Einführung in die Differentialrechnung

Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung

Einstiegsaufgaben

Blumenvase

In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden: $h(t)=0,001(t+8)^3$

Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?

Barringer-Krater

In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.

Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: $k(x)=0,002x^2$ für $0<=x<=300$

Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin

Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?

Durchschnittliche Änderungsrate

Blumenvase

Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...

Sekantensteigung

Barringer-Krater

Die Steigung der Sekante durch die Punkte A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) kann mit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$ berechnet werden.

Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: x₁-x₀ und f(x₁)-f(x₀) Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)

Im nachfolgenden Applet kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.

Beschreiben Sie, was passiert, wenn Sie den Punkt B immer mehr dem Punkt A annähern.

Die Sekante nähert sich immer mehr der Tangente an. Erläuterung des Begriffs Tangente.

Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit f(x)=x2 gezeichnet.

Aufgabe:

• Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1|1) und B(2|4) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
• Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1|1) und C(1,5|2,25) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung.
• Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Grphen im Punkt A(1|1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung.

Aufgabe:

• Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte x₀=1 und x₁=2 mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1|f(1)) und B(2|f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe.
• Näheren Sie nun die Steigung der Tangeten im Punkt A(1|1) an den Graphen besser an, indem Sie für x₁ einen Wert wählen, der näher an x<sbu>0=1 liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergbnis aus der vorherigen Aufgabe.

Die Idee bei der Annäherung der Tangentensteigung durch Sekantensteigungen ist es, den Wert x₁ immer mehr x<sbu>0 anzunähern. Dann gibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung.

Anstatt x₁ immer mehr x<sbu>0 anzunähern, kann man auch die Differenz $h=\Delta x=x_1-x_0$ klein werden lassen. Es ist dann $x_1=x_0+h$.

Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x₀+h, f(x₀+h) f(x₀+h)-f(x₀) zu finden sind.

Aufgabe:

• Berechnen Sie für h=0,1 (h=0,01 und h=0,001) die Steigung der Sekantensteigung für x₀=1 und x₁=1+h. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu $h=\frac{1}{10^n}$ mit n=1, 2, 3,...) Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.
• Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1|1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben.

Aufgabe:

• das gleiche mit einer anderen Funktion
• irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung

Differenzenquotient

Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase

Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.

Differentialquotient

Der Differentialquotient f'(x₀ ) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten

Differentialquotient $f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$

Der Differentialquotient f'(x₀) wird auch als Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀ bezeichnet.

Der Differentialquotient f'(x₀ )

• beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x₀ und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x₀ und x₁ den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ annnährt,
• beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x₀|f(x₀)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x₀|f(x₀)) und B(x₁|f(x₁)) den Punkt B(x₁|f(x₁)) immer mehr dem Punkt A(x₀|f(x₀)) annähert.

Schreibe die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.

Verschiebe im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachte den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreibe deine Beobachtungen in deinem Heft.

Andere Schreibweise:

Statt den Wert x₁ immer mehr dem Wert x₀ anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte $h=x_1-x_0$ immer kleiner werden lassen.

Ersetze in der Definition des Differentialquotienten den Wert x₁ durch x₀+h.

$f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.

Vergleiche die beiden Applets und untersuche die Veränderungen.

Bearbeite nun folgende Aufgaben:

Übung1

Übung 2

Reflexiosaufgabe/Zusammenfassung: was habe ich gelernt? o.ä.

Ableitungsfunktion

Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.

Kontext plus Übung

Diagnoseinstrument