Potenzfunktionen - 3. Stufe und Lernpfad: Unterschied zwischen den Seiten

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
{{TOCright}}
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Einführung|Einführung]] - [[1. Stufe|1. Stufe]] - [[2. Stufe|2. Stufe]] - [[3. Stufe|3. Stufe]] - [[4. Stufe|4. Stufe]] - [[5. Stufe|5. Stufe]]'''</div>
==Ethik==
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Jeremy Bentham by Henry William Pickersgill detail.jpg|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Lernpfade Ethik/Einführung in den Utilitarismus|'''Einführung in den Utilitarismus''']]</div>
</div>


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==


Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN<sub>0</sub> =/= IN.<br />
==Geschichte==
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form <math>\frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\frac{1}{n}\leq 1</math>.
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Olympia_Lageplan.png|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Olympische Spiele|'''Olympische Spiele''']]</div>
</div>


=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 ===


{| cellspacing="10"
== Mathematik ==
|- style="vertical-align:top;"
<div class="grid">
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
<div class="width-1-6">[[Datei:Fountain-819594_640.jpg|120px|left]]</div>
Verleiche den neuen Graphen (blau) mit dem, den Du schon aus Stufe 1 und 2 dieses Kurses kennst (rot gestrichelt); mit dem Schieberegler kannst Du dazu wieder die Exponenten verändern.
<div class="width-5-6">
# Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
[[Quadratische_Funktionen_erkunden|'''Quadratische Funktionen erkunden''']]
#* Definitionsbereich
#* Symmetrie
#* Monotonie
#* größte und kleinste Funktionswerte
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
:{{Lösung versteckt|
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="7_x1n_w2.ggb" />
|}


<!--neue Datei {{ggb|7_x1n_w2.ggb|datei}}-->
</div>
</div>




== Potenzen und Wurzeln ==
Du hast hier die Möglichkeit, dir selbstständig Wissen über Quadratische Funktionen anzueignen.


Eine Funktion <math>f</math> mit der Gleichung <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}, n\geq2</math> heißt ''Wurzelfunktion''.


Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt:
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Stiege_200.jpg|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Römische_Zahlen|'''Römische Zahlen''']] </div>
</div>


:<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math>


Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:
Zahlreiche Übungen mit Lösungskontrolle und ansteigendem Schwierigkeitsgrad


:<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>


<small>[[Mathematik-digital|'' >>>>  mehr Lernpfade in Mathematik'']]</small>


== Physik ==
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[[[Datei:Olympia_Lageplan.png|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Olympische Spiele|'''Olympische Spiele''']]</div>
</div>
[[Datei:Skateboarder about to go down halfpipe.jpg|Skateboarder about to go down halfpipe|120px|left]]
[[Lernpfad Energie]]


Beispiele:


* <math>16 = \begin{cases} 4\cdot 4 &= 4^2\\ -4 \cdot (-4) &= (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{16} = \pm 4</math>, aber
* <math>-16 = \begin{cases} (-1)\cdot 4\cdot 4 &= (-1)\cdot 4^2\\ (-1)\cdot (-4) \cdot (-4) &= (-1)\cdot (-4)^2 \end{cases} \Rightarrow \sqrt{-16}=\pm 4\cdot\sqrt{-1}</math>, nicht definiert.
* <math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>, aber auch


==Deutsch==
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[[[Datei:Olympia_Lageplan.png|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Olympische Spiele|'''Olympische Spiele''']]</div>
</div>
[[Datei:Florentinaschaefer Lkw.png|120px|left]]
'''[[Lernpfad Satzglieder]]'''


<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
Die Bearbeitenden sollen nach der Bearbeitung in der Lage sein, die Satzglieder (Subjekt, Prädikat und Objekt) in einem Satz zu erkennen und entsprechend zu bezeichnen.
filename="8_ax1nc.ggb" />


== Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ==
==Fremdsprachen==
==== Einschränkung auf IR<sup>+</sup> ====
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[[[Datei:Olympia_Lageplan.png|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Olympische Spiele|'''Olympische Spiele''']]</div>
</div>
[[Datei:Person learning.svg|120px|left]]


'''[[Vokabeln lernen]]'''


Offenbar kann man zum Beispiel wegen
Jeder, der eine Fremdsprache erlernt, sollte passende Lerntechniken kennen und anwenden. Dieser Lernpfad zeigt, wie man Vokabeln lernen sollte, um diese dauerhaft zu behalten.
* <math>\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{-3\cdot -3 \cdot -3} = \sqrt[3]{-3^3} = \sqrt[3]{-3}^3 = -3</math>, und
* <math>\sqrt[3]{ 27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3</math>
die Wurzelfunktionen <math>f(x)=\sqrt[n]{x}</math> zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.  


Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:


* <math>-2 = \sqrt[3]{-8} = (-8)^{\frac{1}{3}} = (-8)^{\frac{2}{6}} = \left( (-8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = \left( (8)^2 \right)^{\frac{1}{6}} = (8)^{\frac{2}{6}} = (8)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2.</math>
==Weitere Themen==
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[[[Datei:Olympia_Lageplan.png|120px|left]]</div>
<div class="width-5-6">[[Olympische Spiele|'''Olympische Spiele''']]</div>
</div>
[[File:Grib skov.jpg|Grib skov|120px|left]]
[[Lernpfad Holz|'''Lernpfad Holz''']]


Hier kannst Du vieles über '''Holz und Bäume''' lernen. Sowohl die biologischen Aspekte als auch Informationen über die Nutzung und Verarbeitung des Holzes werden vorgestellt.


Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:


::<math>f(x) = \sqrt[n]{x}</math>  mit <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>\mathbb{D}=\mathbb{R}_{\geq 0}</math>


==== Wurzelfunktion auf ganz IR ====


Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass


<math>g(x):=\begin{cases}\sqrt[n]{x}, &x\geq 0 \\ -\sqrt[n]{-x}, &x<0\end{cases}</math>. Dann gilt: ID<sub>g</sub> = IR.
== Geographie ==


 
[[Kategorie:Lernpfade|!]]
 
 
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Version vom 29. Oktober 2018, 06:40 Uhr

Ethik

Jeremy Bentham by Henry William Pickersgill detail.jpg
Einführung in den Utilitarismus


Geschichte

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Olympische Spiele


Mathematik

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Quadratische Funktionen erkunden


Du hast hier die Möglichkeit, dir selbstständig Wissen über Quadratische Funktionen anzueignen.


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Römische Zahlen


Zahlreiche Übungen mit Lösungskontrolle und ansteigendem Schwierigkeitsgrad


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Physik

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Skateboarder about to go down halfpipe

Lernpfad Energie


Deutsch

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Lernpfad Satzglieder

Die Bearbeitenden sollen nach der Bearbeitung in der Lage sein, die Satzglieder (Subjekt, Prädikat und Objekt) in einem Satz zu erkennen und entsprechend zu bezeichnen.

Fremdsprachen

[[
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Vokabeln lernen

Jeder, der eine Fremdsprache erlernt, sollte passende Lerntechniken kennen und anwenden. Dieser Lernpfad zeigt, wie man Vokabeln lernen sollte, um diese dauerhaft zu behalten.


Weitere Themen

[[
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Grib skov

Lernpfad Holz

Hier kannst Du vieles über Holz und Bäume lernen. Sowohl die biologischen Aspekte als auch Informationen über die Nutzung und Verarbeitung des Holzes werden vorgestellt.



Geographie

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