Zuordnungen: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Einführung in das Thema)
(Lehrplan)
Zeile 37: Zeile 37:
 
== Lehrplan ==
 
== Lehrplan ==
  
folgt
+
Bei der nachfolgenden Darstellung beziehen wir uns auf den Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik. Die Thematik der proportionalen, linearen und antiproportionalen Zuordnungen findet sich hierbei in den Kompetenzerwartungen nach Ende der Klasse 8 wieder.
 +
 
 +
Im Rahmen der dort angesprochenen prozessbezogenen Kompetenzen weist dieser auf folgende Aspekte hin:
 +
 
 +
'''1. Argumentieren/Kommunizieren'''
 +
 
 +
''Schülerinnen und Schüler''
 +
 
 +
- ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graf), strukturieren und bewerten sie
 +
 
 +
- vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentation und Darstellungen
 +
 
 +
- geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z.B. Proportionalität, (...))
 +
 
 +
 
 +
'''2. Problemlösen'''
 +
 
 +
''Schülerinnen und Schüler''
 +
 
 +
- planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems
 +
 
 +
- nutzen verschiedene Darstellungsformen (z.B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung
 +
 
 +
 
 +
'''3. Modellieren'''
 +
 
 +
''Schülerinnen und Schüler''
 +
 
 +
- übersetzen einfach Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnugen, lineare Funktionen, (...))
 +
 
 +
- überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell
 +
 
 +
 
 +
'''4. Werkzeuge'''
 +
 
 +
''Schülerinnen und Schüler''
 +
 
 +
- nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme
 +
 
 +
 
 +
Im Rahmen der inhaltsbezogenen Kompetenzen werden folgende Aspekte thematisiert:
 +
 
 +
 
 +
'''1. Funktionen'''
 +
 
 +
''Schülerinnen und Schüler''
 +
 
 +
- stellen Zuordnugen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen
 +
 
 +
- interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge
 +
 
 +
- identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen
 +
 
 +
- wenden die Eigenschaften der proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen (...) an
  
 
== Die drei Typen von Zuordnungen in der Theorie ==
 
== Die drei Typen von Zuordnungen in der Theorie ==

Version vom 14. Dezember 2009, 02:17 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Einführung in das Thema

Bei Zuordnungen geht es darum, zwei oder mehrere gleich bedeutende (oder andersartig passende) Inhalte (Bilder, Begriffe, Zahlen usw.) einander zuzuordnen. Konkret möchte dieser Artikel die Themenkomplexe "proportionale Zuordnungen", "lineare Zuordnugen" sowie "antiproportionale Zuordnungen" behandeln.

Eine wichtige spielt in diesem Rahmen die so genannte Zuordnungstabelle, welche im einfachsten Fall über zwei Spalten verfügt: Jeder Größe der ersten Spalte ist die daneben stehende Größe in der zweiten Spalte zugeordnet. Dadurch ist beispielsweise eine Zuordnung definiert. Die Größen in der ersten Spalte bezeichnen wir als Ausgangsgröße der Zuordnung. Folgerichtig heißt die Menge aller Ausgangsgrößen die Definitionsmenge der Zuordnung. Die Größen in der zweiten Spalte bezeichnen wir als zugeordnete Größe; die Menge aller zugeordneten Größen heißt daher Wertemenge der Zuordnung. Dabei gilt prinzipiell zu beachten, dass die Zuordnungstabellen auch in Zeilen anlegt werden können.

Eine Zuordnung muss natürlich nicht zwangsläufig in Form einer Tabelle dargestellt werden, sondern kann auch durch ein Diagramm oder durch eine Vorschrift angegeben werden.

Geometrische Darstellung

Eine Zuordnung zwischen Größen kann man durch einen Graphen im Koordinatensystem darstellen. Auf der X-Achse (Abszisse) werden die Ausgangsgrößen betrachtet, auf der Y-Achse (Ordinate) die zugeordneten Größen. Jedem Paar einander zugeordneter Größen entspricht ein Punkt.

Der Graph einer Zuordnung kann somit eine Linie oder nur ein einzelner Punkt sein.

Zusatzinformation:

  • Einzelne Punkte aus der Zuordnungstabelle sollten verbunden werden, sofern auch die Zwischenwerte von Relevanz sind. Es gilt daher zu prüfen, ob das Verbinden der Punkte mit Strecken/Kurven sinnvoll erscheint. Die Zwischenwerte sollten dabei brauchbare Schätzwerte für die tatsächlichen Werte darstellen!
  • Gibt es keine Zwischenwerte, so können die einzelnen Punkte dennoch mit Strecken verbunden werden, um Veränderungen zu verdeutlichen. Es gilt aber zu beachten, dass die Zwischenwerte dann keinerlei Bedeutung für die Zuordnung implizieren.


Beispiel einer geometrischen Darstellung:

folgt

Zielgruppe

Die Aufgabenstellungen richten sich an Schülerinnen und Schüler der 7. Jahrgangsstufe des Gymnasiums (G8). Weitergehende Aufgaben können selbstredend in höheren Klasse im Unterricht implementiert werden.

Vorkenntnisse

folgt

Lehrplan

Bei der nachfolgenden Darstellung beziehen wir uns auf den Kernlehrplan für das Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen im Fach Mathematik. Die Thematik der proportionalen, linearen und antiproportionalen Zuordnungen findet sich hierbei in den Kompetenzerwartungen nach Ende der Klasse 8 wieder.

Im Rahmen der dort angesprochenen prozessbezogenen Kompetenzen weist dieser auf folgende Aspekte hin:

1. Argumentieren/Kommunizieren

Schülerinnen und Schüler

- ziehen Informationen aus mathematikhaltigen Darstellungen (Text, Bild, Tabelle, Graf), strukturieren und bewerten sie

- vergleichen und bewerten Lösungswege, Argumentation und Darstellungen

- geben Ober- und Unterbegriffe an und führen Beispiele und Gegenbeispiele als Beleg an (z.B. Proportionalität, (...))


2. Problemlösen

Schülerinnen und Schüler

- planen und beschreiben ihre Vorgehensweise zur Lösung eines Problems

- nutzen verschiedene Darstellungsformen (z.B. Tabellen, Skizzen, Gleichungen) zur Problemlösung


3. Modellieren

Schülerinnen und Schüler

- übersetzen einfach Realsituationen in mathematische Modelle (Zuordnugen, lineare Funktionen, (...))

- überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation und verändern ggf. das Modell


4. Werkzeuge

Schülerinnen und Schüler

- nutzen mathematische Werkzeuge (Tabellenkalkulation, Geometriesoftware, Funktionenplotter) zum Erkunden und Lösen mathematischer Probleme


Im Rahmen der inhaltsbezogenen Kompetenzen werden folgende Aspekte thematisiert:


1. Funktionen

Schülerinnen und Schüler

- stellen Zuordnugen mit eigenen Worten, in Wertetabellen, als Grafen und in Termen dar und wechseln zwischen diesen Darstellungen

- interpretieren Grafen von Zuordnungen und Terme linearer funktionaler Zusammenhänge

- identifizieren proportionale, antiproportionale und lineare Zuordnungen in Tabellen, Termen und Realsituationen

- wenden die Eigenschaften der proportionalen, antiproportionalen und linearen Zuordnungen (...) an

Die drei Typen von Zuordnungen in der Theorie

Proportionale Zuordnungen

Definition

Eine Zuordnung heißt proportional, wenn die folgenden Regeln gelten:

Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man eine Ausgangsgröße, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) sich auch die zugeordnete Größe.

Halbiert (drittelt, viertelt, ... ) man eine Ausgangsgröße, so halbiert (drittelt, viertelt, ... ) sich auch die zugeordnete Größe.


Damit folgt: Zwei Größen x und y heißen proportional, wenn die Quotienten aller Zahlenpaare konstant sind.


Der Graph einer proportionalen Funktion:


Ausgewähltes Beispiel einer proportionalen Zuordnung

Lineare Zuordnungen

Definition

Eine Zuordnung mit der Funktionsgleichung f(x)=mx+b heißt lineare Zuordnung bzw. lineare Funktion. Sie unterscheidet sich durch den konstanten Faktor b von dem Fall der proportionalen Zuordnung. Hierbei wird b als das absolute Glied oder der Achsenabschnitt bezeichnet. Der Graph einer linearen Zuordnung ist eine Gerade.

Allgemein gilt: Für m>0 steigt die Gerade. Für m<0 fällt die Gerade. Im Fall m=0 wird jedem x derselbe Wert zugeordnet. Wir erhalten eine konstante Funktion.

Der Graph einer linearen Funktion:


Ausgewähltes Beispiel einer linearen Zuordnung

Antiproportionale Zuordnungen

Motivation

Beispiele aus der Lebenswelt der SuS:

  • Rennrad: Die Rahmengröße muss zur Körpergröße bzw. insbesondere zur Schrittlänge des Fahrradfahrers passen; bei Rennrädern sollte die Rahmenhöhe zwei Drittel der Schrittlänge betragen.
  • Kosten: Die Kosten für Telefone setzen sich aus variablen Kosten je Zeiteinheit und fixen Kosten (Grundkosten) zusammen, die unabhängig von der Gesprächsdauer gezahlt werden müssen.
  • Geschwindigkeit: Schüler fahren mit dem Bus bzw. mit der Bahn mit einer konstanten Geschwindigkeit und möchten zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort ankommen.

Aufgaben

folgen

Didaktischer Kommentar

folgt

Literaturverzeichnis

folgt