Integralrechnung/Stammfunktion und Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 20. November 2018, 19:38 Uhr

Das bestimmte Integral

Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche $A$ unter dem Graphen einer Funktion $f(x)$ im Intervall $[a;b]$ immer durch die Obersumme $O_n$ und die Untersumme $U_n$ (jeweils bestehend aus $n$ Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:

U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n

Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für $n \to \infty$ wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung:

$\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A$

Definition

Die Fläche $A$ unter dem Graphen der Funktion $f(x)$ im Intervall $[a;b]$ nennt man das bestimmte Integral von $f(x)$ in den Grenzen $a$ und $b$ , in Zeichen:

${\displaystyle \int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n }$

Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.

Merke

Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d $x$ " ist ein sog. Differential und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe.
Die Zahlen $a$ und $b$ sind die Grenzen des Integrals. $a$ ist die untere Grenze, $b$ die obere Grenze.
Die Funktion $f(x)$ , also alles, was unter dem Integral steht (alles außer d $x$ ), wird Integrand genannt.
Zwischen dem Integranden $f(x)$ und dem Differential d $x$ steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte $f(x)$ und deren Breite durch das Differential d $x$ gegeben sind.

f(x) \cdot \mathrm{d}x

ist dann der Flächeninhalt (Höhe

\cdot

Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!

Aufgabe 4

Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder geogebra.org) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion $f(x)$ , die Intervallgrenzen $a$ und $b$ und dann den Befehl "A $=$ Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.

Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.

$f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2$ im Intervall $[-1;2]$
$f(x)= \sqrt{x}$ im Intervall $[0;8]$
$f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2$ im Intervall $[-1;2]$

A $=$ 7
A $=$ 15.08
A $=$ 6.15

Aufgabe 5

Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:

Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche $A$ ) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?

Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von orientierten Flächeninhalten. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.

Berechnung des bestimmten Integrals von Hand

An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen!
Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur Integration (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen.
Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen.
Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.

Flächeninhaltsfunktion

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Integral}}}}
-==Stammfunktion==
+==Das bestimmte Integral==
-{{Box|1=Definition|2=
+Auf den vorigen Seiten hast Du gelernt, dass die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen einer Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> immer durch die Obersumme <math>O_n</math> und die Untersumme <math>U_n</math> (jeweils bestehend aus <math>n</math> Rechtecksflächen) auf folgende Weise abgeschätzt werden kann:
-Man nennt eine Funktion <math>F(x)</math> eine '''Stammfunktion''' der Funktion <math>f(x)</math> oder
+<div align="center">
-das '''unbestimmte Integral''' von <math>f(x)</math>, wenn gilt:
+<math>U_n \ \leq \ A \ \leq \ O_n</math> </div> <br>
+Diese Einschachtelung wird umso genauer, je mehr Rechteckflächen für Ober- und Untersumme zur Anwendung kommen. Im Extremfall für <math>n \to \infty</math> wird sie exakt. Es ergibt sich durch Grenzwertbetrachtung: <br><br>
 <div align="center">
-<math>F\ '(x) = f(x)</math>
+<math>\lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n = A</math>
 </div>
-Das heißt, die Ableitung der Stammfunktion oder des unbestimmten Integrals <math>F(x)</math> ist die Funktion <math>f(x)</math>. Somit stellt das Auffinden einer Stammfunktion die Umkehrung zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion dar und es gilt:
+{{Box|1=Definition|2=
+Die Fläche <math>A</math> unter dem Graphen der Funktion <math>f(x)</math> im Intervall <math>[a;b]</math> nennt man das '''bestimmte Integral''' von <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>, in Zeichen: <br>
 <div align="center">
-<math>F\ (x) = \int f(x)\ \mathrm{d}x</math>
+<math>
+\int\limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} O_n = \lim_{n \to \infty} U_n
+</math>
 </div>
-Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation, d.h. man hat eine Funktion <math>f(x)</math> gegeben und sucht eine Funktion <math>F(x)</math>, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.
+Diese Definition ist zunächst vorläufig und wird im Folgenden noch um einen wichtigen Punkt erweitert werden.
 |3=Hervorhebung1}}
+<br><br>
+{{Box|1=Merke|2=
+Das Integralzeichen stellt ein stilisiertes S dar und steht für die unendliche Summe. Das "d<math>x</math>" ist ein sog. ''Differential'' und bezeichnet die unendlich kleine Breite eines Rechtecks der Ober- oder Untersumme beim Grenzübergang. Zusammenfassend bedeutet die Integralschreibweise also den Grenzwert einer Summe. <br>
+Die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> sind die ''Grenzen des Integrals''. <math>a</math> ist die '''untere Grenze''', <math>b</math> die '''obere Grenze'''. <br>
+Die Funktion <math>f(x)</math>, also alles, was ''unter'' dem Integral steht (alles außer d<math>x</math>), wird '''Integrand''' genannt. <br>
+Zwischen dem Integranden <math>f(x)</math> und dem Differential d<math>x</math> steht ein nicht mitgeschriebener Malpunkt, denn es wird ja die unendliche Summe der Rechtecke gebildet, deren Höhe durch die Funktionswerte <math>f(x)</math> und deren Breite durch das Differential d<math>x</math> gegeben sind.
+<math>f(x) \cdot \mathrm{d}x</math> ist dann der Flächeninhalt (Höhe <math>\cdot</math> Breite) der unendlich schmalen Rechtecke!
+|3=Merksatz}}
-===Beispiel===
-Gesucht ist eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu der Funktion <math>f(x) = x^2</math>. <br>
+{{Box|1=Aufgabe 4|2=
-Wir wissen, dass die Ableitung der gesuchten Funktion unsere Ausgangsfunktion sein muss. Wir wissen weiter, dass bei der Ableitung einer Potenzfunktion der Exponent als Faktor vor die Ableitung geschrieben und danach um 1 erniedrigt wird. Also gilt <br>
+Berechne wieder mit Geogebra (eingebettetes Applet, installierte Version auf Deinem Gerät oder [https://www.geogebra.org geogebra.org]) das bestimmte Integral folgender Funktionen in den jeweiligen Grenzen, indem Du zuerst die Funktion <math>f(x)</math>, die Intervallgrenzen <math>a</math> und <math>b</math> und dann den Befehl "A <math>=</math> Integral[f,a,b]" eingibst. Das Ergebnis wird Dir als Zahl "A" in der markierten Fläche und links im Algebra-Fenster angezeigt.
-<math>F(x) = \frac{1}{3} \ x^3</math>, denn <math>F \ '(x) = x^2</math> und das wollten wir ja haben!
+Du kannst dann die Funktion und die Grenzen wieder wie bei der vorangegangenen Übung ändern.
+# <math>f(x)=\frac{1}{3} \cdot x^2 + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
+# <math>f(x)= \sqrt{x}</math> im Intervall <math>[0;8]</math>
+# <math>f(x)= x^3 - \frac{1}{5} \cdot x^2 - 2 \cdot x + 2</math> im Intervall <math>[-1;2]</math>
+|3=Arbeitsmethode}}
+<div align="center">
+<ggb_applet height="600" width="600" useLocalJar="true" showMenuBar="true" showToolBar="true" showAlgebraInput="true" showResetIcon="true" filename="blank.ggb" />
+</div>
+{{Lösung versteckt|1=
+# A <math>=</math> 7
+# A <math>=</math> 15.08
+# A <math>=</math> 6.15
+}}
 <br><br>
+{{Box|1=Aufgabe 5|2=
+Im Applet unten sollst Du folgende Aufgaben bearbeiten:
+# Verschiebe den Graphen der Funktion mit der Maus so, dass das bestimmte Integral (also die Fläche <math>A</math>) negativ wird. Wann passiert das? Was bedeutet das?
+# Verschiebe nun den Graphen und die Intervallgrenzen so, dass der Wert des Integrals 0 wird. Welche Bedingung ist dann erfüllt? Gibt es dafür mehrere Möglichkeiten? Was bedeutet dieser zu 0 gewordene Flächeninhalt?
+# Offensichtlich gibt es einen Unterschied zwischen dem bestimmten Integral und dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse. Worin liegt dieser Unterschied? Wann sind beide gleich?
+|3=Arbeitsmethode}}
-{{Box|1=Aufgabe 9|2=
+<center><ggb_applet id="zJr5DWGA" width="600" height="400" border="888888" /></center>
-# Es gibt zu einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math> immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> mit einer reellen Zahl <math>c</math>. Begründe diesen Satz mit Deinem mathematischen Wissen!
-# Bestimme eine Stammfunktion <math>F(x)</math> zu <math>f(x)= x^3</math>. Mache auf jeden Fall die Probe <math>F \ ' (x) = f(x)</math>.
-|3=Arbeitsmethode}}
 {{Lösung versteckt|1=
-# Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen der Form <math>F(x) + c</math> einer gegebenen Funktion <math>f(x)</math>, da die Ableitung einer solchen Stammfunktion immer wieder <math>f(x)</math> ergibt. Konstanten werden ja zu null abgeleitet.
+# Das bestimmte Integral wird negativ, wenn die markierte Fläche unter der x-Achse größer wird als diejenige über der x-Achse. Dies bedeutet, dass Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen zugeschrieben wird. Man spricht dann von '''orientierten Flächeninhalten'''. Solche über der x-Achse sind positiv orientiert, diejenigen unter der x-Achse negativ orientiert.
-# Es ist z.B. <math>F(x) = \frac{1}{4} \ x^4</math>, i.A. aber <math>F(x)=\frac{1}{4} \ x^4 + c</math>
+# Die Fläche über der x-Achse ist genauso groß wie diejenige unter der x-Achse. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten dafür. Der zu 0 gewordene Flächeninhalt bedeutet, dass sich die Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse gegenseitig "ausgleichen" oder "aufheben" können.
+# Das bestimmte Integral ist die Summe der orientierten Flächeninhalte ober- und unterhalb der x-Achse in den jeweiligen Grenzen, d.h. die Flächeninhalte oberhalb der x-Achse werden mit einem positiven Vorzeichen versehen und zu denjenigen unterhalb der x-Achse (mit einem negativen Vorzeichen versehen) addiert. Bestimmtes Integral sowie Flächeninhalt zwischen der Funktion und der x-Achse sind dann gleich, wenn nur positiv orientierte Flächeninhalte existieren.
 }}
 <br>
-Im Applet unten wird Dir ein grafisches Beispiel einer Funktion <math>f(x)</math> und zweier Stammfunktionen <math>F(x)</math> und <math>G(x) = F(x) + c</math> gezeigt. <br>
-Verschiebe dabei zuerst die Funktion <math>f(x)</math> mit der Maus in alle möglichen Richtungen und beobachte, wie sich die Stammfunktionen verändern. <br>
-Verschiebe in einem zweiten Schritt die Konstante <math>c</math> auf der y-Achse und abwechselnd die Ausgangsfunktion. Beobachte die Veränderung.
-<center><ggb_applet id="dxttP6y9" width="440" height="380" border="888888" /></center>
+==Berechnung des bestimmten Integrals von Hand==
+An dieser Stelle sollst Du einmal das bestimmte Integral anhand eines einfachen Beispiels selbst von Hand berechnen. Dies ist nicht einfach und kann in jedem Fall auch in Zusammenarbeit innerhalb einer Gruppe geschehen! <br>
+Die Berechnung soll Dir aber einen vertiefenden Einblick in die Berechnung des bestimmten Integrals geben und Dir verdeutlichen, dass einfache Regeln zur ''Integration'' (Berechnung eines Integrals) eine wirkliche Vereinfachung darstellen. <br>
+Die folgenden beiden Arbeitsblätter unterliegen einer public domain Lizenz und sind somit zum freien Gebrauch für Jedermann zugelassen. <br>
+Das erste Arbeitsblatt ist zur Bearbeitung durch Ausfüllen der Lücken gedacht, während die Information zu quadratischen Funktionen dem reinen Durcharbeiten dient.
+# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_linFkt.pdf|Arbeitsblatt lineare Funktion}}
+# {{pdf-extern|http://www.geogebra.org/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/O_U_quadFkt.pdf|Information quadratische Funktion}}
-===Verfeinertes Beispiel von oben===
+{{Fortsetzung|weiter=Flächeninhaltsfunktion|weiterlink=Integral/Flächeninhaltsfunktion}}
-Wir haben jetzt gesehen, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu einer gegebenen Funktion gibt, da die addierte Konstante bei der Ableitung wieder verschwindet. Also müssen wir das Ergebnis des Beispiels von oben etwas erweitern. <br>
-Im Allgemeinen gilt dann für <math>f(x)=x^2</math>: <br>
-<math>F(x)=\frac{1}{3} \ x^3+c</math>
-{{Fortsetzung|weiter=Aufgaben|weiterlink=Integral/Aufgaben}}
+[[Kategorie:Integralrechnung]]
+[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
+[[Kategorie:Mathematik]]
+[[Kategorie:Interaktive Übung]]
+[[Kategorie:GeoGebra]]

Suche

Integralrechnung/Stammfunktion und Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 20. November 2018, 19:38 Uhr

Das bestimmte Integral

Berechnung des bestimmten Integrals von Hand

Navigation

Fächer

Hilfen

⧼advertisement⧽

Suche

Integralrechnung/Stammfunktion und Integralrechnung/Bestimmtes Integral: Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 20. November 2018, 19:38 Uhr

Das bestimmte Integral

Berechnung des bestimmten Integrals von Hand

Navigation

⧼advertisement⧽

⧼timis-pagehighlighted⧽

⧼timis-pagenamespaces⧽

⧼timis-pagetranslate⧽

Seitenwerkzeuge

Seitenwerkzeuge