Trigonometrische Funktionen/Einfluss von b und Atmosphäre: Unterschied zwischen den Seiten

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__NOTOC__
Die Atmosphäre ist die '''Lufthülle der Erde'''. Die Gase der Atmosphäre werden von der Schwerkraft der Erde daran gehindert, ins Weltall zu entweichen. Wir leben sozusagen am Grund eines Meeres aus Luft, das — genau wie ein Wasservolumen — mit seinem Eigengewicht auf uns lastet und so den '''Luftdruck''' erzeugt. Der Luftdruck ist das Gewicht der Luftsäule, die sich über einem beliebigen Punkt befindet. Die gebräuchliche Einheit für den Luftdruck ist Hektopascal (hPa).


===FAQ===  
=== Bedeutung der Atmosphäre ===
[[Trigonometrische_Funktionen/Zum_Nachschlagen|Hier kannst du die Bedeutung der verwendeten Begriffe nachschlagen.]]


===Einfluss von b===
{{Box|Bedeutung der Atmosphäre|
# Schaue Dir das folgende Video an und notiere Dir die wichtigsten Aussagen.
# Bearbeite die am Ende gestellte Denkaufgabe schriftlich.
|Üben}}


Wir betrachten nun den Einfluss von <math> \ b </math> in


:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>.
{{#ev:youtube|RjnDvNrG2lA|800|center}}




{{Box|1=Aufgabe B1|2=
=== Aufbau der Atmosphäre ===
<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> <br>
[[Datei:Atmosphäre_Aufbau.jpg|mini|Aufbau der Atmosphäre]]
{{Box|Erarbeitung|#Skizziere den Aufbau der Atmosphäre mit Hilfe der Abbildungen in dein Heft.
#Ergänze mit Hilfe der Videos einige Merkmale der verschiedenen Schichten als Skizze oder in Form von Stichworten.
|Üben}}


# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> \ b </math> ändern. <br>
[[Datei:Schichtenbau der Atmosphäre.png|rahmenlos|600px]]
# Stelle den Schieberegler auf <math> \ b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br>
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> \ b = 3  </math>  und <math> \ b = -1 </math> sowie <math> \ b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br>
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br>
|3=Arbeitsmethode}}


{{Lösung versteckt|1=
{{Box|1=Merke|2=
Man erhält den Graph der Funktion
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math>
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>\ x</math>-Achse. Genauer:
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht.
* <span style="background-color:yellow;"> Ist der Betrag von <math>\ b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>\ x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt.
* <span style="background-color:yellow;"> Falls <math> \ b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>\ y</math>-Achse gespiegelt.
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>.</span>


D.h., wenn man z.B. <math>\ b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}}
{{#ev:youtube|6FVJ_ipa42w|800|center}}




[[Bild:N_sin_b.jpg|center]]
{{#ev:youtube|TMcd0mFROXo|800|center}}
}}


{{Box|1=Aufgabe B2|2=
Versuche nun die beobachteten Veränderungen auch mathematisch zu begründen!
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Hier genügt es, wenn du diese Aufgabe mit Hilfe von Plausibilitätsüberlegungen gelöst hast. Eine formale Begründung war nicht notwendig.
Eine mögliche formale Begründung:
:Es gilt:
::<math>\sin(x)=\sin\left(b\cdot\frac{x}{b}\right)</math>
:Dies bedeutet, dass die Funktion <math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> schon an der Stelle <math>\frac{x}{b}</math> den Funktionswert von <math> x \rightarrow \sin (x ) </math> annimmt.
}}
{{Box|1=Aufgabe B3|2=
Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen!
<quiz display="simple">
}
| <math>\ b<-1; </math> | <math> -1<\ b<0; </math> | <math> 0<\ b<1; </math> | <math> 1<\ b</math>
---- Verschiebung nach oben
---- Verschiebung nach unten
---- Verschiebung nach rechts
---- Verschiebung nach links
-++- Streckung in <math> \ x </math>- Richtung / Verkleinerung der Frequenz
+--+ Stauchung in <math> \ x </math>- Richtung / Vergrößerung der Frequenz
---- Streckung in <math> \ y </math>- Richtung / Vergrößerung der Amplitude
---- Stauchung in <math> \ y </math>- Richtung / Verkleinerung der Amplitude
---- Spiegelung an <math> \ x </math>- Achse
++-- Spiegelung an <math> \ y </math>- Achse
</quiz>
|3=Arbeitsmethode}}
Nun betrachten wir den Einfluss von <math> \ b </math> in
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>.
{{Box|1=Aufgabe B4|2=
<ggb_applet height="450" width="900" id="kvuvfcnp" /> <br>
Öffne dieses GeoGebra-Applet und bearbeite damit die Aufgabe B1 noch einmal für <math>cos</math>.
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=
Die allgemeine Kosinusfunktion verhält sich bei Variation von <math> \ b </math> genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.
[[Bild:N_cos_b.jpg|center]]
}}


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<span style="background-color:yellow;">Hefteintrag:</span> Beachte, dass in der Lösung zur Aufgabe B1 ein Hefteintrag "versteckt" ist!
Die Atmosphäre wird in verschiedenen Schulstufen behandelt, daher finden sich auf dieser Seite Inhalte verschiedener Anspruchsniveaus.
 
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{{Fortsetzung|weiter=Zurück zu Station 1: Einfluss der Parameter|weiterlink=Trigonometrische Funktionen/Einfluss der Parameter}}
Weitere Seiten zu diesem Thema: [[Wetterelemente und ihre Messung|Wetterelemente]], [[Strahlungsbilanz der Erde|Strahlungshaushalt]].


[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
[[Kategorie:Atmosphäre]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geographie]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Unterrichtsidee]]
[[Kategorie:GeoGebra]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]

Version vom 23. November 2018, 15:57 Uhr

Die Atmosphäre ist die Lufthülle der Erde. Die Gase der Atmosphäre werden von der Schwerkraft der Erde daran gehindert, ins Weltall zu entweichen. Wir leben sozusagen am Grund eines Meeres aus Luft, das — genau wie ein Wasservolumen — mit seinem Eigengewicht auf uns lastet und so den Luftdruck erzeugt. Der Luftdruck ist das Gewicht der Luftsäule, die sich über einem beliebigen Punkt befindet. Die gebräuchliche Einheit für den Luftdruck ist Hektopascal (hPa).

Bedeutung der Atmosphäre

Bedeutung der Atmosphäre
  1. Schaue Dir das folgende Video an und notiere Dir die wichtigsten Aussagen.
  2. Bearbeite die am Ende gestellte Denkaufgabe schriftlich.


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Aufbau der Atmosphäre

Aufbau der Atmosphäre
Erarbeitung
  1. Skizziere den Aufbau der Atmosphäre mit Hilfe der Abbildungen in dein Heft.
  2. Ergänze mit Hilfe der Videos einige Merkmale der verschiedenen Schichten als Skizze oder in Form von Stichworten.

Schichtenbau der Atmosphäre.png


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Die Atmosphäre wird in verschiedenen Schulstufen behandelt, daher finden sich auf dieser Seite Inhalte verschiedener Anspruchsniveaus.

Weitere Seiten zu diesem Thema: Wetterelemente, Strahlungshaushalt.

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