Daten erfassen und auswerten: Unterschied zwischen den Versionen

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(Auswerten von Diagrammen)
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==Verschiedene alternative Diagrammformen:==
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Im folgenden werden verschiedene alternative Diagrammtypen vorgestellt.
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===Netzdiagramm===
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* Das Netzdiagramm wird auch häufig Spinnennetzdiagramm, Radardiagramm, Kiviat-Diagramm oder Sterndiagramm genannt
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* grafische Darstellung von Werten mehrerer, gleichwertiger Kategorien
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* Für jede Kategorie gibt es eine Achse. Für alle Achsen gilt die gleiche Orientierung.Die Achsen werden kreisförmig in 360 Grad gleichmäßig angeordnet
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* Die Werte jeder Serie werden mit Linien verbunden. Bei mehreren Serien werden verschiedene Farben verwendet
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* Die eingeschlossene Fläche wird oft farblich ausgefüllt
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* So oder so ähnlich kann beispielsweise ein Netzdiagramm aussehen:
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Auf einem Weihnachtsmarkt verkauft ein Stand Bier,Glühwein,Pommes und Bratwurst.Sie hat jeden Tag in der Woche geöffnet. An den verschieden Wochentagen wird unterschiedlich viel verkauft. Um für die nächsten Wochen besser planen zu können,wie viel man von den verschiedenen Produkten an den verschiedenen Wochentagen ungefähr benötigt, wird Buch darüber geführt, wie viel man verkauft.Es entsteht folgende Tabelle:
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Erstelle ein Netzdiagramm aus den Daten der Tabelle,um dem Team des Weihnachtsmarktstands einen Überblick zu ermöglichen.
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====Lösungsvorschlag====
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# Übertrage die Tabelle in ein Excel-Dokument
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# Markieren Sie die Daten, die im Netzdiagramm dargestellt werden sollen
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# Klicken Sie auf der Registerkarte Einfügen in der Gruppe Diagramme auf Andere Diagramme.[[Datei:Bildexc1.jpg]]
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# Klicken Sie unter Netz auf Netz,Netz mit Datenpunkten oder Gefülltes Netz
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# Klicken Sie auf die Diagrammfläche des Diagramms. Dadurch werden die Diagrammtools unter Hinzufügung der Registerkarten Entwurf,    Layout und Format angezeigt
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# Wählen Sie auf der Registerkarte Entwurf in der Gruppe Diagrammtypen den gewünschten Diagrammtyp aus
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# Um die Größe des Diagramms zu ändern, wählen Sie auf der Registerkarte Format in der Gruppe Größe die gewünschte Größe in den Feldern Formenhöhe und Formenbreite aus, und drücken Sie dann die Eingabetaste
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# Zum Hinzufügen, Formatieren und Positionieren eines Diagrammtitels im Diagramm klicken Sie auf die Diagrammfläche, und gehen Sie dann wie folgt vor:
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::* Klicken Sie auf der Registerkarte Layout in der Gruppe Beschriftungen auf Diagrammtitel, und klicken Sie dann auf Über Diagramm
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::* Klicken Sie im Diagramm auf den Diagrammtitel, und geben Sie dann den gewünschten Text ein
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::* Um die Größe des Diagrammtitels zu verringern, klicken Sie mit der rechten Maustaste auf den Titel, und geben Sie dann im Kontextmenü die gewünschte Größe in das Feld Größe ein
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[[Datei:Bildec2.jpg]]
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Lösungsdiagramm:
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[[Datei:Lösung1.jpg]]
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</popup>
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===Blasendiagramm===
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* Das Blasendiagramm ist eine graphische Darstellung von Punkten mit jeweils drei abhängigen Merkmalen in einer 2D-Fläche
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* Dabei werden zwei der Merkmale wie in einem Streudiagramm aufgetragen. Das dritte Merkmal wird als Größe der Blase dargestellt
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* Man kann ein Blasendiagramm verwenden, wenn die Daten drei Datenreihen umfassen, die jeweils einen Satz von Werten enthalten. Die Größe der Blasen wird durch die Werte in der dritten Datenreihe bestimmt
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* Blasendiagramme werden häufig zum Präsentieren von Finanzdaten verwendet
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* So oder so ähnlich kann beispielsweise ein Blasendiagramm aussehen:
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[[Datei:Blasendiagramm__1.jpg]]
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=Quellen=
 
* Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen
 
* Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen

Version vom 23. Dezember 2011, 00:33 Uhr

In diesem Kapitel sollen zu drei Teilgebieten der Stochastik in der Sekundarstufe I "Daten erfassen und auswerten", "Auswerten von Diagrammen" und "alternative Diagrammformen" Möglichkeiten der Behandlung im Unterricht gegeben werden.

Inhaltsverzeichnis

Kompetenzerwartungen

am Ende der 6. Klasse:

Die Schülerinnen und Schüler

  • erheben Daten und fassen sie in Ur- und Strichlisten zusammen
  • stellen Häufigkeitstabellen zusammen und veranschaulichen diese mithilfe von Säulen- und Kreisdiagrammen
  • bestimmen relatvie Häufigkeiten, arithmetisches Mittel und Median
  • lesen und interpretieren statistische Darstellungen

am Ende der 8. Klasse:

Die Schülerinnen und Schüler

  • planen Datenerhebungen, führen sie durch und nutzen zur Erfassung auch eine Tabellenkalkulation
  • veranschaulichen ein- und zweistufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen
  • nutzen Median, Spannweite und Quartile zur Darstellung von Häufigkeitsverteilungen als Boxplots
  • benutzen relative Häufigkeiten von langen Versuchsreihen zur Schätzung von Wahrscheinlichkeiten
  • verwenden ein- oder zweistufige Zufallsversuche zur Darstellung zufälliger Erscheinungen in alltäglichen Situationen
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Laplace-Regel
  • bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsexperimenten mithilfe der Pfadregeln
  • interpretieren Spannweite und Quartile in statistischen Darstellungen

am Ende der 9. Klasse

Die Schülerinnen und Schüler

  • analysieren grafische statistische Darstellungen kritisch und erkennen Manipulationen
  • nutzen Wahrscheinlichkeiten zur Beurteilung von Chancen und Risiken und Schätzung von Häufigkeiten

Daten erfassen und auswerten - Das Ziegenproblem

Was ist das Ziegenproblem?

Das Problem wurde 1990 in seiner bekannten Form in Marilyn vos Savants „Ask Marilyn“-Kolumne im 'Parade Magazine' publiziert und basierte auf einem Leserbrief, den vos Savant von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland erhalten hatte.

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: 'Möchten Sie das Tor Nummer 2?' Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?"

Wir haben also folgende Gegebenheiten: 1 Moderator, 1 Gast, 3 Türen und 2 Ziegen und 1 Auto hinter diesen Türen verteilt Gesucht ist das Auto und es gelten folgende Regeln: 1. Der Gast wählt eine Tür 2. Der Moderator öffnet eine andere Tür, hinter der eine Ziege ist 3. Der Moderator fragt den Gast, ob er die andere Tür wählen will

Frage: Was sollte der Gast nun tun?

Vorschlag für eine Einführung im Unterricht

Der Lehrer sollte das Ziegenproblem vorstellen und mit den Schülerinnen und Schülern die Frage, was der Kandidat tun sollte, diskutieren.

Im Folgenden sollen die Schüler das Problem in Zweiergruppen selbst mehrfach nachspielen.

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Das Ziegenproblem

Führt die Situation zweimal mit einem Partner 30-fach durch, das eine Mal ohne einen Wechsel, das andere Mal mit einem Wechsel der Tore. Notiert euch Eure Ergebnisse und berechnet jeweils den prozentualen Anteil der Spiele, in denen ihr das Auto gewonnen habt.

beispielhafte Lösung

weiteres Vorgehen

Im Folgenden soll probiert werden dieses (vermutlich für die meisten überraschende) Ergebnis zu erklären. Hierfür bieten sich verschiedene Möglichkeiten an.

Möglichkeit 1: Verdeutlichung anhand einer Tabelle

Die Schülerinnen und Schüler sollen alle Möglichkeiten des Spiels mit Wechsel und ohne Wechsel durchspielen und dies in einer Tabelle festhalten.

Man kann sich hierzu zunächst Folgendes überlegen:

- Der Kandidat wählt Tor 1. In diesem befindet sich das Auto. Der Moderator öffnet Tor 2 oder 3. Was passiert bei (k)einem Wechsel?

- Der Kandidat wählt Tor 1. In diesem befindet sich eine Ziege. Der Moderator öffnet das Tor, in dem eine weitere Ziege ist. Was passiert bei (k)einem Wechsel?

- ...

Dies muss man nun nur noch sinnvoll in eine Tabelle übertragen.


Möglichkeit 2: Verdeutlichung anhand eines Baumdiagramms

Die Schülerinnen und Schüler sollen sich überlegen, wie die Situation in einem Spiel in einem Baumdiagramm dargestellt werden kann.

Hierfür ist es hilfreich sich vorzustellen, dass der Kandidat bereits ein Tor gewählt hat und erst dann die Wahrscheinlichkeiten dafür zu berechnen, ob er das Auto gewinnt oder nicht. Dies verändert nichts an der Situation, da die Ziegen und das Auto zufällig hinter den drei Toren verteilt wurden.

Möglichkeit 3: Verdeutlichung anhand der bedingten Wahrscheinlichkeit

Es ist natürlich auch möglich, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kandidat gewinnt, wenn er eins der drei Tore gewählt hat und der Moderator ein "Ziegentor" geöffnet hat, zu berechnen. Man benötigt hierfür eine Folgerung der bedingten Wahrscheintlichkeit, das Bayes-Theorem.

Das Bayes-Theorem

Maehnrot.jpg
Merke:

Für zwei Ereignisse A und B mit P(B) > 0 lautet die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) \; = \; \frac {P(B|A) \cdot P(A)} {P(B)}.

Hierbei ist

P(A) die A-priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A und
P(B|A) die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist und
P(B) die A-priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis B


Der Satz folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

P\left(A\mid B\right) \; = \; \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \; = \; \frac{\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \cdot P(A)}{P(B)} \; = \; \frac{P\left(B\mid A\right)\cdot P(A)}{P\left(B\right)}


Um nun die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bzw. keinen Gewinn zu berechnen, wenn der Kandidat eins der Tore gewählt hat und der Moderator ein "Ziegentor" geöffnet hat, müssen wir uns zunächst überlegen, welcher Wahrscheinlichkeit dieser Sachverhalt entspricht.

Die Ereignisse seinen folgendermaßen definiert:

G_i \ : Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3)
M_j \ : Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3)

Stellen wir uns vor, dass folgende Situation vorliegt: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(G_2|M_3) \ , dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Bayestheorem ermitteln, wobei die Berechnung der Wahrscheinlichkeit aller anderen Möglichkeiten von gewählten und geöffneten Türen analog durchzuführen ist.

Auswerten von Diagrammen

Verschiedene Diagrammformen:

Im Folgenden werden die gängigen Diagrammtypen vorgestellt.

Kreisdiagramm/Tortendiagramm

  • gibt einen Überblick die Anteile/Zusammensetzung einer Gesamtheit (meist in % angegeben)
  • Anteile sind proportional zur Größe des Winkels des zugehörigen Kreissektors (z.B. 1%=3,6°)
  • Anzahl der Teilwerte sollte nicht zu groß sein, da das Diagramm sonst unübersichtlich wird
  • bei einer großen Anzahl von Teilwerten empfiehlt es sich, kleine Teilwerte zu "sonstige" zusammenzufassen
  • nicht anzuwenden bei Werten, die keine sinnvolle Gesamtheit ergeben

Variationen:

  • 3D: Effekt graphisch ansprechend, jedoch verzerrende Wirkung
  • unvollständiger Kreis, z.B. Halbkreis zur Darstellung von Sitzverteilungen in Parlamenten
  • Ringdiagramm: bietet Möglichkeit, mehrere Datenreihen anzuzeigen

Säulendiagramm:

(senkrecht)

  • dient zur Veranschaulichung der zeitlichen Entwicklung absoluter oder relativer Häufigkeiten
  • Anzahl der der Elemente/Perioden sollte überschaubar sein
  • die Skalierung der y-Achse sollte bei 0 beginnen, da sonst falsche Eindrücke entstehen können

Variationen:

  • gestapelt: die Gesamtmenge setzt sich aus Teilmengen zusammen
  • gruppiert: die Werte verschiedener Kategorien werden nebeneinander aufgeführt

Balkendiagramm:

(waagerecht)

  • eng verwandt mit dem Säulendiagramm
  • Unterschiede: häufig gibt es eine Rangfolge, d.h. der größte Wert steht oben; nicht unbedingt geeignet für einen Zeitreihenvergleich

Liniendiagramm:

  • Wertepaare von zwei Merkmalen werden in kartesisches Koordinatensystem eingetragen
  • Punkte werden miteinander verbunden
  • ggf. kann der Zusammenhang durch eine ausgleichende Funktion beschrieben werden
  • gut geeignet für Beobachtungen über einen längeren Zeitraum (Erkennen von Trends)

alternative Diagrammformen

Verschiedene alternative Diagrammformen:

Im folgenden werden verschiedene alternative Diagrammtypen vorgestellt.

Netzdiagramm

  • Das Netzdiagramm wird auch häufig Spinnennetzdiagramm, Radardiagramm, Kiviat-Diagramm oder Sterndiagramm genannt
  • grafische Darstellung von Werten mehrerer, gleichwertiger Kategorien
  • Für jede Kategorie gibt es eine Achse. Für alle Achsen gilt die gleiche Orientierung.Die Achsen werden kreisförmig in 360 Grad gleichmäßig angeordnet
  • Die Werte jeder Serie werden mit Linien verbunden. Bei mehreren Serien werden verschiedene Farben verwendet
  • Die eingeschlossene Fläche wird oft farblich ausgefüllt
  • So oder so ähnlich kann beispielsweise ein Netzdiagramm aussehen:

Netzdiagramm.jpg

Aufgabenstellung

Auf einem Weihnachtsmarkt verkauft ein Stand Bier,Glühwein,Pommes und Bratwurst.Sie hat jeden Tag in der Woche geöffnet. An den verschieden Wochentagen wird unterschiedlich viel verkauft. Um für die nächsten Wochen besser planen zu können,wie viel man von den verschiedenen Produkten an den verschiedenen Wochentagen ungefähr benötigt, wird Buch darüber geführt, wie viel man verkauft.Es entsteht folgende Tabelle:

Weihnachtsmarktbude.jpg

Erstelle ein Netzdiagramm aus den Daten der Tabelle,um dem Team des Weihnachtsmarktstands einen Überblick zu ermöglichen.

Lösungsvorschlag

Blasendiagramm

  • Das Blasendiagramm ist eine graphische Darstellung von Punkten mit jeweils drei abhängigen Merkmalen in einer 2D-Fläche
  • Dabei werden zwei der Merkmale wie in einem Streudiagramm aufgetragen. Das dritte Merkmal wird als Größe der Blase dargestellt
  • Man kann ein Blasendiagramm verwenden, wenn die Daten drei Datenreihen umfassen, die jeweils einen Satz von Werten enthalten. Die Größe der Blasen wird durch die Werte in der dritten Datenreihe bestimmt
  • Blasendiagramme werden häufig zum Präsentieren von Finanzdaten verwendet
  • So oder so ähnlich kann beispielsweise ein Blasendiagramm aussehen:

Datei:Blasendiagramm 1.jpg

Quellen