{{Box|Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken.
{{Box|1=Lernpfad|2=
'''Willkommen beim Lernpfad zu den Eigenschaften ganzrationaler Funktionen'''
Zur Zeit beschäftigen wir uns mit [[Ganzrationale Funktionen|ganzrationalen Funktionen]], wobei du die einfachste Form, die [[Potenzfunktionen]], bereits kennengelernt hast. Von Interesse ist hier vor allem der Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit des Funktionsterms für betragsmäßig große x-Werte, d.h. am "linken und am rechten Rand" des Definitionsbereiches. Dieses hast du bei den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten bereits kennengelernt. Im folgenden sollen die bereits bekannten Informationen über die Potenzfunktionen auf allgemeine ganzrationale Funktionen übertragen werden.
Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/ Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}|Lernpfad}}
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__NOTOC__
'''Voraussetzungen'''
* Du kannst den Verlauf des Funktionsgraphen einer Potenzfunktion anhand des Funktionsterms beschreiben und skizzieren.
* Du kannst den Funktionsterm einer Potenzfunktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.
'''Ziele'''
* Du erkennst, wann eine ganzrationale Funktion vorliegt, und wann nicht.
* Du kannst den Verlauf für betragsmäßig große x-Werte des Funktionsgraphen einer ganzrationalen Funktion anhand des Funktionsterms beschreiben. <br />(Z.B. "von links unten nach rechts oben")
* Du kannst den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe eines Gleichungssystems ermitteln.
Fülle die noch leeren Felder mit den im Lernpfad gewonnenen Informationen aus.
'''2. Bearbeitung'''
* Bearbeite die Aufgaben mit einem Mitschüler.
* Bearbeite die Aufgaben der Reihe nach.
* Überprüfe dein Wissen am Ende jedes Abschnittes durch die Beispielaufgaben
* Nutze die versteckten Hinweise erst, wenn du mit deinem Mitschüler sicher nicht mehr weiter kommst. Versuche so lange wie möglich ohne die Hinweise auszukommen.
== '''Wichtige Definitionen''' ==
{{Box|1=Polynom|2=
Terme, die aus einer Summe von Potenzen (mit Exponenten aus <math>\mathbb{N}_0</math>) bestehen, heißen ''Polynome''. <br />Der höchste vorkommende Exponent entspricht dem ''Grad des Polynoms''.
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Beispiele:
2x<sup>4</sup> - 3x<sup>3</sup> + x - 5 ist ein Polynom vom Grad 4
-3x<sup>12</sup> + 14x<sup>2</sup> - 20 ist ein Polynom vom Grad 12
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Ganzrationale Funktion|2=
Funktionen, deren Funktionsterme f(x) Polynome sind, nennt man ''ganzrationale Funktionen''. Der Grad des Polynoms ist dann auch der Grad der Funktion.
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Beispiel:
<math>f(x)=-3x^7+1</math> ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 7
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Allgemeine Funktionsgleichung und Koeffizienten|2=
Der allgemeine Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vom Grad n ist <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_2x^2 + a_1x+a_0</math>
Die a<sub>k</sub> nennt man ''Koeffizienten'' (0<math>\le</math> k <math>\le</math> n).
{{Box|1=Aufgabe 1|2= Entscheide ob folgende Funktionen ganzrational sind. Gib gegebenenfalls den Grad und alle Koeffizienten an.
::a) <math> f(x)=7x^3-5^x</math>
::b) <math> g(x)=0,5x^8-x^3+10</math>
::c) <math> h(x)=x^2(x-6)+3</math>
::d) <math> i(x)=\frac{5x^3}{x^2-7}</math>
{{Lösung versteckt|1=
a) keine ganzrationale Funktion
b) ganzrationale Funktion vom Grad 8, <math>a_8 = 0,5</math>, <math>a_7 = a_6 = a_5 = a_4 = a_2 = a_1 = 0</math>, <math>a_3 = -1</math>, <math>a_0 = 10</math>
c) ganzrationale Funktion vom Grad 3, <math>a_3 = 1</math>, <math>a_2 = -6</math>, <math>a_1 = 0</math>, <math>a_0 = 3 </math>
d) keine ganzrationale Funktion}}
|3=Arbeitsmethode}}
== '''Verhalten ganzrationaler Funktionen für betragsmäßig große x-Werte''' ==
=== Gerader Funktionsgrad ===
{{Box|1=Aufgabe 2|2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=3x^4+2x^3+x+2</math> und <math>g(x)=-4x^6+2x^3-2x</math>
:: a) Zeichne die Graphen der Funktionen mit GeoGebra in ein gemeinsames Koordinatensystem.
:: b) Welcher Unterschied bzw. welche Gemeinsamkeit fällt dir bezüglich des Verhaltens für '''betragsmäßig große x-Werte''' auf?
:: c) Welcher Summand im Funktionsterm ist vermutlich ausschlaggebend für das Verhalten?
{{Lösung versteckt|1=
'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 4ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
::d) Welche Fälle müssen beim Koeffizienten dieses Summanden unterschieden werden? Wie wirken sich diese auf das Verhalten aus?
:: e) Zeichne weitere ganzrationale Funktionen mit geradem Funktionsgrad und verschiedenen Koeffizienten in das Koordinatensystem und überprüfe damit deine Vermutungen.
:: f) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}
== Ungerader Funktionsgrad ==
{{Box|1=Aufgabe 3|2= Gegeben sind die Funktionen <math>f(x)=2x^5+4x^2-3</math> und <math>g(x)=-0,5x^3-x^2+3x-1</math>
:: a) Untersuche die beiden Funktionen wie im vorherigen Abschnitt zum geraden Funktionsgrad.
{{Lösung versteckt|1=
'''Verändere die Koeffizienten der Funktion 3ten Grades mit Hilfe der Schieberegler und finde heraus, welcher Summand das Verhalten des Graphen für große x-Werte beeinflusst.'''
:: b) Fasse deine Ergebnisse zusammen und ergänze den Hefteintrag an den entsprechenden Stellen.
|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}
==Das Flächenproblem==
{{Box|Idee|
[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|right]]
Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm Wasserverbrauch]?
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
|}
|Hervorhebung2}}
'''WICHTIG'''
Weitere Aussagen, z.B. über die Wertemenge, Extremwerte, Symmetrie, etc., sind hier noch nicht möglich!
==Unter- und Obersumme==
{{Box|1=Begriffsklärung|2=
Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Schulbuch (S.112)
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Informiere dich in dem Video wie man mit der Untersumme und Obersumme die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse bestimmen kann?
#Beachte nur die Potenz mit dem höchsten Exponenten.
}}</div>
#Beachte die Potenzgesetze.
#Wird ein ganzes Polynom vom Grad n mit der Zahl m potenziert, so ergibt <math>(a_nx^n)^m</math> die höchste Potenz im Ergebnis. Der Rest ist nicht von Interesse!
Z.B. <math>(3x^2-2x+1)^3 = (3x^2)^3+... = 27x^6+...</math>
4. Werden zwei Polynome vom Grad n und m und den Koeffizienten a<sub>k</sub> bzw. b<sub>j</sub> miteinander multipliziert, so ergibt das Produkt der Potenzen mit dem jeweils höchsten Exponenten, <math>a_nx^nb_mx^m</math>, im Ergebnis die Potenz mit dem höchsten Exponent.
Z.B. <math>(1,5x^3+x^2)(x^4-2x)=1,5x^4x^3+x^4x^2-2xx^3-2xx^2=1,5x^7+x^6-2x^4-2x^3</math>
5. Achte auf die Vor- und Rechenzeichen.
|2=Hilfe anzeigen|3=Hilfe ausblenden}}
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Aufgabe 5|2=Ordne den Funktionsgraphen die passenden Funktionsterme zu.
Als y-Achsenabschnitt wird der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse genannt. Er ergibt sich, wenn für den x-Wert 0 eingesetzt wird. <br />Damit folgt aus der allgemeinen Funktionsgleichung <math>f(0)=a_n0^n + ... + a_10 + a_0 = a_0</math> <br />
Es ist also S<sub>y</sub> (0/ a<sub>0</sub>) und damit ist der y-Achsenabschnitt gerade a<sub>0</sub>.
|3=Merksatz}}
{{Box|1=Merke|2=Ist der Funktionsgraph gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt ablesen.<br /> Ist der Schnittpunkt S<sub>y</sub> mit der y-Achse gegeben, so lässt sich a<sub>0</sub> direkt angeben.|3=Merksatz }}
=== Aufstellen eines linearen Gleichungssystems ===
==Das bestimmte Integral==
{{Box|1=Arbeitsaufträge|2=
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Merke|2=
* Die Anzahl der unbekannten Koeffizienten gibt an, wieviele Bedingungen (z.B. Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen) bekannt sein müssen, um den Funktionsterm eindeutig bestimmen zu können.
==Flächenberechnung==
{{Box|1=Achtung Flächenbilanz|2=
<div class="grid">
<div class="width-1-2">
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
*Verwende dazu [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html '''dieses Applet''']!
</div>
<div class="width-1-2">Bestimmtes Integral, Flächenbilanz, Fläche über/unter der x-Achse
* Gib immer zunächst den allgemeinen Funktionsterm an um dir einen Überblick über die gesuchten Koeffizienten zu verschaffen.
* Durch das Aufstellen von Gleichungen, mit Hilfe der Bedingungen, ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, mit welchem sich die gesuchten Koeffizienten nach und nach bestimmen lassen. |3=Merksatz}}
==Integralfunktion==
{{Box|Aufgabe 4|
#die Berechnung eines Integrals als Grenzwert von Unter- bzw. Obersumme ist aufwendig. Einfacher geht die Bestimmung mit der Integralfunktion.
#Betrachte im Applet die Integralfunktion
#Bearbeite als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}
{{Box|1=Aufgabe 7|2=Bestimme den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe der jeweiligen Bedingungen:
a) Der Graph der Funktion f vom Grad 4 verläuft durch die Punkte P(-2/6), und Q(1/-1,2) als auch durch den Ursprung. Der Funktionsterm besteht nur aus Potenzen mit geradzahligem Exponenten.
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Integralrechnung|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
b) Die Punkte P(-1/3), Q(1/0) und S(2/4,5) liegen auf dem Funktionsgraph einer Funktion dritten Grades. Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt S<sub>y</sub>(0/1,5)
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>
Auf dem Arbeitsblatt sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! Lösung
Berechne: ; ;
Überprüfe die Lösung mit folgendem Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
Flächenberechnung
Achtung Flächenbilanz
Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Einführung in die Integralrechnung,Mathematik,Einführung,Integralrechnung,12. Klasse,Oberstufe,Lernpfad</metakeywords>
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Das bestimmte Integral; 
Applet, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
