Das Stellenwertsystem: Unterschied zwischen den Versionen

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(Umrechungen)
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Richtung selbst entwickeln zu lassen.
  
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Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse
 
Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse

Version vom 20. April 2011, 21:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Lehrplan

Im schulinternen Curriculum , welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert. Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem Zweiersystem vertraut zu machen.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert. Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der Nspire CAS zum Einsatz kommen.

Provokation

Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von Stücken in den Längen 1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm,16 cm usw. gemessen werden können. Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?


Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro-, 2-Euro-, 4-Euro-, 8-Euro-, 16-Euro- usw. Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?


Umrechungen

Vom Zweiersystem ins Zehnersystem

Stift.gif   Aufgabe

Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse: eine 16-Euro-Münze, keine 8-Euro Münze, eine 4-Euro-Münze, eine 2-Euro-Münze und eine 1-Euro-Münze. Der Inhalt eurer Geldbörse lässt sich schreiben als :10111_{(2)} Vergleicht diese Schreibweise mit dem Inhalt der Geldbörse.

Zeichnet zur Übung folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein. Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet.

10111_{(2)}
10101_{(2)}
101111_{(2)}
100001_{(2)}
111111_{(2)}
Stellenwerte
32 16 8 4 2 1
Zahl im 2er System 0 1 0 1 1 1 23 Zahl im 10er System
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

Vom Zehnersystem ins Zweiersystem

Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.

Stift.gif   Aufgabe

Ein Geschäft hat die Preise im 10er-System ausgezeichnet und ihr möchtet mit euren Münzen des 2er-Systems bezahlen. Rechnet dazu folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um. Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt.

a) 17_{(10)}

b) 64_{(10)}

c) 100_{(10)}

d) 255_{(10)}

e) 999_{(10)}

Beispielrechnung

Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die Division mit Rest ins Zweiersystem umgerechnet werden

\left.\begin{matrix}
 29 &: 2 &=& 14 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 14 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
  7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
  3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
  1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}
\end{matrix}\ \right\uparrow

Die Reste der Divisionen ergeben von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl im Zweiersystem: 11101


Lösungen mit Rechenweg:

Verallgemeinerung mit Hilfe des NSpire CAS

Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation Lists & Spreadsheet sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument entwickeln, das beliebige Zahlen bis zu einer bestimmten vorgegebenen Größe umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere Richtung selbst entwickeln zu lassen.

Vom Zweiersystem ins Zehnersystem


Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse der Schülerinnen und Schüler sind auch schwierigere Aufgabestellungen (z.B. Eingabe der Zahl des 2er Systems in nur eine einzige Zelle, Verwendung des mod-Befehls usw.)

Stift.gif   Aufgabe

Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 7-stellige Zahlen des 2er-Systems ins 10er-System umwandeln kann. Die Zahl des 2er-Systems darf schon bei der Eingabe auf 7 Zellen aufgeteilt werden (siehe Bild).

Stift.gif   Aufgabe

Erweitert euer Dokument so, dass die Zahl des 2er-Systems in nur eine einzige Zelle eingegeben wird.

Es ist hilfreich hierbei den mod- und int-Befehl zu verwenden.

Vom Zehnersystem ins Zweiersystem


Stift.gif   Aufgabe

Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 4-stellige Zahlen des 10er-Systems ins 2er-System umwandeln kann. Die Zahl des 10er-Systems soll dabei in eine Zelle eingegeben werden.


Didaktischer Kommentar: Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass sie tatsächlich einen Umrechner für Zahlen des 10er-Systems bis zu einer Größe von 16383 (nicht nur bis 9999!) erstellt haben. Eine anschließende Diskussion über die fehlerhafte Rechnung bei größeren Zahlen als 16383 halte ich für sehr sinnvoll

Quellen