Achsen- und Punktsymmetrie: Unterschied zwischen den Versionen

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Punkt- und Achsensymmetrie ist ein wichtiges Thema in der Schule, besonders in der Sekundarstufe I. Durch richtige Einführung in das Themengebiet können Schülerinnen und Schüler elementare Kenntnisse in der Geometrie erlernen. Die Symmetrie fördert das räumliche Vorstellungsvermögen, zwar hier nur im zweidimensionalem, aber dies ist eine Basis bzw. ein Anfang für dreidimensionale Probleme später in der Sekundarstufe II. Ebenfalls führt das Thema die SuS in die Geometrie ein und bereitet sie für komplexere Probleme (später) vor. Die drei Aufgaben sind so konstruiert, dass die Schülerinnen und Schüler sich in der Achsen- und Punktsymmetrie erkundigen können. Selbstverständlich muss man für eine tiefere Unterrichtsgestaltung auch weiterentwickelte Aufgaben nehmen.  
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Punkt- und Achsensymmetrie ist ein wichtiges Thema in der Schule, besonders in der Sekundarstufe I. Durch richtige Einführung in das Themengebiet können Schülerinnen und Schüler elementare Kenntnisse in der Geometrie erlernen. Die Symmetrie fördert das räumliche Vorstellungsvermögen, zwar hier nur im Zweidimensionalen, aber dies ist eine Basis bzw. ein Anfang für dreidimensionale Probleme später in der Sekundarstufe II. Ebenfalls führt das Thema die SuS in die Geometrie ein und bereitet sie für komplexere Probleme (später) vor. Die drei Aufgaben sind so konstruiert, dass die Schülerinnen und Schüler sich in der Achsen- und Punktsymmetrie erkundigen können. Selbstverständlich muss man für eine tiefere Unterrichtsgestaltung auch weiterentwickelte Aufgaben nehmen.  
  
 
In der Aufgabe (b) sollen die SuS sie Spiegelung in ihrer einfachsten Form kennenlernen, nämlich die Achsenspiegelung. Im zweiten Teil sollen Sie ein Dreieck so spiegeln, dass man als Resultat ein Quadrat erhält. Hier werden zusätzlich Kenntnisse über geometrische Figuren abgefragt. Wer zuerst überlegt und dann konstruiert, kann sogar auf die Lösung kommen, dass man im Prinzip nur ein Mal spiegeln muss, anstatt drei Mal.
 
In der Aufgabe (b) sollen die SuS sie Spiegelung in ihrer einfachsten Form kennenlernen, nämlich die Achsenspiegelung. Im zweiten Teil sollen Sie ein Dreieck so spiegeln, dass man als Resultat ein Quadrat erhält. Hier werden zusätzlich Kenntnisse über geometrische Figuren abgefragt. Wer zuerst überlegt und dann konstruiert, kann sogar auf die Lösung kommen, dass man im Prinzip nur ein Mal spiegeln muss, anstatt drei Mal.
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In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen.In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Solche Beispiele motivieren den Unterricht und gewiss auch die Schülerinnen und Schüler. Wenn man das Thema richtig einführt, dann lernen alle Beteiligten die Grundlagen der Geometrie und haben dabei sogar viel Spaß!
 
In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen.In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Solche Beispiele motivieren den Unterricht und gewiss auch die Schülerinnen und Schüler. Wenn man das Thema richtig einführt, dann lernen alle Beteiligten die Grundlagen der Geometrie und haben dabei sogar viel Spaß!
 
  
 
== Quellen ==
 
== Quellen ==

Version vom 31. Dezember 2009, 21:58 Uhr

Kurzinfo
Vorlage:Kurzinfo Nspire

Das Wort „Symmetrie“ kommt ursprünglich aus dem Griechischen und bedeutet allgemein verwendet Gleich- oder Regelmäßigkeit. Das bedeutet, dass mehrere Teile eines Ganzen harmonisch zueinander angeordnet sind. In der Geometrie bedeutet das „die Eigenschaft eines ebenen oder räumlichen, gegebenenfalls aus mehreren Figuren oder Körpern zusammengesetzten Gebildes, so geformt zu sein, dass es durch eine bestimmte Bewegung (Symmetrieoperation) in sich selbst übergeht...“ (vgl. Meyers Neues Lexikon). Die Art der Bewegung bestimmt die Symmetrieart. Handelt es sich um eine Spiegelung, so spricht man von ‚Spiegelsymmetrie’.


Abb.1 :Beispiele der Achsensymmetrie

Im Falle einer geometrischen Abbildung in der Ebene handelt es sich dann um eine Zuordnung, die jedem Punkt der Ebene genau einen Punkt der Ebene zuordnet, der nicht notwendig vom Ursprungspunkt verschieden sein muss. Man spricht von einer ‚Deckabbildung’, wenn eine geometrische Abbildung eine Figur auf sich selbst abbildet, das heißt mit sich selbst zur Deckung bringt. Wenn es sich dabei um eine ‚Achsenspiegelung’ handelt, spricht man von einer achsensymmetrischen Figur bzw. von einer Achsensymmetrie. Die Spiegelachse dieser Figur heißt ‚Symmetrieachse’. Hat die Figur mehrere Spiegelachsen, wie beispielsweise das Quadrat, welches vier Spiegelachsen besitzt, so ist sie mehrfach achsensymmetrisch.

Abb.2 :Beispiele der Punktsymmetrie

Genauso wichtig ist eine andere Form der Symmetrie, nämlich die sog. Punktsymmetrie. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet. Obwohl eine solche Punktspiegelung einer Drehung um 180° entspricht, ist die Punktsymmetrie von der Drehsymmetrie zu unterscheiden. Sie bildet lediglich den Spezialfall einer Drehsymmetrie.


In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen. Dieses ist in Zahlenverhältnissen konkret mess- und darstellbar. Symmetrie wird als „Ausdruck überzeitlicher, absoluter Schönheit normativ gedeutet.“ Ornamente, Amphoren, Skulpturen, Gebäude und Gebäudeansichten zeugen davon. Einige Beispiele hierzu finden Sie im nachfolgenden Teil.

In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Hierzu zählen zum Beispiel einige Buchstaben, einige Verkehrsschilder und andere Gegenstände. Besonders ist auch die mathematische Bedeutung sehr wichtig, da einige Funktionen diese Eigenschaften der Symmetrie aufweisen.



Inhaltsverzeichnis

Aufgabenstellung für die Schülerinnen und Schüler

Abb. 3: Viereck
Abb. 4: Stern und Dreieck
Abb. 5: Figur von Max


(a) Punktsymmetrie (Abb.3)


(i) Spiegele das Viereck an dem Punkt.
(ii) Wie ändert sich das gespiegelte Viereck, wenn der Punkt auf dem gestichelten Pfad variabel ist? Überprüfe dies.



(b) Achsensymmetrie (Abb.4)


(i) Spiegele das folgende Objekt an der angegebenen Gerade.
(ii) Wie könnte man spiegeln, damit ein Quadrat entsteht? Probiere verschiedene Möglichkeiten aus.



(c) Punkt- und Achsensymmetrie (Abb.5)


Max ist ein Schüler in der 7. Klasse. Heute hat der Lehrer früher Schluss gemacht und die Schüler können ausnahmsweise eher nach Hause. Da freut sich Max natürlich besonders. Als er zu Hause ankommt, sieht er im Briefkasten eine Postkarte. Auf der Postkarte ist eine Figur abgebildet. Leider kann Max diese nicht zu einem logischen Bild zuordnen. So entscheidet er sich herauszufinden um welches Bild es sich tatsächlich handeln könnte.
Spiegele das Objekt so, dass du drei unterschiedliche Figuren erhältst.



Notwendige Voraussetzungen

Schülerinnen und Schüler...

  • ...sind allgemein mit geometrischen Vorstellungen vertraut (2D genügen)
  • ...verfügen über elementare geometrische Kenntnisse, insbesondere Punkt- und Achsensymmetrie
  • ...haben umfangreiche Erfahrungen mit der Funktion "Graphs & Geometry" und können mit dem TI-Nspire umgehen



Bezug zum Lehrplan / Kompetenzen, die gefördert werden können

Aus Sicht der an 'SINUS-Transfer NRW Projekt 2' beteiligten Schulen werden zwei Kompetenzbereiche erwähnt, die die "Ergebnisse der aktuellen didaktischen Diskussion mit praktischen Erfahrungen der Lehrerinnen und Lehrer" verknüpfen (siehe Näheres hier). Es handelt sich hierbei um die prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche. Diese werden hier mit dem Thema "Achsen- und Punktsymmetrie" verglichen, analysiert und als Vorschlag aufgeführt. Als Ergebnis kann man dann folgende Kompetenzen beschreiben:


Prozessbezogene Kompetenzbereiche:

Begriffsbilden Argumentieren/Bewerten Modellbildung Problemlösen Werkzeuge
visualisieren
darstellen
strukturieren
verbalisieren
überprüfen
strukturieren
Bezug zur Realität
erkunden
lösen
praktische (spielerische) Erkundung
Lineal


Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche kann man wie folgt darstellen:


Die Schülerinnen und Schüler ...

  • ... verwenden die Begriffe punkt- und achsensymmetrisch zur Beschreibung von Objekten (Darstellung, Beschreibung)
  • ... arbeiten mit bekannten Objekten bzw. mathematischen Begriffen und übertragen sie auf Alltagsbeispiele
  • ... führen Punkt- und Achsenspiegelungen durch und müssten zum Teil entscheiden welche Spiegelung am Sinnvollsten ist
  • ... führen einfache Verschiebungen durch (Bewerten, Interpretieren)


Rolle der Technologie

  • Konstruieren bzw. Rekonstruieren von geometrischen Objekten
  • Visualisieren eines praktischen Problems als geometrische Problemstellung auf dem TI-Nspire
  • Nutzung der Dynamisierung durch die Geometriesoftware, z.B. Übertragung auf Alltagsbeispiele



Vorschlag zur Umsetzung

Lösung (a)


Abb.6 : Lösung zu a (i)
(i)
Das Viereck ABCD soll an dem Punkt auf dem Pfad gespiegelt werden. Es handelt sich hierbei um eine Punktspiegelung. Es ist zusätzlich wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler nach der Spiegelung die Eckpunkte des Spiegelbilds benennen können. So kann man überprüfen, dass das Vorgehen bei einer Punktspiegelung auch tatsächlich verstanden wurde.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung a (i)



Abb.6 : Lösung zu a (ii)
(ii)
Das Spiegelbild des Vierecks verschiebt sich parallel zum Pfad bzw. zum Urbild. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass der Abstand zwischen den Bildern konstant bleibt, weil der Pfad, auf dem man das Spiegelbild bewegt parallel zum Urbild ist. Die Aufgabe könnte das geometrische Darstellungsvermögen fördern. Es gibt zwei Varianten diese Aufgabe zu lösen:


  • Man zeichnet den Pfad, auf dem der Punkt liegt und bewegt den Punkt auf dem Pfad hin und her. So bewegt sich auch das Spiegelbild so, wie oben beschrieben.
  • Man fügt einen Schieberegler ein und lässt eine Animation starten, sodass das Viereck sich automatisch hin und her bewegt bis man die Animation beendet.


\Rightarrow Wegen der Übersichtlichkeit für die Schüler, wird bei dieser Aufgabe nur die Variante (1) erklärt. Sie ist einfach und nachvollziehbar.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung a (ii)




Lösung (b)


Abb.6 : Lösung zu b (i)
(i)
Der Stern soll an der gegebenen Gerade gespiegelt werden. Es handelt sich hierbei um eine Achsenspiegelung. Nachdem die Schülerinnen und Schüler dies erkannt haben, können sie nun spiegeln. Das Prinzip ist einfach. In der Lösung zu dieser Aufgabe wurde der Stern etwas modifiziert, d.h. das Objekt wurde mit kreisförmigen Augen und durch einen Mund ergänzt. Dies soll den Schülern beim "Knobeln und Tüfteln" etwas mehr Spaß bereiten.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung b (i)



Abb.6 : Lösung zu b (ii)
(ii)
Es gibt verschiedene Möglichkeiten das Dreieck so zu spiegeln, dass es ein Quadrat ergibt. Wir möchten zwei Methoden vorstellen:


  • Man spiegelt das Dreieck dreimal jeweils an einen der Schenkel.
  • Man spiegelt das Dreieck nur einmal an der Grundseite.


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung b (ii)



Abb.6 : Lösung zu c (Methode 1)
Abb.6 : Lösung zu c (Methode 2)

Lösung (c)


Man kann aus dieser Figur durch spiegeln auf diverse Art und Weise verschiedene Objekte erzeugen. Der Kernpunkt ist, dass man an dieser Figur beide Arten der Spiegelung, also Punkt- und/oder Achsenspiegelung, üben kann. Die Schülerinnen und Schüler sollten zunächst überlegen und danach konstruieren. Das Überlegen, welche Spiegelung geeignet ist, ist wiederum eine Kompetenz und fördert das geometrische Vorstellungsvermögen. Im Folgenden zwei Methoden, wie man spiegeln könnte:


  • Methode 1: Achsenspiegelung (z.B. Stuhl und Zange)
  • Methode 2: Punkt- und Achsenspiegelung in unbestimmter Reihenfolge (z.B. Regiestuhl)


Konstruktion:
Die Konstruktion der Lösung können Sie sich ansehen unter Pdf20.gif Lösung c



Didaktischer Kommentar

Punkt- und Achsensymmetrie ist ein wichtiges Thema in der Schule, besonders in der Sekundarstufe I. Durch richtige Einführung in das Themengebiet können Schülerinnen und Schüler elementare Kenntnisse in der Geometrie erlernen. Die Symmetrie fördert das räumliche Vorstellungsvermögen, zwar hier nur im Zweidimensionalen, aber dies ist eine Basis bzw. ein Anfang für dreidimensionale Probleme später in der Sekundarstufe II. Ebenfalls führt das Thema die SuS in die Geometrie ein und bereitet sie für komplexere Probleme (später) vor. Die drei Aufgaben sind so konstruiert, dass die Schülerinnen und Schüler sich in der Achsen- und Punktsymmetrie erkundigen können. Selbstverständlich muss man für eine tiefere Unterrichtsgestaltung auch weiterentwickelte Aufgaben nehmen.

In der Aufgabe (b) sollen die SuS sie Spiegelung in ihrer einfachsten Form kennenlernen, nämlich die Achsenspiegelung. Im zweiten Teil sollen Sie ein Dreieck so spiegeln, dass man als Resultat ein Quadrat erhält. Hier werden zusätzlich Kenntnisse über geometrische Figuren abgefragt. Wer zuerst überlegt und dann konstruiert, kann sogar auf die Lösung kommen, dass man im Prinzip nur ein Mal spiegeln muss, anstatt drei Mal.

Die Aufgabe (a) führt in die Punktsymmetrie ein. Die Punktspiegelung ist in vielen Fällen den Schülerinnen und Schülern nicht klar. Ein sofortiges Verständnis ist deswegen nicht vorhanden, da diese Art von Spiegelung sich deutlich von der Achsenspiegelung unterscheidet und förmlich das Vorstellungsvermögen beansprucht. Hier ist also, von der Seite der Lehrkraft, eine detaillierte Erklärung zwingend erforderlich. Der erste Teil der Aufgabe sieht einfach aus, aber kann jegliche SuS herausfordern. Man sollte deswegen nach Möglichkeit eine einfachere Figur als Einführung nehmen, z.B. einen Punkt. Der zweite Teil der Aufgabe erfordert jedoch ein bisschen mehr Überlegung. Hier sollen die SuS sehen und erkennen, dass es auch bewegte Objekte im zweidimensionalem "Raum" existieren. Eine tiefer gehende Erklärung ist hier aber unpassend, da dies den Rahmen in der Sekundarstufe I sprengen würde.

Die Aufgabe (c) stellt den Anforderungsbereich III dar. Hier wird der Schüler zunächst überlegen bevor er konstruiert. Es handelt sich bei dieser Aufgabe um eine offene Aufgabe. Die Schülerinnen und Schüler sollten so eine Aufgabe jedoch erst bekommen, wenn sie auch im Thema fortgeschritten sind.

In der Theorie der bildenden Kunst, sowohl der Antike als auch der Klassik, wird Symmetrie auch als Proportionalität bezeichnet. Dies meint das proportionale Verhältnis von Teilen einer Figur zueinander, als auch zum Ganzen.In der Natur begegnen wir beispielsweise immer wieder symmetrischen Formen, die wir als besonders schön und harmonisch empfinden, wie etwa Kristalle (Edelsteine, Eiskristalle…), Schmetterlinge, Blattformen, Seeigel, Blüten, etc. Aber nicht nur in der Natur begegnen uns symmetrische Formen, sondern auch in unserem restlichen Alltag. Solche Beispiele motivieren den Unterricht und gewiss auch die Schülerinnen und Schüler. Wenn man das Thema richtig einführt, dann lernen alle Beteiligten die Grundlagen der Geometrie und haben dabei sogar viel Spaß!

Quellen