlichen Termen. | |||
Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Nebenbedingung mit entsprechender Auflösung: | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Störend ist bei uns noch die Variable t. Wir interessieren uns ja nur für den Zeitpunkt, an dem der Ball/Stein oder ähnliches wieder auf dem Boden aufkommt. Dies ist genau der Zeitpunkt, bei dem unsere zweite Ortsfunktion y(t) (also die Höhe) wieder 0 ist. Als Funktion: | |||
<math> y(x)=v_{y}(t) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 = v_{0}(t) \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 =0 </math> | |||
um t zu elimieren, müssen wir diese Gleichung nach t auflösen. Etwas anders sortiert lässt sich die Gleichung auch schreiben als | |||
<math> 0 = \underbrace{- \frac{1}{2} \cdot g}_{a} \cdot t^2 + \underbrace{v_{0}(t) \cdot sin(\alpha)}_{b} \cdot t = a \cdot t^2 + b \cdot t = 0</math> | |||
Dies ist eine einfache quadratische Gleichung, die sich mit der Mitternachtsformel lösen lässt: | |||
<math> t_{1/2}=\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha)\pm \sqrt{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2+4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 0}}{-g} </math> | |||
<math> \qquad =\frac{-v_{0} \cdot sin(\alpha) \pm v_{0} \cdot sin(\alpha)}{-g} </math> | |||
<math> \Rightarrow t_{1} = 0 \qquad und \qquad t_{2} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} </math> | |||
Wir erinnern uns, dass <math> t_{1} </math> und <math> t_{2} </math> jeweils die Zeiten sind, an denen die Höhe des Wurfobjekts 0 ist. Dies ist logischerweise zur Zeit 0 der Fall, was unserer Lösung <math> t_{1} </math> entspricht. Die für uns interessante Lösung ist allerdings <math> t_{2} </math>, also die Zeit, wenn das Wurfobjekt nach dem Wurf wieder am Boden ist. | |||
}} | |||
Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch für die Aufgabe wesentliche Größen ausdrücken. Dies musst du nun in die Zielfunktion einsetzen. | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Mit der Information über t können wir t nun in unserer Ortsfunktion <math> x(t,\alpha) </math> elimieren. | |||
<math> x(t_{2},\alpha)= v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot t_{2} = v_{0} \cdot cos(\alpha) \cdot \frac{2 \cdot v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g}= \frac {2 \cdot v_{0}^2}{g} \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha)=x(\alpha) </math> | |||
Somit hängt unsere Wurfweite wie gewollt nur noch vom Abwurfwinkel <math> \alpha </math> ab. In der Skizze kannst du zusätzlich die Abwurfgeschwindigkeit <math> v_{0} </math> variieren, die wir in der Berechnung zunächst einmal als fest voraussetzen. | |||
Skizze: | |||
<ggb_applet width="400" height="250" filename="wurfweite2.ggb" showResetIcon="true" /> | |||
}} | |||
Du hast nun die Zielfunktion aufgestellt und die störende Variable durch deine Nebenbedingung eliminiert. Nun hast du eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von <math> x(\alpha)</math>. | |||
Dieses Maximum können wir bestimmen, indem wir die Funktion einmal ableiten und die Nullstellen dieser Ableitung suchen. Da die Funktion nur von <math> \alpha </math> abhängt, musst du jetzt natürlich nach <math> \alpha </math> ableiten. Versuche, die Nullstelle zu bestimmen. | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Die Funktion | |||
<math> x(\alpha) = \frac {2 \cdot v_{0}^2}{g} \cdot cos(\alpha) \cdot sin(\alpha) </math> soll maximiert werden. | |||
Erste Ableitung: | |||
<math> x'(\alpha)= \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (-sin(\alpha) \cdot sin(\alpha)+cos(\alpha)cos(\alpha))\qquad \qquad (Produktregel) </math> | |||
<math> x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (cos(\alpha)^2 - sin(\alpha)^2) </math> | |||
<math> x'(\alpha) = \frac{2 \cdot v_{0}^2}{g} (1-2sin(\alpha)^2) \stackrel{!}{=} 0 \qquad \qquad (sin(x)^2+cos(x)^2=1)</math> | |||
<math> \Leftrightarrow 2 \cdot sin(\alpha)^2 = 1 \qquad \Leftrightarrow sin(\alpha) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} </math> | |||
<math> \Leftrightarrow \qquad \alpha = \pm 45^\circ </math> | |||
Die negative Lösung entspräche dem Abwurf in 45° nach unten in den Boden, also eine nichtpraktische Lösung. | |||
<math> \Rightarrow \qquad \alpha = 45^\circ </math> | |||
Zur Überprüfung, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, sollten wir noch die 2. Ableitung überprüfen: | |||
<math> x''(\alpha) = - \frac{8 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)}{g} < 0 \qquad \qquad \alpha \approx 45^\circ </math> | |||
Somit handelt es sich tatsächlich um ein Maximum und die Wurfweite wird bei <math> \alpha = 45^\circ </math> maximal. | |||
}} | |||
Du hast nun herausgefunden, dass die Flugweite eines geworfenen Objekts nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt, sondern auch vom Winkel, in dem das Objekt abgeworfen wird. Unter dem soeben bestimmten Winkel ist die Flugweite maximal. | |||
Versuche nun noch zu berechnen, welche maximale Höhe das Objekt dabei erreicht. Wir suchen also wieder den Extremwert, diesmal allerdings den maximalen Wert der Höhe. Die Höhe wurde bisher als Funktion y(t) bezeichnet. Klar ist, dass der Ball wohl je höher fliegen wird, je steiler man ihn nach oben wirft und die Flughöhe bei <math> \alpha=0^\circ </math>, also den Wurf senkrecht nach oben, sein Maximum haben wird. | |||
Die Frage ist nun allerdings wie hoch der Ball unter dem berechneten "optimalen" Abwurfwinkel fliegt. | |||
{{Lösung versteckt mit Rand|Wir müssen die Ableitung der Funktion y(t) wieder gleich 0 setzen, um die Extremwerte der Funktion herauszufinden und diese Werte dann mithilfe der 2. Ableitung überprüfen: | |||
<math> y(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 </math> | |||
<math> y'(t)= v_{0} \cdot sin(\alpha) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 2 \cdot t \stackrel{!}{=} 0</math> | |||
<math> \Rightarrow t_{max} = \frac{ v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} </math> | |||
Einsetzen in y(t): | |||
<math> y(t_{max})= v_{0} \cdot sin(\alpha) \frac{v_{0} \cdot sin(\alpha)}{g} - \frac{1}{2} \cdot g \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g^2} </math> | |||
<math> = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{g} - \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g} </math> | |||
<math> = \frac{v_{0}^2 \cdot sin(\alpha)^2}{2g} </math> | |||
Einsetzen von <math> \alpha_{max}=45^\circ </math> | |||
<math> y(t_{max})= \frac{v_{0}^2}{4g} </math> | |||
Zuletzt noch die Überprüfun der 2. Ableitung: | |||
<math> y''(t_{max})= -g < 0 </math> | |||
Somit handelt es sich um ein Maximum und wir haben die Flughöhe für beliebige Anfangsgeschwindigkeiten bestimmt. | |||
}} | |||
Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst! | |||
==Dritte Überschrift == | |||
==Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Acker neben Straße== | |||
{{Aufgabe| | |||
Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage | |||
(a.) 1000m | |||
(b.) 100m. | |||
Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?}} | |||
Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen! | |||
[[Bild:AckerStraße.jpg]] | |||
Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten: | |||
'''1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar''': | |||
Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen. | |||
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Skizze "Acker neben Straße"|Skizze "Acker neben Straße"]] | |||
'''2. Zielfunktion für Teilaufgabe a)''' : | |||
Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten. | |||
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion|Zielfunktion]] | |||
'''3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a)''': | |||
Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht. | |||
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Zielfunktion mit Nebenbedingung|Zielfunktion mit Nebenbedingung]] | |||
'''4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):''' | |||
Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung. | |||
[[Mathematik-digital/Testlernpfad Hofmeier/Extremwertbestimmung|Extremwertbestimmung]] | |||
{{mitgewirkt| | |||
* [[Benutzer:Joerg Stadlinger|Jörg Stadlinger]]}} | |||
[[Kategorie:Kurvendiskussion]] | |||
Version vom 7. Dezember 2008, 11:02 Uhr
Extremwertaufgaben in der Anwendung
Einführung
Als Extremwert einer Funktion wird derjenige Wert bezeichnet, der innerhalb eines gewissen Bereichs größer (Maximum) bzw. kleiner (Minimum) als alle anderen Werte in diesem Bereich ist. Hierbei wird noch zwischen einem lokalen und einem globalen Extremwert unterschieden. Global ist der Extremwert dann, wenn er der größte bzw. kleinste Wert im gesamten Definitionsberich ist, im anderen Fall ist es ein lokaler Extremwert.
Formal ist er folgendermaßen definiert:
Es sei eine Teilmenge der Reellen Zahlen (z.B. ein Intervall) und eine Funktion.
f hat an der Stelle
- ein lokales Minimum, wenn es ein Intervall gibt, das enthält, so dass für alle gilt;
- ein globales Minimum, wenn für alle gilt;
- ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall gibt, das enthält, so dass für alle gilt;
- ein globales Maximum, wenn für alle gilt.
Wozu überhaupt Extremwerte?
Extremwerte geben maximale bzw. minimale Größen bei vorgegebenen Randbedingungen an und sind Lösungen bei sogenannten Optimierungsproblemen, d.h. sie geben den idealen Zusammenhang der Funktionsgrößen wieder. So kann durch die Bestimmung des Extremwertes herausgefunden werden, welche Verpackungsform das geringste Material verbraucht, unter welchen Parametern eine Strecke in kürzester Zeit zurückgelegt werden kann usw.
Allgemeines Lösungsverfahren
Ein Extremwert einer Funktion tritt immer dort auf, wo die 1. Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle hat und die zweite 2. Ableitung keine Nullstelle besitzt (Alternativ können hier statt der 2. Ableitung auch die Vorzeichen der ersten Ableitung betrachtet werden. Bei Vorzeichenwechsel liegt dann ein Extremwert vor).
Ist allerdings wie bei praktischen Problemen keine explizite Funktion vorgegeben, sondern nur das Problem formuliert, muss zunächst eine passende Funktion, die Zielfunktion, aufgestellt werden. Hierbei hilft es, sich an folgendes Schema zu halten:
1. Stelle das Problem in einer Skizze dar
Eine Skizze hilft, sich die Problemstellung deutlich zu machen. Kennzeichne in der Skizze die bekannten und unbekannten Größen. Überlege dir, welche Größen in der Skizze du noch nicht weißt und ob du diese durch die anderen Größen ermitteln kannst.
2. Stelle die Zielfunkion auf
Versuche nun, deine Skizze in eine Funktion zu übertragen. Hierbei musst du die Größe, die du maximieren oder minimieren willst, durch die anderen vorhandenen Größen ausdrücken.
3. Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
Unter Nebenbedingung versteht man einen für die Aufgabe notwendigen Zusammenhang, der nicht direkt aus der Aufgabenstellung hervorgeht. Ist in der Zielfunktion also noch eine Größe, die du nicht kennst, versuche sie durch die anderen gegebenen Größen z.B. mit Hilfe eines geometrischen Zusammenhangs auszudrücken. Am Schluss darf deine Zielfunktion nur noch von einer Größe abhängen.
4. Extremwert der Zielfunktion bestimmen
Nun musst du nur noch den Extremwert der Zielfunktion herausfinden. Dies geschieht durch Nullstetzen der ersten Ableitung und durch die Betrachtung des Randes der Definitionsmenge. Betrachtest du die Nullstelle der ersten Ableitung, so musst du diesen Wert noch durch einsetzen in die 2. Ableitung überprüfen. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle positiv, so handelt es sich um eine Minimum, ist sie negativ, um ein Maximum. Falls die 2. Ableitung ebenfalls eine Nullstelle hat, ist es kein Extremum.
Der schräge Wurf
Als erstes Beispiel wollen wir untersuchen, in welchem Winkel du einen Ball nach vorne oben werfen musst, um eine möglichst große Wurfweite zu erzielen und welche maximale Höhe der Ball dabei jeweils erreicht. Hierzu sind natürlich einige Vorüberlegungen zu treffen. Von was hängt die Wurfweite sonst noch ab? Erinnerst du dich an die entsprechenden physikalischen Formeln? Wenn du dich nicht erinnern kannst oder um deine Formeln zu überprüfen, klicke auf Lösung anzeigen! Aber: Vorher nachdenken!
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Versuche nun nach dem oben dargestellten Schema vorzugehen, dir also in einer Skizze die Situation zu verdeutlichen und die entsprechenden Größen einzuzeichnen! Wo befindet sich der Winkel ?
Skizze:
Als feste Größe ist die Abwurfgeschwindigkeit anzusehen. Dies ist die Geschwindigkeit, die du durch deine Wurfbewegung dem Ball in einer bestimmten Richtung mitgibst. Der entscheidende Parameter ist der Winkel . Kannst du die noch unbekannten Größen mit Hilfe von und ausdrücken?
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Nun kannst du die beiden Ortsgleichungen aufschreiben und zu einer Funktionsgleichung umformen. Die Zielfunktion ist dabei die Funktion der Größe, die du maximieren willst. In unserem Fall möchten wir zunächst das Maximum der Wurfweite in Abhängigkeit des Abwurfwinkels bestimmen. Unsere Zielfunktion ist also die Ortsfunktion in x-Richtung. Versuche diese Funktion mit Hilfe der bisherigen Gleichungen aufzustellen.
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Nun musst du dir klar werden, welche Größen du darstellen willst! In unserem Fall: Wurfweite x in Abhängigkeit des Wurfwinkels . Steht dies schon da? Oder steht in der Funktion eine Variable, die stört bzw. nicht gegeben ist? Dann musst du diese Variable durch deine eigentlich interessanten Größen ausdrücken, oder anders gesagt, eine Nebenbedinung formulieren. Tipp: Nicht erschrecken vor zunächst etwas unhandlichen Termen.
Falls du nicht weiterkommst, findest du hier die Nebenbedingung mit entsprechender Auflösung:
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Wenn du die Nebenbedingung formuliert hast und umgeformt hast, kannst du die störende Variable durch für die Aufgabe wesentliche Größen ausdrücken. Dies musst du nun in die Zielfunktion einsetzen.
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Du hast nun die Zielfunktion aufgestellt und die störende Variable durch deine Nebenbedingung eliminiert. Nun hast du eine Funktion, die dir die Wurfweite in Abhängigkeit des Winkels darstellt. Wir wollen den Winkel herausfinden, bei dem die Wurfweite maximal wird. Wir suchen also das Maximum von .
Dieses Maximum können wir bestimmen, indem wir die Funktion einmal ableiten und die Nullstellen dieser Ableitung suchen. Da die Funktion nur von abhängt, musst du jetzt natürlich nach ableiten. Versuche, die Nullstelle zu bestimmen.
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Du hast nun herausgefunden, dass die Flugweite eines geworfenen Objekts nicht nur von der Anfangsgeschwindigkeit abhängt, sondern auch vom Winkel, in dem das Objekt abgeworfen wird. Unter dem soeben bestimmten Winkel ist die Flugweite maximal.
Versuche nun noch zu berechnen, welche maximale Höhe das Objekt dabei erreicht. Wir suchen also wieder den Extremwert, diesmal allerdings den maximalen Wert der Höhe. Die Höhe wurde bisher als Funktion y(t) bezeichnet. Klar ist, dass der Ball wohl je höher fliegen wird, je steiler man ihn nach oben wirft und die Flughöhe bei , also den Wurf senkrecht nach oben, sein Maximum haben wird. Die Frage ist nun allerdings wie hoch der Ball unter dem berechneten "optimalen" Abwurfwinkel fliegt.
Vorlage:Lösung versteckt mit Rand
Herzlichen Glückwunsch! Du hast das Extremwertproblem des schrägen Wurfes gelöst!
Dritte Überschrift
Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung: Acker neben Straße
Ein Acker liegt an einer geradlinigen Straße. Ein Fußgänger befindet sich auf dem Acker im Punkt A und möchte möglichst schnell zu einem Punkt B auf der Straße gelangen. Der Fußpunkt C des Lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und die Entfernung B nach C betrage
(a.) 1000m
(b.) 100m.
Auf der Straße kann sich der Fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem Acker. Welchen Weg soll er einschlagen?
Versuche zuerst die Aufgabe ohne Hilfestellung zu lösen!
Ansonsten löse die Aufgabe in folgenden Schritten:
1. Stelle die Aufgabensituation in einer Skizze dar:
Beschrifte, was gegeben und gesucht ist. Gebe den Bekannten und Unbekannten passende Namen.
2. Zielfunktion für Teilaufgabe a) :
Erkenne die Zielfunktion und formuliere sie als mathematische Funktion in Abhängigkeit von den Ausgangsgrößen und Unbekannten.
3. Nebenbedingung in Zielfunktion für Teilaufgabe a):
Erkenne die Nebenbedingung, die unabhängige Größen der Zielfunktion zueinander in Beziehung setzt, formuliere sie als mathematischen Ausdruck und setze sie in die Zielfunktion so ein, dass eine äquivalente Zielfunktion für den zu optimierenden Wert in Abhängigkeit von nur einer Variablen entsteht.
Zielfunktion mit Nebenbedingung
4. Bestimmung des Extremwertes der Zielfunktion für Teilaufgabe a) und b):
Bestimmung des Extremwertes durch Nullsetzen der ersten Ableitung und Überprüfung des Vorzeichens der zweiten Ableitung.
