Integralrechnung/Flächeninhaltsfunktion und Integralrechnung/Hauptsatz: Unterschied zwischen den Seiten

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==Die Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math>==
=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung=
Zuletzt hast Du gesehen, dass die Berechnung des bestimmten Integrals von Hand sehr aufwendig und umständlich ist. Wünschenswert wäre es also, wenn es eine einfachere Lösung des Problems gäbe.
Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen.
 
{{Kastendesign1|
Um eine einfachere und bessere Lösung zu finden, kannst Du unten wieder ein Geogebra-Applet benutzen.  
BORDER = cornflowerblue|
 
BACKGROUND = cornflowerblue|
Neben dem Graphen der Funktion <math>f(x)=x^2</math> ist das bestimmte Integral dieser Funktion im Intervall <math>[a; b]</math> abgebildet. Über der oberen Intervallgrenze <math>b</math> ist der Wert des bestimmten Integrals als Zahl und '''Funktionswert''' abgebildet.  
BREITE =100%|
 
INHALT=
{{Aufgaben-M|6|
* Das '''bestimmte Integral''' der Funktion <math>f(x)</math> ist gleich der Summe der orientierten (mit Vorzeichen versehenen) Flächeninhalte zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse in den angegebenen Grenzen <math>a</math> und <math>b</math>.
# Verschiebe die obere Intervallgrenze mit der Maus. Der Funktionswert (also das bestimmte Integral) wird dabei ebenfalls ständig neu berechnet und eingezeichnet. Es entsteht der Graph einer neuen Funktion, der ''Flächeninhaltsfunktion'' <math>F(x)</math>.
* Die "Flächeninhaltsfunktion" <math>F(x)</math> beschreibt den (orientierten) Flächeninhalt zwischen dem Graphen von <math>f(x)</math> und der x-Achse.
# Versuche, die Funktionsvorschrift von <math>F(x)</math> zu bestimmen. Zum einfacheren Ablesen der Punkte auf dem Graphen sind deren Koordinaten <math>b</math> und <math>F</math> angegeben.
* Der Zusammenhang zwischen dem bestimmten Integral von <math>f(x)</math> und der Flächeninhaltsfunktion ist folgender:
<div align="center">
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>.
</div>
* Die "Flächeninhaltsfunktion" wird '''Stammfunktion''' genannt (da sie mehr als nur den Flächeninhalt angibt, vgl. spätere Anwendungen!) und sie besitzt folgenden Zusammenhang mit <math>f(x)</math>:
<div align="center">
<math>F \ '(x) = f(x)</math>
</div>
* '''Integrieren''' oder das Auffinden einer Stammfunktion oder Bildung des '''unbestimmten Integrals''' bedeutet die Umkehrung zum Differenzieren. Das unbestimmte Integral ist gleich der Stammfunktion:
<div align="center">
<math>\int f(x) \ \mathrm{d}x = F(x)</math>
</div>
* Wenn <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, dann ist <math>F(x) + c</math> mit <math>c \in \mathbb{R}</math> ebenfalls eine Stammfunktion von <math>f(x)</math>.
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BILD=Nuvola_apps_edu_miscellaneous.png|
ÜBERSCHRIFT=Zusammenfassung|
}}
}}
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Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
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{{Kastendesign1|
BORDER = #97BF87|
BACKGROUND = #AADDAA|
BREITE =100%|
INHALT=
a) &nbsp; Sei <math>f</math> eine stetige (mit durchgehendem Graphen) Funktion mit reellen Funktionswerten. Dann gilt mit jeder konstanten Zahl <math>x_0 \in [a;b]</math>:
<div align="center">
<math>F(x) = \int \limits_{x_0}^x f(t) \ \mathrm{d}t</math>
</div>
:Dabei ist <math>F(x)</math> eine Stammfunktion zu <math>f(x)</math> und es gilt: <math>F \ '(x) = f(x)</math>.
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b) &nbsp; Sei <math>f(x)</math> eine stetige reellwertige Funktion mit Stammfunktion <math>F(x)</math>. Dann gilt:
<div align="center">
<div align="center">
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="flaechen_fkt.ggb" />
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \left[ F(x) \right]^b_a = F(b) - F(a)</math>
</div>
</div>
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Applet auf geogebra.org: [https://www.geogebra.org/m/tQg99XWn Link]
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png|
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ÜBERSCHRIFT=Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung|
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
<math>F(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3</math>. <br>
An der Gestalt der Flächeninhaltsfunktion erkennt man, dass es eine Funktion 3. Grades ist (vgl. Jahrgangsstufe 11). Z.B. am Punkt (3;9) kann man erkennen, dass der Vorfaktor <math>\frac{1}{3}</math> ist.
}}}}
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{{Aufgaben-M|7|
Ermittle im unteren Applet den Zusammenhang zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und den Funktionswerten der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. Stelle dazu eine Formel bzw. eine Gleichung auf, mit der der Wert des bestimmten Integrals berechnet werden kann!
}}
}}
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<div align="center">
Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch ''Fundamentalsatz der Analysis'' genannt) steht unter dem Integral das Differential d<math>t</math> und der Integrand <math>f(t)</math>. Dies hat folgenden Grund: <br>
<ggb_applet height="350" width="400" useLocalJar="true" showResetIcon="true" filename="integral_wert.ggb" />
Die obere Grenze des Integrals ist die Variable <math>x</math>. Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl <math>b</math> gegeben während die Integrationsvariable <math>x</math> ist. Zwar durchläuft <math>x</math> das ganze Intervall <math>[a;b]</math>, jedoch sind seine Werte doch i.A. von <math>b</math> verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich! <br>
Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion <math>f</math>:
<div align="center>
<math>\int \limits_a^b f(x) \ \mathrm{d}x = \int \limits_a^b f(t) \ \mathrm{d}t = \int \limits_a^b f(s) \ \mathrm{d}s = \int \limits_a^b f(\varphi) \ \mathrm{d}\varphi = \dots</math>
</div>
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Applet auf geogebra.org: [https://www.geogebra.org/m/MFs7uFMe Link]
==Beweis des Hauptsatzes==
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Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Beweis] mit Geogebra.
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{{Lösung versteckt|{{Lösung|
Der Wert des bestimmten Integrals entspricht immer der Differenz der Funktionswerte der Flächeninhaltsfunktion an den Intervallgrenzen. <br>
<math>\int \limits_{a}^{b} f(x) \ \mathrm{d}x = F(b) - F(a)</math>
}}}}
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Damit hast Du gezeigt, dass das bestimmte Integral einer Funktion <math>f(x)</math> in den Grenzen <math>a</math> und <math>b</math> mit Hilfe einer Flächeninhaltsfunktion <math>F(x)</math> und deren Funktionswerten an diesen Intervallgrenzen berechnet werden kann. Somit stellt sich jetzt nur noch die entscheidende
{{Frage|
Wie bestimmt man im Allgemeinen eine Flächeninhaltsfunktion?
}}
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<div align="center">
<div align="center">
[[../Bestimmtes Integral|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Bestimmung der Flächeninhaltsfunktion|>>Weiter>>]]
[[../Aufgaben|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[../Integrationsregeln|>>Weiter>>]]
</div>
</div>
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{{Navigation Lernpfad Integral}}
{{Navigation Lernpfad Integral}}

Version vom 8. November 2018, 11:14 Uhr

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Bevor wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aufschreiben, fassen wir noch einmal kurz die dafür wichtigsten Erkenntnisse zusammen. Vorlage:Kastendesign1

Wenn man die Punkte in der Zusammenfassung oben richtig kombiniert, dann erhält man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Vorlage:Kastendesign1
Im ersten Teil des Hauptsatzes (oder auch Fundamentalsatz der Analysis genannt) steht unter dem Integral das Differential d und der Integrand . Dies hat folgenden Grund:
Die obere Grenze des Integrals ist die Variable . Wenn nun das Differential und die Funktion ebenfalls in x variabel wären, dann könnte man die beiden Variablen nicht mehr voneinander unterscheiden! Jedoch müssen sie unterschieden werden, da sie ja i.A. verschiedene Werte annehmen, vgl. dazu auch die Definition des bestimmten Integrals. Dort ist die obere Grenze durch die feste Zahl gegeben während die Integrationsvariable ist. Zwar durchläuft das ganze Intervall , jedoch sind seine Werte doch i.A. von verschieden. Erst am Ende des Intervalls sind beide gleich!
Das Umbenennen der Integrationsvariable stellt lediglich eine formale Änderung dar und ist jederzeit erlaubt, wenn auch die Variable des Integranden geändert wird. So z.B. gilt für jedes bestimmte Integral einer Funktion :


Beweis des Hauptsatzes

Der Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist keine Pflicht für den Grundkurs, jedoch gebe ich hier einen Link zu einem sehr anschaulichen Beweis mit Geogebra.



Vorlage:Navigation Lernpfad Integral

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