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| | Wir untersuchen nun gemeinsam die gebrochen-rationale Funktion <math>f(x) = \frac{x^3}{x^2-4} |
| | </math> |
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| ====<span class="brainy hdg-ruler-pencil fa-3x" "></span>Aufgabe 1====
| | Dabei betrachten wir folgende Aspekte: |
| Untersuche die Funktion auf Symmetrie. Bestimme die Schnittpunkte mit den Achsen, ggf. das Verhalten an den Definitionslücken, das Verhalten im Unendlichen und die Extrema. Skizziere anschließend <math>G_f</math>.
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| a) <math>f(x)= \frac{1}{2}x^3-4x^2+8x</math>
| | #[[Definitionsmenge]] |
| | #[[Symmetrieuntersuchung|Symmetrie]] |
| | #[[Schnittpunkt mit den Achsen]] |
| | #[[Verhalten an den Definitionslücken]] |
| | #[[Verhalten im Unendlichen]] |
| | #[[Extremwerte und Monotonie]] |
| | #[[Graph]] |
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| b) <math>f(x)= \frac{4+x^2}{x^2-9}</math>
| | <br /><span class="brainy hdg-pencil fa-3x" "></span> |
| | [[Datei:Überschrift.jpg|alternativtext=|ohne|mini|600x600px]] |
| | <p> </p> |
| | <p> </p> |
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| c) <math>f(x)= \frac{1}{6}(x+1)^2(x-2)</math> <span class="brainy hdg-star fa-2x" "></span>
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| d) <math>f(x)= \frac{x^2-4}{x^2+1}</math> <span class="brainy hdg-rocket fa-2x" "></span>
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| e) <math>f(x)= 2-\frac{5}{2}x^2+x^4</math> <span class="brainy hdg-rocket fa-2x" "></span>
| | Wenn du dir alle Teilaspekte der Funktionsuntersuchung angeschaut und notiert hast, gelangst du [[Übungen Funktionsuntersuchung|hier]] zu den Übungen. |
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| | {{Fortsetzung|weiter=zu den Übungen|weiterlink=[[Übungen Funktionsuntersuchung]]}} |
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| {{Lösung versteckt|Überprüfe deine Ergebnisse eigenständig mithilfe von [https://www.geogebra.org/calculator GeoGebra] |Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
| | {{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Funktionsuntersuchungen rationaler Funktionen}} |
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:1a LSG.jpg|ohne|mini|834x834px]]|Lösung a) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung b.jpg|ohne|mini|791x791px]]|Lösung b) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:1c LSG.jpg|ohne|mini|872x872px]]|Lösung c) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung d.jpg|ohne|mini|600x600px]]|Lösung d) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung e.jpg|ohne|mini|600x600px]]|Lösung e) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| ====<span class="brainy hdg-ruler-pencil fa-3x" "></span>Aufgabe 2====
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| Untersuche die Funktion f soweit, dass du den Graphen skizzieren kannst. Bestimme anschließend graphisch und rechnerisch die [https://lernplattform.mebis.bayern.de/pluginfile.php/63262829/mod_resource/content/1/Tangentengleichung%20bestimmen.pdf Gleichung der Tangente] <span class="brainy hdg-magnifying-glass fa-1x" "> an den Graphen <math> G_f </math>, die parallel zur Gerade <math> g </math> verläuft und skizziere.
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| a) <math>f(x)=-2x^2+12x-10</math>; <math>g(x)=-4x+6</math>
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| b) <math>f(x)=x^3+10x+4</math>; <math>g(x)=x+8</math><span class="brainy hdg-rocket fa-2x" "></span>
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| {{Lösung versteckt|Zwei Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung haben. |Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Die Steigung der Tangenten in einem Punkt, entspricht der Steigung des Graphen, also der Ableitung, in diesem Punkt. |Tipp 2 anzeigen|Tipp 2 verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung 2a.jpg|ohne|mini|600x600px]]|Lösung a) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Lösung 2b.jpg|ohne|mini|600x600px]]|Lösung b) anzeigen|Lösung verbergen}}
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| ====<span class="brainy hdg-ruler-pencil fa-3x" "></span>Aufgabe 3<span class="brainy hdg-star fa-1x" "></span>====
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| Betrachtet werden die Funktionen
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| <math>f_1(x)=x^3-x^2+3x</math>
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| <math>f_1(x)=x^3-3x^2+3x</math>
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| <math>f_1(x)=x^3-4x^2+3x</math>
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| a) Stelle den Parameter a jeweils so ein, dass du <math>f_1, f_2</math> bzw. <math>f_3</math> erhältst. Vergleiche die Anzahl der Extrema der drei Funktionen.
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| b) Alle drei Funktionsterme haben die Form <math>f_a(x)=x^3+ax^2+3x</math>. Für welche Parameterwerte <math>a \in \R </math>besitzen die Funktionen, die diese Form haben, zwei Extrema, ein bzw. kein Extremum? Beweise deine Überlegungen auch rechnerisch.
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| <span class="brainy hdg-lamp2 fa-2x" "></span> Falls dir das GeoGebra-Applet nicht richtig angezeigt wird, lade die Seite neu.
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| <ggb_applet id="f8cr4t7x" width="800" height="600"></ggb_applet>
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| ====<span class="brainy hdg-screen01 fa-3x" "></span>Aufgabe 4====
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| {{LearningApp
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| | app = pwpensd1v22
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| | height = 500px
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| }}
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| ====<span class="brainy hdg-ruler-pencil fa-3x" "></span>Aufgabe 5====
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| Der Innenbogen des "[https://de.wikipedia.org/wiki/Gateway_Arch_National_Park Gateway-Arch]" in St. Louis (USA) lässt sich näherungsweise durch die Funktion
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| <math>f(x)=187,5-1,79 \cdot 10^-2x^2-1,998 \cdot 10^-6x^4</math> (x in m) beschreiben.
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| a) Bereichen die Höhe und die maximale Breite des Innenbogens.
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| {{Lösung versteckt|Schaue dir die Funktion in GeoGebra an und mache dir klar, was der Höhe und der Breite entspricht.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| b) Bestimme die Größe des Winkels zwischen dem Innenbogen und der Grundfläche.
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| {{Lösung versteckt|Dieser Winkel entspricht dem [[Steigungswinkel]] der Tangente durch die Nullstelle.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| c) Bei einer Flugveranstaltung soll ein Flugzeug mit einer Flügelspannweite von 18m unter dem Bogen hindurchfließen. Welche Maximalflughöhe muss der Pilot einhalten, wenn in vertikaler und in horizontaler Richtung ein Sicherheitsabstand zum Bogen von 10m eingehalten werden muss?
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| {{Lösung versteckt| Verdeutliche dir den Sachverhalt an einer Skizze.|Tipp anzeigen|Tipp verbergen}}
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| ====<span class="brainy hdg-ruler-pencil fa-3x" "></span>Aufgabe 6====
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| Einer der wichtigsten Nährstoffe für Pflanzen ist Stickstoff. Er wird den Pflanzen (neben dem schon im Boden vorhandenen Stickstoff) in Form von Dünger zugegeben. Wissenschaftler fanden heraus, dass der zusätzliche Getreideertrag
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| <math>f(x) </math>in 100 <math>\frac{kg}{ha} </math> aufgrund der Zugabe von Dünger sich näherungsweise wie folgt darstellen lässt:
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| <math>f(x)=\frac{a\cdot x}{x^2+b} </math> mit <math>x\geq0 </math>
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| Für <math>f</math>gilt dabei <math>f(100)=25 </math> und <math>f(600)=20 </math>.
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| Was würdest du einem Ökonom für die Zugabe von Dünger empfehlen?
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| {{Lösung versteckt|Wie sieht die Entwicklung des zusätzlichen Getreideertrages aus? Bestimme die Parameter a und b und skizziere den Funktionsgraphen.|Tipp 1 anzeigen|Tipp 1 verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Wie viel Dünger muss hinzugegeben werden, um einen größtmöglichen zusätzlichen Getreideertrag zu erzielen?|Tipp 2a anzeigen|Tipp 2a verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Bestimme das Maximum der Funktion.|Tipp 2b anzeigen|Tipp 2b verbergen}}
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| {{Fortsetzung|vorher=zurück|vorherlink=Funktionsuntersuchung}} | |
