Quadratische Funktionen und Gleichungen: Unterschied zwischen den Versionen

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In dieser Ausarbeitung wird das Thema der quadratischen Funktionen in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne ebenso wie in mögliche Anwendungen des CAS gegeben werden. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtung der Gymnasialen Oberstufe sind.
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Version vom 11. Juni 2012, 23:30 Uhr

Kurzinfo
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Inhaltsverzeichnis

Einführung

In dieser Ausarbeitung wird das Thema der quadratischen Funktionen in der Sekundarstufe 1 behandelt. So soll eine Einführung in die Kernlehrpläne ebenso wie in mögliche Anwendungen des CAS gegeben werden. Herauszustreichen bleibt, dass quadratische Funktionen die Grundlage für die spätere Funktionsbetrachtung der Gymnasialen Oberstufe sind.

Fachlicher Hintergrund

  • Normalparabel:  f(x) =x^2
  • Parabel mit Streckfaktor: f(x) =a \cdot x^2
  • Parabel mit vertikaler Verschiebung: f(x) =a \cdot x^2+e
  • Normalform: f(x) =a \cdot x^2+b \cdot x+c
  • Scheitelpunktsform: f(x) =a \cdot (x+e)^2+d mit dem Scheitelpunkt: S(-e|d)

Einführung in den Lehrplan

In den Kernlehrplänen G8 befinden sich folgende, für quadratische Gleichungen relevante Forderungen:

Inhaltsbezogene Kompetenzen

  • Die SuS lösen einfache quadratische Gleichungen.
  • Sie stellen lineare und quadratische Funktionen in verschiedenen Darstellungsformen dar.
  • Sie deuten Parameter der Termdarstellungen von linearen und quadratischen Funktionen in der grafischen Darstellung.

Prozessbezogene Kompetenzen

  • SuS zerlegen Probleme in Teilprobleme.
  • Sie wenden die Problemlösestrategien „Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten“ an.
  • Sie übersetzen Realsituationen in mathematische Modelle und umgekehrt.
  • Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathem. Modelle für eine Realsituation.
  • Sie wählen geeignetes Werkzeug (z.B. Tabellen-Kalkulation, CAS) aus und nutzen es.
  • Sie erläutern mathematische Zusammenhänge und Einsichten mit eigenen Worten und präzisieren sie mit geeigneten Fachbegriffen.
  • Sie überprüfen und bewerten Problembearbeitungen.

Kompetenzerwartungen

  • Die SuS können die verschiedenen Lösungsansätze (Faktorisieren, Satz von Vieta, pq-Formel) zum Lösen einfacher quadratischer Gleichungen begründet anwenden.
  • Sie können Aussagen bzgl. der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt quadratischer Gleichungen formulieren.
  • Sie können Excel bzw. Derive nutzen, um quadratische Gleichungen grafisch darzustellen und so deren Lösung zu überprüfen oder abzuschätzen.
  • Sie können reale Sachverhalte (Wurfparabeln, Brücken,…) durch Parabelgleichungen ausdrücken.
  • Sie können Funktionsgleichungen sinnvoll verändern (allg. Form, Normalform, Scheitelpunktform) und hierbei den Einfluss der Parameter deuten.
  • Sie können die Vor- und Nachteile der Darstellungsformen (Tabelle, Graph, Gleichung) benennen und sie sinnvoll zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemstellungen nutzen.

Anwendung des CAS

Veranschaulichung des Streckfaktors

Mit Hilfe eines Schiebereglers können SuS selbst und ohne ständig neue Zeichnungen anzulegen, selbst erkunden, wie sich der Streckfaktor auf die Parabel auswirkt.

Darstellung einer Normalparabel mit dem Streckfaktor a=1

Darstellung einer gestauchten Parabel mit Streckfaktor a=7,8

Darstellung einer gestreckten Parabel mit Streckfaktor a=0.12

Darstellung einer Parabel mit negativem Streckfaktor mit a=-0.75


Veranschaulichung der vertikalen Verschiebung

Verschiebung nach oben mit e=2

Verschiebung nach unten mit e=-4

Normalform

Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Seitenverschiebung sowie der Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen. Diese Verbindung zwischen Parameter und Parabel können Schüler ohne größere Hilfe selbst erarbeiten.

Scheitelpunktsform

Mit Hilfe der Schieberegler lässt sich die Parabel verschieben und der Scheitelpunkt verfolgen. So wird auf eindrucksvolleweise veranschaulicht, wie sich die Parameter in der Scheitelpunktsform auf den Scheitelpunkt auswirken. Es könnte sogar möglich seien, dass die Schüler so selbstständig erarbeiten, wie sich die Parameter in den Koordinaten des Scheitelpunktes wiederfinden.

Aufgaben

Aufgabe 1

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Eine parabelförmige Brückenaufhängung ist an ihrer höchsten Stelle 10 m hoch. Die Gesamtlänge der Konstruktion beläuft sich auf 28,18 m. Gib einen Funktionsterm an, der die Aufhängung der Brücke beschreibt, damit die Länge für weitere Stützen berechnet werden kann. Berechne zum Beispiel die Länge der Befestigung 7 m vom Mittelpunkt der Brücke.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Als Erstes sollte man die Informationen aus der Aufgabe nutzen, um Punktkoordinaten zu bestimmen und diese möglichst geschickt in ein Koordinatensystem einzeichnen:

Jetzt gibt es mehrere Lösungsmöglichkeiten: Erstmal sieht man, dass die Parabel von der Gestalt f(x)=-a \cdot x^2+e seien muss. Durch die geschickte Wahl der Punkte sieht man, dass e=10 ist. Nun könnte man a durch Einsetzen eines weiteren Punktes, der auf der Parabel liegt, berechnen oder mit Hilfe des Schiebereglers die Funktion so verschieben, dass sie auf den anderen beiden Punkten liegt.

Mit Hilfe der nun gewonnenen Funktion lässt sich der Funktionswert an der Stelle 7 berechnen, wodurch man die Länge des Stützbalkens erhält. Eine zweite Möglichkeit besteht darin, einen Punkt auf der Parabel zu verschieben, bis er die gewünschten Koordinaten erreicht hat.


Aufgabe 2

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Der kleine Max wirft unerlaubt auf dem Schulhof einen Schneeball. Der Schneeball erreicht nach 2 m seine maximale Flughöhe von 3 m. Der Ball hatte beim Verlassen der Hand eine Höhe von 1,75 m. Nach welcher Strecke landet der Ball bei optimalen Bedingungen wieder auf dem Boden? Schafft Max es, die 7 m entfernte Fensterfront zu treffen?

Lösung

Information icon.svg Lösung

Als Erstes werden wieder die relevanten Informationen in ein Koordinatensystem übertragen. Dies liefert bei geschicktem Aufstellen folgendes Bild:

Aufgrund der bisherigen Skizze und der Frage, wann der Schneeball wieder auf den Boden schlägt, kann von einer negativen Steigung ausgegangen werden. Sinnvoll erscheint es, sich die Scheitelpunktsform zu Nutze zu machen, in die man die Koordinaten des Scheitelpunktes und des Abwurfpunktes einsetzt, um a zu bestimmen.

Mit dem nun gewonnen a=-0,3125 ergibt sich folgende Funktionsgleichung:

Der kleine Max schafft es, ca. 5 m weit zu werfen, die Fensterfront trifft er (leider) nicht.


Aufgabe 3

Aufgabenstellung

Stift.gif   Aufgabe

Dir stehen 24 m Drahtzaun zur Verfügung, mit dem Du ein rechteckiges Kleintiergehege an die Rückwand der Scheune bauen willst. Da Du deine Tiere liebst, willst Du ihnen natürlich ein möglichst großes Gehege bauen. Finde also den größtmöglichen Flächeninhalt und berechne diesen.

Lösung

Information icon.svg Lösung

Welche Formeln benögtigt man zur Berechnung: A_r=a \cdot b und u=2 \cdot a+b

Umgeformt nach b ergibt sich: b=-2 \cdot a+u

Dieses b wird nun in die Gleichung für den Flächeninhalt eingesetzt.

Dann ergibt sich A_r=a \cdot (-2 \cdot a+u)

Ausmultipliziert: A_r=-2 \cdot a^2+a \cdot u

Setzen wir nun u=24 ein: A_r=-2 \cdot a^2+24 \cdot a

Diese Vorschrift gilt es nun als Funktion aufzufassen und ihren Scheitelpunkt zu bestimmen:

a(x)= -2 \cdot a^2+24 \cdot a

Alternativ hätte der Scheitelpunkt auch berechnet werden können.

Es ergibt sich für a eine Länge von a=6, daraus folgt b=12. Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 72m². Also reicht es nicht nur für Kleintiere.


Didaktischer Kommentar

Der Einsatz von einem CAS bietet im Rahmen der quadratischen Gleichungen vielfältige, sinnvolle Anwendungen. So können vor allem über das System der Parameter viele Erkenntnisse einfach hergestellt und gesichert werden. Es erspart das Zeichnen von mehreren Parabeln, um den Auswirkungen der Parameter auf die Spur zu kommen. Auswirkungen und Veränderungen werden dynamisch wahrgenommen.

Bei der Umsetzung von realen Situationen in mathematische Modelle dient das CAS ebenfalls der Veranschaulichung oder auch als Rechenhilfe. Es kann dadurch mehr Zeit für die schwierige Transferphase der gegebenen Informationen in ein mathematisches Modell gewonnen werden. Gerade die Aufgabe mit der Brücke erlaubt es, dank der Software eine Lösung auch ohne Rechenaufwand zu finden.

Es bleibt festzuhalten, dass ein CAS oder ein vergleichbares System in Bezug auf quadratische Funktionen auf jeden Fall Anwendung im Unterricht finden sollte.

Quellen

Kernlehrplan Mathematik NRW G8: Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen