Das Stellenwertsystem: Unterschied zwischen den Versionen

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= Lehrplan =
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== Lehrplan ==
  
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Im schulinternen [http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf Curriculum]
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Im schulinternen [http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf Curriculum], welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert.
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, welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien
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Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem [[Zweiersystem]] vertraut zu machen.
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orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert.
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Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich
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der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen
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Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem
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Zweiersystem vertraut zu machen.
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== Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung ==
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Die Aufgabenstellungen richten sich an Schülerinnen und Schüler der 5. Klasse des Gymnasiums.
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Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern,
 
Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern,
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sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden.
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sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern
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als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert. Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der [[Nspire CAS]] zum Einsatz kommen.
  
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Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,
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=== Provokation ===
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die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Dieser Beitrag soll nicht primär
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von dieser Phase handeln, daher finden sich in verkürzter Form nur wenige
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Beispielaufgaben.
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Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern
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als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert.
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Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung
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{{blau|Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von
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der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der Nspire CAS zum Einsatz kommen.
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Stücken in den Längen 1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm,16 cm usw. gemessen werden können.
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== Provokation ==
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{{Kasten_gelb|Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von
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Stücken in den Längen 1cm ,2cm ,4cm ,8cm ,16cm usw gemessen werden können.
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Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?}}
 
Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?}}
  
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{{Kasten_gelb|Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro, 2-Euro, 4-Euro, 8-Euro, 16-Euro usw.
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{{blau|Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro-, 2-Euro-, 4-Euro-, 8-Euro-, 16-Euro- usw.
 
Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?}}
 
Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?}}
  
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== Lernumgebung ==
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=== Umrechungen ===
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Hierzu eignet sich z.B. ein großes Lineal oder ein Zollstock, an dem verschiedene
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Längen durch Aneinanderreihen von Holzblöcken oder Pappstreifen der Längen
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1cm ,2cm ,4cm ,8cm ,16cm usw. dargestellt bzw. abgemessen werden.
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{{Aufgabe|Messt die folgenden Längen mit Hilfe der Pappstreifen auf dem großen Lineal ab.
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5cm
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Schülerinnen und Schülern soll hierbei klar werden, dass sich jede Länge durch
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{{blau|'''Vom Zweiersystem ins Zehnersystem'''}}
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Aneinanderreihen der Pappstreifen darstellen lässt, und
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{{Aufgabe|Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse:
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diese Darstellung bis auf die Reihenfolge eindeutig ist.
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'''eine''' 16-Euro-Münze, '''keine''' 8-Euro Münze, '''eine''' 4-Euro-Münze, '''eine''' 2-Euro-Münze und '''eine''' 1-Euro-Münze.
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Der Inhalt eurer Geldbörse lässt sich schreiben als :<math>10111_{(2)}</math>
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Vergleicht diese Schreibweise mit dem Inhalt der Geldbörse.
  
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= Umrechungen =
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Zeichnet zur Übung folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein.
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== Vom Zweiersystem ins Zehnersystem ==
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{{Aufgabe|Zeichnet folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein.
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Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als
 
Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als
 
Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet.
 
Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet.
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== Vom Zehnersystem ins Zweiersystem ==
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{{blau|'''Vom Zehnersystem ins Zweiersystem'''}}
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{{blau|Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.}}
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{{Aufgabe|Ein Geschäft hat die Preise im 10er-System ausgezeichnet und ihr möchtet mit euren Münzen des 2er-Systems bezahlen.
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Rechnet dazu folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um.
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Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt.
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{{Kasten_blass|Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.}}
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== Beispielrechnung ==
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=== Beispielrechnung ===
  
 
Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die
 
Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die
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Die Reste der Divisionen ergeben von '''unten''' nach '''oben''' gelesen
 
Die Reste der Divisionen ergeben von '''unten''' nach '''oben''' gelesen
 
die gesuchte Zahl im Zweiersystem: '''11101'''
 
die gesuchte Zahl im Zweiersystem: '''11101'''
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{{Aufgabe|Rechnet folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um.
 
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Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt.
 
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a) <math>17_{(10)}</math>
 
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b) <math>64_{(10)}</math>
 
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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<popup name="Lösung mit Rechenweg">
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{{Hintergrund_orange|Lösungen mit Rechenweg:}}
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<popup name="a)">
 
<popup name="a)">
 
:<math>\left.\begin{matrix}
 
:<math>\left.\begin{matrix}
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</popup>
 
<popup name="c)">
 
<popup name="c)">
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{{Schrift_orange|noch zu erledigen}}
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:<math>\left.\begin{matrix}
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100 &: 2 &=& 50 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
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50 &: 2 &=& 25 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
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25 &: 2 &=& 12 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  12 &: 2 &=& 6 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
 +
  6 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
 +
  3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}
 +
\end{matrix}\ \right\uparrow</math>
 
</popup>
 
</popup>
 
<popup name="d)">
 
<popup name="d)">
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{{Schrift_orange|noch zu erledigen}}
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:<math>\left.\begin{matrix}
 +
255 &: 2 &=& 127 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
127 &: 2 &=& 63 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
63 &: 2 &=& 31 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  31 &: 2 &=& 15 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  15 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
  1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
\end{matrix}\ \right\uparrow</math>
 
</popup>
 
</popup>
 
<popup name="e)">
 
<popup name="e)">
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{{Schrift_orange|noch zu erledigen}}
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:<math>\left.\begin{matrix}
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999 &: 2 &=& 499 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
499 &: 2 &=& 249 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
 +
249 &: 2 &=& 124 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
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  124 &: 2 &=& 62 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
 +
  62 &: 2 &=& 31 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\
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  31 &: 2 &=& 15 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
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  15 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
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  7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
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  1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\
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\end{matrix}\ \right\uparrow</math>
 
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== Verallgemeinerung mit Hilfe des Nspire CAS ==
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=== Verallgemeinerung mit Hilfe des NSpire CAS ===
  
 
Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation '''Lists & Spreadsheet''' sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument
 
Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation '''Lists & Spreadsheet''' sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument
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umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere
 
umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere
 
Richtung selbst entwickeln zu lassen.
 
Richtung selbst entwickeln zu lassen.
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{{blau|'''Vom Zweiersystem ins Zehnersystem'''}}
  
 
Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse
 
Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse
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nur eine einzige Zelle, Verwendung des '''mod-Befehls''' usw.)
 
nur eine einzige Zelle, Verwendung des '''mod-Befehls''' usw.)
  
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[[Datei:2erin10er.gif]]
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{{Aufgabe|Entwickelt mit der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' eures CAS ein Dokument, das
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beliebige bis zu 7-stellige Zahlen des 2er-Systems ins 10er-System umwandeln kann.
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Die Zahl des 2er-Systems darf schon bei der Eingabe auf 7 Zellen aufgeteilt werden (siehe Bild).}}
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<popup name="Lösungshilfe">
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Die Eingabe der Zahl des 2er-Systems könnte so aussehen:
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[[Datei:2erin10erbild.gif|center]]
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<popup name="Lösungsvorschlag">
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[[Datei:2erin10er.gif|center]]
  
 
Download der Datei für das Nspire CAS
 
Download der Datei für das Nspire CAS
 
[[Datei:2er_in_10er.tns]]
 
[[Datei:2er_in_10er.tns]]
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Eingabe der Zahl des 2er Systems in nur eine einzige Zelle unter Verwendung des '''mod- und int-Befehls'''
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{{Aufgabe|Erweitert euer Dokument so, dass die Zahl des 2er-Systems in nur eine einzige Zelle eingegeben wird.}}
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Es ist hilfreich hierbei den '''mod- und int-Befehl''' zu verwenden.
  
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[[Datei:2erin10er_int.gif]]
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<popup name="Erläuterungen zum mod- und int-Befehl">
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Der '''mod-Befehl''' kann in der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' verwendet werden und
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gibt '''nur den Rest''' bei der ganzzahligen Division aus.
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Beispiel:
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Eingabe im NSpire CAS: '''mod(21,4)''' gibt 1 aus, weil 21 : 4 = 5 '''Rest 1'''
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Der '''int-Befehl''' kann in der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' verwendet werden und
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gibt nur das ganzzahlige Divisionsergebnis aus.
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Beispiel:
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Eingabe im NSpire CAS: '''int(21/4)''' gibt 5 aus, weil 21 : 4 = '''5''' Rest 1
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<popup name="Lösungsvorschlag">
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[[Datei:2erin10er_int.gif|center]]
  
 
Download der Datei für das Nspire CAS
 
Download der Datei für das Nspire CAS
 
[[Datei:2er_in_10er_int.tns]]
 
[[Datei:2er_in_10er_int.tns]]
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{{blau|Vom Zehnersystem ins Zweiersystem}}
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{{Aufgabe|Entwickelt mit der Anwendung '''Lists & Spreadsheet''' eures CAS ein Dokument, das
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beliebige bis zu 4-stellige Zahlen des 10er-Systems ins 2er-System umwandeln kann.
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Die Zahl des 10er-Systems soll dabei in eine Zelle eingegeben werden.}}
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<popup name="Lösungshilfe">
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Baue dein Dokument so auf, wie das Beispiel mit Zahl 29 im letzten Abschnitt gerechnet wurde.
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</popup>
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<popup name="Lösungsvorschlag">
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[[Datei:10er_in_2er.gif|center]]
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Download der Datei für das Nspire CAS
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[[Datei:10er_in_2er.tns]]
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{{gelb|'''Didaktischer Kommentar''':
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Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass sie tatsächlich einen Umrechner für Zahlen des 10er-Systems bis zu einer Größe von 16383 (nicht nur bis 9999!)
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erstellt haben. Eine anschließende Diskussion über die fehlerhafte Rechnung bei größeren Zahlen als 16383 scheint sehr sinnvoll}}
  
 
== Quellen ==
 
== Quellen ==
  
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http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf
+
* http://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/upload/material/g8/G8_M_Curriculum1.pdf
 +
* {{wpde|Dualsystem}}
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http://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem
+
{{SORTIERUNG:Stellenwertsystem, Das}}
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[[Kategorie:Materialien aus Mathematik-Seminaren, SI]]
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[[Kategorie:Mathematik 5]]
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[[Kategorie:Zahlensysteme]]

Aktuelle Version vom 14. Mai 2018, 11:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Lehrplan

Im schulinternen Curriculum, welches sich am NRW-Kernlehrplan Mathematik G8 für Gymnasien orientiert, wird das Thema der Stellenwertsysteme nicht zwingend gefordert. Gerade im Hinblick auf logische Verknüpfungen im Bereich der Informatik und allgemein in der heute allgegenwärtigen elektronischen Datenverarbeitung kann es jedoch sinnvoll sein, Schülerinnen und Schüler bereits frühzeitig mit dem Zweiersystem vertraut zu machen.

Vorschlag für eine handlungsorientierte Einführung

Um Schülerinnen und Schüler den Zugang zu anderen Stellenwertsystemen zu erleichtern, sollen Schülerinnen und Schüler auf haptischem Wege zunächst mit dem Zweiersystem vertraut gemacht werden. Anschließend sollen Umrechnungsmethoden eingeführt werden,die die Schülerinnen und Schüler zunächst auf dem Papier üben. Unter anderem erfahren Schülerinnen und Schüler, dass die Darstellung von Zahlen in Stellenwertsystemen mit weniger Ziffern als dem vertrauten Zehnersystem in der Regel mehr Stellen im Vergleich zum Zehnersystem erfordert. Eine sinnvolle Weiterführung ist sicherlich die Verallgemeinerung der Umrechnungsmethoden. An dieser Stelle könnte der Nspire CAS zum Einsatz kommen.

Provokation

Man stelle sich eine Welt vor, in der jegliche Längen nur durch die Kombination von Stücken in den Längen 1 cm, 2 cm, 4 cm, 8 cm,16 cm usw. gemessen werden können. Jedes Stück ist nur einmal vorhanden. Kann man beliebige Längen messen?


Man stelle sich vor, es gäbe nur eine einzige 1-Euro-, 2-Euro-, 4-Euro-, 8-Euro-, 16-Euro- usw. Münze. Können wir mit diesen Münzen beliebige runde Geldbeträge bezahlen?


Umrechungen

Vom Zweiersystem ins Zehnersystem

Stift.gif   Aufgabe

Ihr habt folgende Münzen in eurer Geldbörse: eine 16-Euro-Münze, keine 8-Euro Münze, eine 4-Euro-Münze, eine 2-Euro-Münze und eine 1-Euro-Münze. Der Inhalt eurer Geldbörse lässt sich schreiben als :10111_{(2)} Vergleicht diese Schreibweise mit dem Inhalt der Geldbörse.

Zeichnet zur Übung folgende Tabelle ab und tragt die Zahlen des Zweiersystems in die Tabelle ein. Anschließend könnt ihr sie ins Zehnersystem umrechnen. Die erste Zahl ist als Hilfestellung bereits eingetragen und umgerechnet.

10111_{(2)}
10101_{(2)}
101111_{(2)}
100001_{(2)}
111111_{(2)}
Stellenwerte
32 16 8 4 2 1
Zahl im 2er System 0 1 0 1 1 1 23 Zahl im 10er System
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .

Vom Zehnersystem ins Zweiersystem

Voraussetzungen: Für die hier beschriebene Methode müssen Schülerinnen und Schüler die Division mit Rest beherrschen.

Stift.gif   Aufgabe

Ein Geschäft hat die Preise im 10er-System ausgezeichnet und ihr möchtet mit euren Münzen des 2er-Systems bezahlen. Rechnet dazu folgende Zahlen des Zehnersystems ins Zweiersystem um. Die tiefgestellte 10 zeigt an, dass es sich um eine Zahl im Zehnersystem handelt.

a) 17_{(10)}

b) 64_{(10)}

c) 100_{(10)}

d) 255_{(10)}

e) 999_{(10)}

Beispielrechnung

Die im Zehnersystem vorgebene Zahl (als Beispiel hier 29) kann durch die Division mit Rest ins Zweiersystem umgerechnet werden

\left.\begin{matrix} 29 &: 2 &=& 14 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ 14 &: 2 &=& 7 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{0}\\ 7 &: 2 &=& 3 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ 3 &: 2 &=& 1 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1}\\ 1 &: 2 &=& 0 &\mathrm{ Rest }\ \ \mathbf{1} \end{matrix}\ \right\uparrow

Die Reste der Divisionen ergeben von unten nach oben gelesen die gesuchte Zahl im Zweiersystem: 11101


Lösungen mit Rechenweg:

Verallgemeinerung mit Hilfe des NSpire CAS

Mit Hilfe der einfachen Tabellenkalkulation Lists & Spreadsheet sollen Schülerinnen und Schüler ein Dokument entwickeln, das beliebige Zahlen bis zu einer bestimmten vorgegebenen Größe umrechnet. Es ist denkbar eine der beiden Richtungen vorzugeben und Schülerinnen und Schüler die andere Richtung selbst entwickeln zu lassen.

Vom Zweiersystem ins Zehnersystem


Als Beispiel ein sehr einfacher Umrechner von Zahlen des 2er Systems ins 10er System. Je nach Interesse der Schülerinnen und Schüler sind auch schwierigere Aufgabestellungen (z.B. Eingabe der Zahl des 2er Systems in nur eine einzige Zelle, Verwendung des mod-Befehls usw.)

Stift.gif   Aufgabe

Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 7-stellige Zahlen des 2er-Systems ins 10er-System umwandeln kann. Die Zahl des 2er-Systems darf schon bei der Eingabe auf 7 Zellen aufgeteilt werden (siehe Bild).

Stift.gif   Aufgabe

Erweitert euer Dokument so, dass die Zahl des 2er-Systems in nur eine einzige Zelle eingegeben wird.

Es ist hilfreich hierbei den mod- und int-Befehl zu verwenden.

Vom Zehnersystem ins Zweiersystem


Stift.gif   Aufgabe

Entwickelt mit der Anwendung Lists & Spreadsheet eures CAS ein Dokument, das beliebige bis zu 4-stellige Zahlen des 10er-Systems ins 2er-System umwandeln kann. Die Zahl des 10er-Systems soll dabei in eine Zelle eingegeben werden.

Didaktischer Kommentar: Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass sie tatsächlich einen Umrechner für Zahlen des 10er-Systems bis zu einer Größe von 16383 (nicht nur bis 9999!) erstellt haben. Eine anschließende Diskussion über die fehlerhafte Rechnung bei größeren Zahlen als 16383 scheint sehr sinnvoll

Quellen

Von „https://wiki.zum.de/index.php?title=Materialien_aus_Mathematik-Seminaren/SI/Das_Stellenwertsystem&oldid=385269“