Das Stellenwertsystem: Unterschied zwischen den Versionen
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− | , welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien | + | Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem [[Zweiersystem]] vertraut zu machen. |
− | orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert. | + | |
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− | Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem | + | |
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Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, | Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, | ||
− | sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. | + | sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern |
+ | als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert. Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der [[Nspire CAS]] zum Einsatz kommen. | ||
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Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?}} | Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?}} | ||
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Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?}} | Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?}} | ||
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− | + | {{Aufgabe|Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse: | |
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Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als | Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als | ||
Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet. | Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet. | ||
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+ | {{Aufgabe|Ein Geschäft hat die Preise im 10er-System ausgezeichnet und ihr möchtet mit euren Münzen des 2er-Systems bezahlen. | ||
+ | Rechnet dazu folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um. | ||
+ | Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt. | ||
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Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die | Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die | ||
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Die Reste der Divisionen ergeben von '''unten''' nach '''oben''' gelesen | Die Reste der Divisionen ergeben von '''unten''' nach '''oben''' gelesen | ||
die gesuchte Zahl im Zweiersystem: '''11101''' | die gesuchte Zahl im Zweiersystem: '''11101''' | ||
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+ | 100 &: 2 &=& 50 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 50 &: 2 &=& 25 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 25 &: 2 &=& 12 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 12 &: 2 &=& 6 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 6 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1} | ||
+ | \end{matrix}\ \right\uparrow</math> | ||
</popup> | </popup> | ||
<popup name="d)"> | <popup name="d)"> | ||
− | {{ | + | :<math>\left.\begin{matrix} |
+ | 255 &: 2 &=& 127 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 127 &: 2 &=& 63 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 63 &: 2 &=& 31 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 31 &: 2 &=& 15 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 15 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | \end{matrix}\ \right\uparrow</math> | ||
</popup> | </popup> | ||
<popup name="e)"> | <popup name="e)"> | ||
− | {{ | + | :<math>\left.\begin{matrix} |
+ | 999 &: 2 &=& 499 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 499 &: 2 &=& 249 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 249 &: 2 &=& 124 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 124 &: 2 &=& 62 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 62 &: 2 &=& 31 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ | ||
+ | 31 &: 2 &=& 15 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 15 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | 1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ | ||
+ | \end{matrix}\ \right\uparrow</math> | ||
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− | == Verallgemeinerung mit Hilfe des | + | === Verallgemeinerung mit Hilfe des NSpire CAS === |
Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation '''Lists & Spreadsheet''' sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument | Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation '''Lists & Spreadsheet''' sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument | ||
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umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere | umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere | ||
Richtung selbst entwickeln zu lassen. | Richtung selbst entwickeln zu lassen. | ||
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+ | {{blau|'''Vom Zweiersystem ins Zehnersystem'''}} | ||
Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse | Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse | ||
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nur eine einzige Zelle, Verwendung des '''mod-Befehls''' usw.) | nur eine einzige Zelle, Verwendung des '''mod-Befehls''' usw.) | ||
− | [[Datei:2erin10er.gif]] | + | {{Aufgabe|Entwickelt mit der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' eures CAS ein Dokument, das |
+ | beliebige bis zu 7-stellige Zahlen des 2er-Systems ins 10er-System umwandeln kann. | ||
+ | Die Zahl des 2er-Systems darf schon bei der Eingabe auf 7 Zellen aufgeteilt werden (siehe Bild).}} | ||
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+ | <popup name="Lösungshilfe"> | ||
+ | Die Eingabe der Zahl des 2er-Systems könnte so aussehen: | ||
+ | [[Datei:2erin10erbild.gif|center]] | ||
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+ | <popup name="Lösungsvorschlag"> | ||
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Download der Datei für das Nspire CAS | Download der Datei für das Nspire CAS | ||
[[Datei:2er_in_10er.tns]] | [[Datei:2er_in_10er.tns]] | ||
+ | </popup> | ||
− | + | {{Aufgabe|Erweitert euer Dokument so, dass die Zahl des 2er-Systems in nur eine einzige Zelle eingegeben wird.}} | |
+ | Es ist hilfreich hierbei den '''mod- und int-Befehl''' zu verwenden. | ||
− | [[Datei:2erin10er_int.gif]] | + | <popup name="Erläuterungen zum mod- und int-Befehl"> |
+ | Der '''mod-Befehl''' kann in der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' verwendet werden und | ||
+ | gibt '''nur den Rest''' bei der ganzzahligen Division aus. | ||
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+ | Beispiel: | ||
+ | Eingabe im NSpire CAS: '''mod(21,4)''' gibt 1 aus, weil 21 : 4 = 5 '''Rest 1''' | ||
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+ | Der '''int-Befehl''' kann in der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' verwendet werden und | ||
+ | gibt nur das ganzzahlige Divisionsergebnis aus. | ||
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+ | Eingabe im NSpire CAS: '''int(21/4)''' gibt 5 aus, weil 21 : 4 = '''5''' Rest 1 | ||
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+ | [[Datei:2erin10er_int.gif|center]] | ||
Download der Datei für das Nspire CAS | Download der Datei für das Nspire CAS | ||
[[Datei:2er_in_10er_int.tns]] | [[Datei:2er_in_10er_int.tns]] | ||
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+ | {{Aufgabe|Entwickelt mit der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' eures CAS ein Dokument, das | ||
+ | beliebige bis zu 4-stellige Zahlen des 10er-Systems ins 2er-System umwandeln kann. | ||
+ | Die Zahl des 10er-Systems soll dabei in eine Zelle eingegeben werden.}} | ||
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+ | <popup name="Lösungshilfe"> | ||
+ | Baue dein Dokument so auf, wie das Beispiel mit Zahl 29 im letzten Abschnitt gerechnet wurde. | ||
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+ | <popup name="Lösungsvorschlag"> | ||
+ | [[Datei:10er_in_2er.gif|center]] | ||
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+ | Download der Datei für das Nspire CAS | ||
+ | [[Datei:10er_in_2er.tns]] | ||
+ | </popup> | ||
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+ | {{gelb|'''Didaktischer Kommentar''': | ||
+ | Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass sie tatsächlich einen Umrechner für Zahlen des 10er-Systems bis zu einer Größe von 16383 (nicht nur bis 9999!) | ||
+ | erstellt haben. Eine anschließende Diskussion über die fehlerhafte Rechnung bei größeren Zahlen als 16383 scheint sehr sinnvoll}} | ||
== Quellen == | == Quellen == | ||
− | http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf | + | * http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf |
+ | * {{wpde|Dualsystem}} | ||
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− | + | {{SORTIERUNG:Stellenwertsystem, Das}} | |
+ | [[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SI]] | ||
+ | [[Kategorie:Mathematik 5]] | ||
+ | [[Kategorie:Zahlensysteme]] |
Aktuelle Version vom 14. Mai 2018, 11:25 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Lehrplan
Im schulinternen Curriculum, welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert. Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem Zweiersystem vertraut zu machen.
Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung
Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert. Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der Nspire CAS zum Einsatz kommen.
Provokation
Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von Stücken in den Längen 1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm,16 cm usw. gemessen werden können. Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?
Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro-, 2-Euro-, 4-Euro-, 8-Euro-, 16-Euro- usw. Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?
Umrechungen
Vom Zweiersystem ins Zehnersystem
Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse:
eine 16-Euro-Münze, keine 8-Euro Münze, eine 4-Euro-Münze, eine 2-Euro-Münze und eine 1-Euro-Münze.
Der Inhalt eurer Geldbörse lässt sich schreiben als : Zeichnet zur Übung folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein. Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet. |
Stellenwerte | ||||||||
32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | |||
Zahl im 2er System | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 23 | Zahl im 10er System |
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Vom Zehnersystem ins Zweiersystem
Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.
Ein Geschäft hat die Preise im 10er-System ausgezeichnet und ihr möchtet mit euren Münzen des 2er-Systems bezahlen. Rechnet dazu folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um. Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt. a)
b)
c)
d)
e)
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Beispielrechnung
Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die Division mit Rest ins Zweiersystem umgerechnet werden
Die Reste der Divisionen ergeben von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl im Zweiersystem: 11101
Lösungen mit Rechenweg:
Verallgemeinerung mit Hilfe des NSpire CAS
Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation Lists & Spreadsheet sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument entwickeln, das beliebige Zahlen bis zu einer bestimmten vorgegebenen Größe umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere Richtung selbst entwickeln zu lassen.
Vom Zweiersystem ins Zehnersystem
Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse
der Schülerinnen und Schüler sind auch schwierigere Aufgabestellungen (z.B. Eingabe der Zahl des 2er Systems in
nur eine einzige Zelle, Verwendung des mod-Befehls usw.)
Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 7-stellige Zahlen des 2er-Systems ins 10er-System umwandeln kann. Die Zahl des 2er-Systems darf schon bei der Eingabe auf 7 Zellen aufgeteilt werden (siehe Bild). |
Erweitert euer Dokument so, dass die Zahl des 2er-Systems in nur eine einzige Zelle eingegeben wird. |
Es ist hilfreich hierbei den mod- und int-Befehl zu verwenden.
Vom Zehnersystem ins Zweiersystem
Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 4-stellige Zahlen des 10er-Systems ins 2er-System umwandeln kann. Die Zahl des 10er-Systems soll dabei in eine Zelle eingegeben werden. |
Didaktischer Kommentar: Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass sie tatsächlich einen Umrechner für Zahlen des 10er-Systems bis zu einer Größe von 16383 (nicht nur bis 9999!) erstellt haben. Eine anschließende Diskussion über die fehlerhafte Rechnung bei größeren Zahlen als 16383 scheint sehr sinnvoll