Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Wahrscheinlichkeit und Prozente und Prozentrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !
[[Kategorie:Mathematik]]
= Definition =
[[Kategorie:Lernpfad]]
{| class="hintergrundfarbe3"
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
|-
{{Box|Lernpfad|Herzlich willkommen im Lernpfad <b>Prozente und Prozentrechnung</b>!
| [[Datei:Definition-Icon.png|50px]] || Unter '''Wahrscheinlichkeit''' versteht man die '''Chance''', dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt.
 
Wahrscheinlichkeiten werden Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet.
Dabei entspricht die 0, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten kann (unmögliches Ereignis).
Bei der Wahrscheinlichkeit 1 trifft das Ereignis mit Sicherheit ein (sicheres Ereignis).
 
<u>Schreibweise</u>:
 
P(A) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist 0,5)
|}
 
 
Multipliziert man die ausgerechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Faktor 100, so erhält man das Prozentmaß der Wahrscheinlichkeit:
 
Eine Wahrscheinlichkeit von 0,12 entspricht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,12*100 = 12%.
 
= Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten? =
Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.
 
Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon unbewusst kennengerlernt:
Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, führt man das Zufallsexperiment mit vielen Wiederholungen durch und man notiert die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse (siehe ... ).
Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnissen an. Dieser Zusammenhang wird mit dem '''Gesetz der großen Zahlen''' bezeichnet.


Hier seht ihr ein Liniendiagramm, dass das Gesetz der großen Zahlen visualisieren soll:
<br>Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.


[[Datei:GesetzDerGrossenZahlen.png|825px]]
<br><br>Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.


Man kann erkennen, dass bei einer geringen Anzahl an Würfen die relative Häufigkeit einer 6 noch sehr schwankt. Je mehr Würfe man durchführt, desto weniger schwankt die Linie und verläuft ziemlich nahe bei 0,16 (also ca. 16%).
<br><br>Am Ende dieses Lernpfades sollst du
* den Zusammenhang zwischen Brüchen und Prozenten kennen
* einfache Prozentaufgaben lösen können
* mit dem Prozentstreifen umgehen können
* die Fachbegriffe zur Prozentrechnung kennengelernt haben
|Lernpfad}}
{{Box|Merke|
Der Begriff <b>"Prozent"</b> heißt dabei nichts anderes als <b>"von Hundert"</b>. Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als <b>einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist</b>. Hier lernst du, wie du dein Wissen aus der Bruchrechnung in die Prozentrechnung übertragen kannst!
|Merksatz}}


Damit lässt sich schließen, dass die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu Würfel bei etwa 16% liegt (Die Wahrscheinichkeit liegt tatsächlich bei <math>\frac{1}{6}=0,1667</math>, dass man durch die Annahme von Laplace so berechnen kann)
<b>Also: Leg los!</b>  


==Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes==


Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:
{{Box|Info|
Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Im Rahmen der Bruchrechnung hast du schon einige Beispiele von Prozentsätzen kennengelernt. Wir schauen uns zunächst noch einmal die Begriffe aus der Bruchrechnung an!
|Kurzinfo}}


''Wie oft muss man das Zufallsexperiment denn nun wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?''
{{Box|1=Beispiel|2=
In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.


Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.
[[Datei:Darstellung BAG Kreis.png|506px]]
|3=Beispiel}}
<br><br>
==Brüche und Prozentsätze zuordnen==


Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto genauer nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.
{{Box|Üben|
Zunächst siehst du in der folgenden Aufgabe einige Formen, von denen bestimmte Anteile farbig markiert sind. <b>Gib die farbigen Anteile sowohl in der Bruch- als auch in der Prozentschreibweise an!</b>
<br>Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.<br>
Um einen Anteil in der Prozentschreibweise schreiben zu können, musst du den Bruch zunächst in einen Bruch mit dem Nenner <u>100</u> umwandeln, indem du ihn entsprechend erweiterst oder kürzt.<br>
<br><b>Tipp: Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Glühbirnensymbol. Solltest du beim Lösen der Aufgaben Hilfe benötigen, so erhältst du durch einen Klick darauf einen Hinweis!</b><br>
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=prqmizyq321" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>
{{Box|Üben|
In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!<br>
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pn2rsf4a521" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br><br>
{{Box|Üben|
Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvpwgze6n21" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>


'''ACHTUNG:'''  Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts darüber aus, wie die absoluten Verteilungen einer Zufallsversuchsreihe aussehen. Das heißt, dass wenn man relativ gesehen in einem Spiel sehr wenig 6en gewürfelt hat, nicht automatisch in den nächsten Runden viele 6en fallen müssen, um den Rückstand auszugleichen.


Ein Rückstand eines Ergebnisses wird also in zukünftigen Durchführungen eines Zufallsexperiments nicht ausgeglichen, dies ist leider ein weitverbreiteter Irrtum!


Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite!


= Beispiel =
Siehe Didaktik der Stochastik I von Krüger, Sill und Sikora ab S.81 für Beispiele


= Aufgaben =


== Aufgabe 1: Schwarzfahrer in der Bahn ==
==Arbeiten mit dem Bruch- und Prozentstreifen==
Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.
:a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?
:b) Mit wieviel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?




<popup name="Lösung">
{{Box|Info|
'''Lösung für a):'''
Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
<br>In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem <b>Prozentstreifen</b>.
<br>Direkt unter diesem Text findest du einen interaktive Bruch- und Prozentstreifen, an denen du zunächst frei experimentieren kannst.
<br>Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit den Streifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Streifen zu klein sein sollte.
|Kurzinfo}}


Hier wurde das Zufallsexperiment, ob ein Passagier ein Schwarzfahrer ist, insgesamt 1235-mal durchgeführt und 87-mal kam das Ergebnis Schwarzfahrer dabei heraus. Durch das Gesetz der großen Zahlen können wir die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen. Daher gilt:
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/fcy4cfxr?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>


P("Der Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer") = <math>\frac{87}{1235} = 0,07</math>  
<br>
<br><iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pxfj04pt321" style="border:0px;width:800px;height:800px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>


Ein Kontrolleur erwischt einen Schwarzfahrer mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 7%.
{{Box|Üben|
<b>Bestimme nun mit dem interaktiven Bruch- und Prozentstreifen 2/5 von 120 kg!</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/kthcevrh?embed" width="800px" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe>
<br><br>


'''Lösung für b):'''
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p5sm3iiqt21" style="border:0px;width:800px;height:500px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br><br>


Der Verkehrsbetrieb transportiert jährlich 45.000*12 = 540.000 Fahrgäste.
{{Box|Üben|
<b>Bestimme 3/10 von 150 m. <u>Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.</u></b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/b8jgrejv?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>


Da mit einer Wahrscheinlichkeit von 7% ein Passagier Schwarzfahrer ist, gibt es im Jahr 540.000*0,07 = 37.800 Schwarzfahrer.


Das macht einen Verlust von 37.800*2,70€ = 102.060€.
{{Lösung versteckt|3/10 von 150 m entsprechen <b>45 m</b>.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}
<br><br>
Jetzt arbeiten wir nicht mehr mit Brüchen, sondern mit Prozenten. Dazu können wir auch den bekannten Streifen verwenden. Da Prozente nichts anderes sind als Hunderterbrüche, muss am Streifen immer ein Hunderterbruch eingestellt werden.
<br><br>


Man kann mithilfe von statistischen Erhebungen und dem Gesetz der großen Zahlen Prognosen für zukünftige Gewinne/Verluste berechnen!
{{Box|Üben|
</popup>
<b>Bestimme 90 % von 100 kg Mehl.</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/cwjqbexn?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>
{{Lösung versteckt|90 % von 100 kg Mehl entsprechen <b>90 kg</b> Mehl.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}


== Aufgabe 2: Würfelexperiment ==
Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:
:1) [[Datei:Wuerfelnetz1.png|175px]]


:2) [[Datei:Wuerfelnetz2.png|175px]]
{{Box|Üben|
<b>Bestimme 90 % von 20 kg Mehl. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.</b>
|Üben}}
<iframe src="https://www.geogebra.org/classic/hgffkggn?embed" width="800" height="600" allowfullscreen="" style="border: 1px solid #e4e4e4;border-radius: 4px;" frameborder="0"></iframe><br><br>
{{Lösung versteckt|90 % von 20 kg Mehl entsprechen <b>18 kg</b> Mehl.|Überprüfe hier deine Lösung!|Lösung verbergen}}
<br><br>


:3) [[Datei:Wuerfelnetz3.png|200px]]
{{Box|Üben|
Versuche diese Aufgaben nun ohne Applet (also ohne den interaktiven Bruch- und Prozentstreifen) zu lösen. Wenn du willst, zeichne dir einen entsprechenden Prozentstreifen in dein Heft.
|Üben}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6cgsbnnk21" style="border:0px;width:800px;height:800px" allowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br><br>


 
<b>Zusammenfassung:
Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:
<br>Anteilsbestimmung von einer Größe</b>
<br>
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
!Brüche
!Prozente
|-
|-
! Augenzahl !! Eins !! Zwei !! Drei
|Um einen bestimmten Anteil einer vorgegebenen Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch den Nenner des Bruchs. Anschließend multipliziere ich das Teilergebnis mit dem Zähler des Bruchs. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegebenen Größe.
|<div class="lueckentext-quiz">
Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch '''100'''
Damit habe ich 1 % der Größe berechnet. Nun multipliziere ich dies mit dem gesuchten Prozentsatz. Sind z.B. 20 % gesucht, multipliziere ich mit '''20'''. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegeben Größe.
</div>
|-
|-
| Häufigkeit || 36 || 69 || 20
|}
|}
<br><br>


Mit welchem Würfel hat Johann wohl geworfen? Begründe deine Antwort!
==Neue Begriffe für die Prozentrechnung==
 
 
<popup name="Lösung">
Johann hat am wahrscheinlichsten mit dem Würfel 1) geworfen.
 
Anhand den Häufigkeiten, kann man die relativen Häufigkeiten und damit auch gleich die theoretischen Wahrscheinlichkeiten der Augenzahlen des Würfels bestimmen:
 
Für die Augenzahl eins gilt: 36/125 = 0,288 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 28,8%
 
Für die Augenzahl zwei gilt: 69/125 = 0,552 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 55,2%
 
Für die Augenzahl drei gilt: 20/125 = 0,16 => Das entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. 16%
 
 
Betrachtet man nun die Würfelnetze, kann man feststellen, dass bei dem Würfelnetz 1) und 3) die Augenzahl zwei genau die Hälfte der Seiten des Würfels einnimmt => Die zwei sollte also etwa mit 50% Wahrscheinlichkeit beim Werfen fallen (das ist hier mit 55,2% der Fall)
 
Anhand den ausgerechneten Wahrscheinlichkeiten kann man auch feststellen, dass die Augenzahl eins öfter gefallen ist, als die Augenzahl drei => Die eins sollte also mehr Seiten des Würfels beanspruchen, als die drei.
 
 
Dies ist beim Würfelnetz 1) der Fall!


<b>Fülle den Lückentext mit Hilfe der Abbildung aus.</b>
<br><br>


'''Gut zu wissen:''' An diesem Beispiel kann man gut erkennen, dass die die relativen Häufigkeiten bei geringer Anzahl an Versuchsdurchführungen von der theoretischen Wahrscheinlichkeit (mitunter auch stark) abweichen können. Daher können wir nicht mit Sicherheit sagen, dass das Würfelnetz 2 benutzt wurde, sondern es nur mit hoher Wahrscheinlichkeit annehmen.
</popup>
== Aufgabe 3: Musik-Dienste ==
Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten
Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
![[Datei:Kreis 2.png|506]]
!<div class="lueckentext-quiz">
In der Prozentberechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst. Das Ganze heißt hier '''Grundwert''' (abgekürzt mit G). Der Teil des Ganzen bzw. der vorgegebenen Größe heißt '''Prozentwert''' (abgekürzt mit W). Der Anteil wird '''Prozentsatz''' genannt (abgekürzt p %).
</div>
|-
|-
! Spotify !! Apple Music !! Amazon Music !! Andere
|-
| 54,52 Mio || 25,897 Mio || 16,356 Mio || 39,527 Mio
|}
|}
 
[[Kategorie:Algebra]]
Auf der Straße wird zufällig ein zahlender Nutzer von einem Streamindienst getroffen.
Wie wahrscheinlich ist es...
:a) dass er Kunde von Amazon Music ist?
:b) dass er nicht Kunde von Apple Music ist?
:c) dass er Kunde von Spotify oder einem anderen (Andere) Dienst ist?
 
 
<popup name="Lösung">
Ihr könnt euch unter diesem Link, die Statistik ansehen, auf dem diese Aufgabe beruht: https://de.statista.com/infografik/10431/weltweite-marktanteile-musik-streaming-anbieter/
 
 
'''Lösung für a):'''
 
Wir können aufgrund der hohen Wiederholungsanzahl des Zufallsexperiments (136,6 Mio-mal), die relative Häufigkeit als theoretische Wahrscheinlichkeit annehmen.
 
Daher gilt:
 
P("Kunde von Amazon Music") = <math>\frac{16,356 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,12</math>
 
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 12% ist der Nutzer ein Kunde von Amazon Music.
 
'''Lösung für b):'''
 
Hier wird gefragt, wie wahrscheinlich es ist, dass der Nutzer '''NICHT''' Kunde von Apple Music ist.
 
Hierfür berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass er Kunde von einem der anderen Dienste ist. Dazu zählt man alle Kundenzahlen von allen Streamindiensten zusammen, die nicht Apple Music sind:
 
54,52 Mio. (Spotify) + 16,356 Mio. (Amazon Music) + 39,527 Mio. (Andere) = 110,403 Mio.
 
Also ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem der andere Dienste ist:
 
P("nicht bei Apple Music") = <math>\frac{110,403 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,8082</math>
 
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80,82% ist der Nutzer NICHT bei Apple Music.
 
'''Lösung für c):'''
 
Hierfür zählt man die Kundenzahlen von Spotify und Andere zusammen:
 
54,52 Mio. (Spotify) + 39,527 Mio. (Andere) = 94,047 Mio.
 
Daher ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:
 
P("bei Spotify oder bei Andere") = <math>\frac{94,047 Mio.}{136,6 Mio.} = 0,6885</math>
 
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,85% ist der Nutzer bei Spotify oder einem der anderen Dienste.
</popup>

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:36 Uhr

Lernpfad

Herzlich willkommen im Lernpfad Prozente und Prozentrechnung!


Dieser Lernpfad soll dir dabei helfen, dein Wissen aus der Bruchrechnung auf die Prozentrechnung zu übertragen und deine Vorstellung von Prozenten auf- bzw. auszubauen.



Das Schöne daran ist, dass du vieles von dem, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst, hier direkt anwenden kannst.



Am Ende dieses Lernpfades sollst du

  • den Zusammenhang zwischen Brüchen und Prozenten kennen
  • einfache Prozentaufgaben lösen können
  • mit dem Prozentstreifen umgehen können
  • die Fachbegriffe zur Prozentrechnung kennengelernt haben

Merke

Der Begriff "Prozent" heißt dabei nichts anderes als "von Hundert". Du hast es also im Prinzip mit nichts anderem zu tun, als einem Bruch, dessen Nenner immer 100 ist. Hier lernst du, wie du dein Wissen aus der Bruchrechnung in die Prozentrechnung übertragen kannst!

Also: Leg los!

Wiederholung: Bruchteil, Anteil und Ganzes

Info

Zunächst rufen wir uns in Erinnerung, was der Bruchteil, der Anteil und das Ganze in der Bruchrechnung war. Im Rahmen der Bruchrechnung hast du schon einige Beispiele von Prozentsätzen kennengelernt. Wir schauen uns zunächst noch einmal die Begriffe aus der Bruchrechnung an!

Beispiel

In diesem Beispiel schauen wir uns noch einmal drei Viertel eines Kreises an.

Darstellung BAG Kreis.png



Brüche und Prozentsätze zuordnen

Üben

Zunächst siehst du in der folgenden Aufgabe einige Formen, von denen bestimmte Anteile farbig markiert sind. Gib die farbigen Anteile sowohl in der Bruch- als auch in der Prozentschreibweise an!
Wenn du mit einer Teilaufgabe fertig bist, kannst du mit dem Pfeil oben links zurück in das Menü gelangen.
Um einen Anteil in der Prozentschreibweise schreiben zu können, musst du den Bruch zunächst in einen Bruch mit dem Nenner 100 umwandeln, indem du ihn entsprechend erweiterst oder kürzt.

Tipp: Bei einigen Aufgaben findest du oben links ein kleines Glühbirnensymbol. Solltest du beim Lösen der Aufgaben Hilfe benötigen, so erhältst du durch einen Klick darauf einen Hinweis!



Üben

In der folgenden Aufgabe siehst du einige Brüche und Prozentsätze, die du bestimmt schon kennst. Ordne den Brüche die entsprechenden Prozentsätze zu und überprüfe deine Ergebnisse am Ende mit einem Klick auf den blauen Haken unten rechts!



Üben

Ein wenig schwieriger wird es in der nächsten Aufgabe. Hier sollst du nun ohne Vorgabe von Werten die richtigen Prozentsätze in die Felder eintragen. Viel Erfolg!






Arbeiten mit dem Bruch- und Prozentstreifen

Info

Bestimmt kennst du aus der Bruchrechnung noch Übungsmaterial Material wie z.B. den Bruchstreifen.
In der Prozentrechnung arbeitet man am besten mit dem Prozentstreifen.
Direkt unter diesem Text findest du einen interaktive Bruch- und Prozentstreifen, an denen du zunächst frei experimentieren kannst.
Wenn du den Mauszeiger auf das Fenster mit den Streifen führst, kannst du mit dem Mausrad auch weiter hinauszoomen, falls das Fenster für einen länger eingestellten Streifen zu klein sein sollte.





Üben

Bestimme nun mit dem interaktiven Bruch- und Prozentstreifen 2/5 von 120 kg!





Üben

Bestimme 3/10 von 150 m. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.




3/10 von 150 m entsprechen 45 m.



Jetzt arbeiten wir nicht mehr mit Brüchen, sondern mit Prozenten. Dazu können wir auch den bekannten Streifen verwenden. Da Prozente nichts anderes sind als Hunderterbrüche, muss am Streifen immer ein Hunderterbruch eingestellt werden.

Üben

Bestimme 90 % von 100 kg Mehl.



90 % von 100 kg Mehl entsprechen 90 kg Mehl.


Üben

Bestimme 90 % von 20 kg Mehl. Zeichne dir einen entsprechenden Bruchstreifen in dein Heft.



90 % von 20 kg Mehl entsprechen 18 kg Mehl.



Üben

Versuche diese Aufgaben nun ohne Applet (also ohne den interaktiven Bruch- und Prozentstreifen) zu lösen. Wenn du willst, zeichne dir einen entsprechenden Prozentstreifen in dein Heft.



Zusammenfassung:
Anteilsbestimmung von einer Größe

Brüche Prozente
Um einen bestimmten Anteil einer vorgegebenen Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch den Nenner des Bruchs. Anschließend multipliziere ich das Teilergebnis mit dem Zähler des Bruchs. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegebenen Größe.

Um den prozentualen Anteil einer Größe zu bestimmen, teile ich die Größe durch 100 Damit habe ich 1 % der Größe berechnet. Nun multipliziere ich dies mit dem gesuchten Prozentsatz. Sind z.B. 20 % gesucht, multipliziere ich mit 20. So erhalte ich meinen gesuchten Anteil einer vorgegeben Größe.



Neue Begriffe für die Prozentrechnung

Fülle den Lückentext mit Hilfe der Abbildung aus.

506

In der Prozentberechnung gibt es nun andere Begriffe für das, was du bereits aus der Bruchrechnung kennst. Das Ganze heißt hier Grundwert (abgekürzt mit G). Der Teil des Ganzen bzw. der vorgegebenen Größe heißt Prozentwert (abgekürzt mit W). Der Anteil wird Prozentsatz genannt (abgekürzt p %).

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