Zentrische Streckung/Vierstreckensatz/2.Station und Zentrische Streckung/Abbildung durch zentrische Streckung/2.Station: Unterschied zwischen den Seiten

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< Zentrische Streckung‎ | Vierstreckensatz(Unterschied zwischen Seiten)
Main>Michael Schuster
 
Main>Leonie Porzelt
(2. Station eingefügt)
 
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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
==2. Station: Streckungsfaktor==
[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz|1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/2.Station|2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/3.Station|3. Station: Zweiter Vierstreckensatz]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/4.Station|4. Station: Zusammenfassung]] - [[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/5.Station|5. Station: Übung]]
:In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
:Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| <br>
|<ggb_applet height="320" width="700" showResetIcon="true" filename="Porzelt_positiverStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<quiz display="simple">
 
{'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}
+auf derselben Seite
-auf verschiedenen Seiten
 
{'''Was liegt bei k>1 vor?'''}
+eine Vergrößerung
-eine Verkleinerung
-die Identität
 
{'''Was liegt bei 0<k<1 vor?'''}
-eine Vergrößerung
+eine Verkleinerung
-die Identität
 
{'''Was liegt bei k=1 vor?'''}
-eine Vergrößerung
-eine Verkleinerung
+die Identität
 
{'''Was passiert wenn k=0 ist?'''}
+es erfolgt '''keine''' zentrische Streckung
-es erfolgt '''eine''' zentrische Streckung
 
</quiz>
|}
</div>
</div>
<br>
<br>


==2. Station: Erster Vierstreckensatz - Abschnittlösung==
<br>
Bei dieser Aufgabe sollst du berechnen, wie weit Dia von Panto entfernt ist. Die gesuchte Größe ist hier nur ein<br>
:Was sind die Unterschiede, wenn du dieses Dreieck zentrisch streckst? Dieses mal durchläuft der
Abschnitt des Schenkels.<br>
:Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.
[[Bild:Porzelt_Idee.jpg]]<br>
<br>
Anhand der Eigenschaft der Längenverhältnisstreue der zentrischen Streckung kannst du auch hier wieder die geeignete Formel<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
zur Berechnung der unbekannten Strecke herleiten. Setze dafür die richtige Aussage in die passende Lücke ein:<br>
{| <br>
<div style="border: 2px solid #0000ff; background-color:#ffffff; padding:7px;">
|<ggb_applet height="400" width="750" showResetIcon="true" filename="Porzelt_negativerStreckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<div class="lueckentext-quiz">
<quiz display="simple">
<math>\overline{ZA'} =</math> '''<math>|k| \cdot \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}\ \overline{ZB'} =</math> '''<math>|k| \cdot \overline{ZB}</math>'''<br>
 
<math>\overline{AA'} = \overline{ZA'} - \overline{ZA}\ \mathit{und}\ \overline{BB'} = \overline{ZB'} - \overline{ZB}</math><br>
{'''Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?'''}  
Erste Zeile in zweite Zeile eingesetzt ergibt:<br>
-auf derselben Seite
<math>\overline{AA'} =</math> '''<math>|k| \cdot \overline{ZA} - \overline{ZA}</math>''' <math>\mathit{und}\ \overline{BB'} =</math> '''<math>|k| \cdot \overline{ZB} - \overline{ZB}</math>'''<br>
+auf verschiedenen Seiten
Aufgelöst nach |k|:<br>
 
<math>\mid k\mid =</math> '''<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}}</math>''' <math>- {\overline{ZA}\over\overline{ZA}}</math> <math>\mathit{und}\ \mid k\mid =</math> <math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}} - </math>'''<math>{\overline{ZB}\over\overline{ZB}}</math>'''<br>
{'''Was liegt bei k< -1 vor?'''}  
<math>\mid k\mid =</math> '''<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}} - 1</math>''' <math>\mathit{und}\ </math> '''<math>\mid k\mid </math>''' <math>= {\overline{BB'}\over\overline{ZB}} - 1</math><br>
+eine Vergrößerung
Gleichsetzen:<br>
-eine Verkleinerung
<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}} - 1 =</math> '''<math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math> '''<math>- 1 \mid+1</math><br>
-die Identität
<math>{\overline{AA'}\over\overline{ZA}} =</math> <math>{\overline{BB'}\over\overline{ZB}}</math>
-eine Spiegelung
 
{'''Was liegt bei 0>k> -1 vor?'''}  
-eine Vergrößerung
+eine Verkleinerung
-die Identität
-eine Spiegelun)
 
{'''Was liegt bei k= -1 vor?'''}  
-eine Vergrößerung
-eine Verkleinerung
-die Identität
+eine Spiegelung
 
</quiz>
|}
</div>
</div>
&nbsp;
<br>
<br>
:Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
:sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.
<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
{| <br>
|<ggb_applet height="400" width="850" showResetIcon="true" filename="Porzelt_Streckungsfaktor.ggb" />||'''Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:'''
<quiz display="simple">
 
{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?'''}
+Sie bleibt immer gleich.
-Sie ist variabel.
 
{'''Wie verändert sich die Streckenlänge <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>?'''}
-Sie bleibt immer gleich.
+Sie ist variabel.
 
{'''Wie verhält sich k?'''}
-Es bleibt immer gleich.
+Es ist variabel.
 
</quiz>
|}
</div>
</div>
<br>
<br>
<div style="border: 2px solid #cfcfcf; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
:In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.
<br>
:'''Arbeitsauftrag:'''
:''1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> ändert im Vergleich zur Länge von <span style="text-decoration: overline;">ZB</span>?
:(Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
:''2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?''
{|
{|
  |Du hast die '''Abschnittlösung des ersten Vierstreckensatzes''' hergeleitet.||&nbsp;
  |
[[Bild:Porzelt_lobenderPanto9.jpg]]
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
|- style="background-color:#CDB5CD"
! 2 !! 4 !! 8
|- style="background-color:#CAFF70"
! 1.5 !! 4 !! 6
|- style="background-color:#EEA2AD"
! 1 !! 4 !! 4
|- style="background-color:#C6E2FF"
! 0.5 !! 4 !! 2
|-
| 0 || 4 || 0
|}
 
||
{| {{Prettytable}}
|- style="background-color:#8DB6CD"
! k !! <span style="text-decoration: overline;">ZB</span> !! <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>
|- style="background-color:#CDB5CD"
! -2 !! 4 !! 8
|- style="background-color:#CAFF70"
! -1.5 !! 4 !! 6
|- style="background-color:#EEA2AD"
! -1 !! 4 !! 4
|- style="background-color:#C6E2FF"
! -0.5 !! 4 !! 2
|-
| 0 || 4 || 0
|}
|}
|}
</div>
<br>
<br>
 
:Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:{{Versteckt|
[[Bild:Porzelt_Panto-2.jpg|left]]
1. <math>\overline{ZB'}</math> ist k-mal so lang wie <math>\overline{ZB}</math>.
2. Die Längen der Strecken <math>\overline{ZB}</math> und <math>\overline{ZB'}</math> bleiben gleich, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.}}
<br>
<br>
Auch hier verhalten sich die Abschnitte auf der einen Halbgeraden wie die Abschnitte auf der anderen Halbgeraden.<br>
<div style="border: 2px solid #00CD00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:'''Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum der Wert von <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.'''
:'''Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:'''
<br>
<br>
<quiz display="simple">
{Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?}
+nein
-ja
{Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert '''gleich''' bleibt,
sich jedoch aber eine positive Zahl '''nicht''' in eine negative Zahl umwandelt?}
-durch Quadrieren
+mit Hilfe von Betragsstrichen
-durch Multiplikation mit -1
</quiz>
</div>
</div>
<br>
<br>
'''Trage hier deine Lösung mit Angabe der Einheit (cm) ein!'''<br>
:Prima! Dank dir versteht jetzt Dia, wie die Werte für <span style="text-decoration: overline;">ZB'</span> entstehen.
<div style="border: 2px solid #00cd00; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:Mit deiner Hilfe und ihrer Vermutungen kann sie eine allgemeingültige Aussage machen.
:Teste durch Einsetzen der richtigen Wörter, ob auch du dahinter gekommen bist:
<div class="lueckentext-quiz">
<div class="lueckentext-quiz">
<math>{x \over 2\ cm} = {5\ cm \over 2,5\ cm}</math><br>
Die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB</span>''' ist '''|k|-mal''' so lang wie die Länge von '''<span style="text-decoration: overline;">ZB'</span>'''.
Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner:<br>
x = '''4 cm (Tipp:  Leerzeichen zwischen Zahl und Einheit nicht vergessen!)'''.
</div>
</div>
&nbsp;
 
<br>
:Hier siehst du was das k bedeutet. Merke es dir, denn später wirst du darüber abgefragt!
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
:'''k''' bezeichnet man als den '''Streckungsfaktor'''. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.
</div>
</div>
<br>
<br>
<div align="left">[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz/3.Station|<math>\Rightarrow</math> Weiter zur 3. Station: Zweiter Vierstreckensatz]]</div>
<br>
<div align="left">[[Benutzer:Leonie Porzelt/Vierstreckensatz|<math>\Leftarrow</math> Zurück zur 1. Station: Erster Vierstreckensatz - Schenkellösung]]</div>

Version vom 3. Juli 2009, 19:29 Uhr

2. Station: Streckungsfaktor

In dem nächsten Fall ist das Urbild ein Dreieck, dass du zentrisch strecken kannst, indem du an dem Schieberegler ziehst.
Der Schieberegler durchläuft die positiven Zahlen von k=0 bis k=3.
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1 Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?

auf derselben Seite
auf verschiedenen Seiten

2 Was liegt bei k>1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität

3 Was liegt bei 0<k<1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität

4 Was liegt bei k=1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität

5 Was passiert wenn k=0 ist?

es erfolgt keine zentrische Streckung
es erfolgt eine zentrische Streckung



Was sind die Unterschiede, wenn du dieses Dreieck zentrisch streckst? Dieses mal durchläuft der
Schieberegler die negativen Zahlen von k=-3 bis k=0.


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1 Auf welcher Seite von Z liegen das Urbild und das Bild?

auf derselben Seite
auf verschiedenen Seiten

2 Was liegt bei k< -1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität
eine Spiegelung

3 Was liegt bei 0>k> -1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität
eine Spiegelun)

4 Was liegt bei k= -1 vor?

eine Vergrößerung
eine Verkleinerung
die Identität
eine Spiegelung



Um herauszufinden was das k bedeutet, musst du dir jetzt bei dieser zentrischen Streckung anschauen, wie
sich die Streckenlängen verändern, wenn du k veränderst. Dazu musst du dir die Streckenlängen anzeigen lassen.


Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. Was verändert sich? Orientiere dich dabei an diesen Fragen:

1 Wie verändert sich die Streckenlänge ZB?

Sie bleibt immer gleich.
Sie ist variabel.

2 Wie verändert sich die Streckenlänge ZB'?

Sie bleibt immer gleich.
Sie ist variabel.

3 Wie verhält sich k?

Es bleibt immer gleich.
Es ist variabel.


Die Werte, die sich aus der Änderung von k ergeben, wurden in zwei Tabellen zusammengefasst.
In der linken sind die Werte für k von 2 bis 0, in der rechten für k von -2 bis 0.


Arbeitsauftrag:
1. Betrachte zunächst nur die linke Tabelle und stelle eine Vermutung auf, wie sich die Länge von ZB' ändert im Vergleich zur Länge von ZB?
(Tipp: Betrachte auch den Wert von k!)
2. Vergleiche die Zeilen mit der selben Hintergrundfarbe! Was haben sie gemeinsam? Was sind die Unterschiede?
k ZB ZB'
2 4 8
1.5 4 6
1 4 4
0.5 4 2
0 4 0
k ZB ZB'
-2 4 8
-1.5 4 6
-1 4 4
-0.5 4 2
0 4 0


Hier kannst du deine Vermutung mit der von Dia vergleichen:
Vorlage:Versteckt


Dia ist nach ihren Vermutungen total verwirrt. Sie versteht nicht warum der Wert von ZB' gleich bleibt, wenn sich das Vorzeichen von k ändert.
Vielleicht kannst du ihr helfen, indem du ihre Fragen beantwortest:


1 Kann eine Streckenlänge ein negatives Vorzeichen haben?

nein
ja

2 Wie kann man eine negative Zahl in eine positive Zahl umwandeln, sodass der Wert gleich bleibt, sich jedoch aber eine positive Zahl nicht in eine negative Zahl umwandelt?

durch Quadrieren
mit Hilfe von Betragsstrichen
durch Multiplikation mit -1


Prima! Dank dir versteht jetzt Dia, wie die Werte für ZB' entstehen.
Mit deiner Hilfe und ihrer Vermutungen kann sie eine allgemeingültige Aussage machen.
Teste durch Einsetzen der richtigen Wörter, ob auch du dahinter gekommen bist:

Die Länge von ZB ist |k|-mal so lang wie die Länge von ZB'.


Hier siehst du was das k bedeutet. Merke es dir, denn später wirst du darüber abgefragt!
k bezeichnet man als den Streckungsfaktor. Er gibt den Maßstab an, in dem das Bild vergrößert wurde.


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