Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen/Fehlerarten beim Signifikanztest

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Beim Signifikanztest sind zwei Fehlerarten möglich. Diese sind nicht zu vermeiden, außer wenn die Grundgesamtheit erfasst wird und somit die Zufallswirkung ausgeschalten wird. Da die Erfassung der Grundgesamtheit allerdings oft nicht möglich ist oder zu aufwenig ist muss ein Umgang mit den Fehlern gefunden werden.

Folgende Fehler können beim Signifikanztest auftreten:

1. Die fälschliche Ablehung der Nullhypothese: Fehler 1. Art
2. Die fälschliche Beibehehaltung der Nullhypothese: Fehler 2. Art

Zur Veranschaulichung betrachten wir unser Beispiel:
Es soll die Aussage "71% der Menschen in Deutschland sehen den Klimawandel als große Bedrohung an" überprüft werden.
Dafür werden folgende Hypothesen aufgestellt:

$H_0:p\leq0,71$
$H_1:p>0,71$

Der Fehler 1. Art würde darin bestehen wenn tatsächlich weniger als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen durch den Test aber vermutet wird, dass mehr als 71% der Menschen den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Der Fehler 2. Art ist, wenn der wahre Wert tatsächlich größer ist als 71%, aber durch den Test angenommen wird, dass weniger als 71% der Menschen den Klimwandel als Bedrohung ansehen.

Den Fehler 1. Art, hast du bereits in dem Lernpfad kennen gelernt. Er wird durch das Signifikanuniveau $\alpha$ kontrolliert.

In den folgenden Übungen, kannst du dein Vertändnis und die Berechnung der beiden Fehler trainieren.
Los geht´s !

Übung 2: Rechtsseitiger Test

Ein Großabhnehmer hat in der letzten Zeit häufig mangelhafte Produkte erhalten. Daher will der Großabnehmer zeigen, dass mehr als 10% der Produkte defekt sind, um so eine Entschädigung zu erhalten. Es werden 100 Produkte überprüft und das Signifikanzniveau auf 5% festgeleget. 10 von den 100 überprüften Pordukten sind defekt. Führe einen passenden Signifkanztest durch, was kann durch den Test gezeigt werden ?

1. Schritt: Wahl der Nullhypothese $H_0$ und der Gegenhypothese $H_1$

Das Ziel eines Signifikanztest ist es die Nullhypothese zu verwerfen und somit zu zeigen, dass mit einer großen statistischen Sicherheit die Gegenhypothese gilt. Wähe also die Gegenhypothese so, dass sie die Interessen des Großabnehmers vertritt. Die zugehörige Gegenaussage ist dann die Nullhypothese.

.$H_0:p\leq0,1$ und $H_1:p>0,1$

2. Schritt: Festlegen des Stichprobenumfangs n und des Signifikanzniveaus $\alpha$

n=100 und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \alpha=5%}

3. Schritt: Definition der Zufallsvaraible X und angeben derer Verteilung wenn $H_0$ stimmt

X ist die Anzahl von den 100 überprüften Produkten die mangelhaft sind.

X ist im Grenzfall $B_{100,0.1}$ -verteilt

4. Schritt: Entscheidungsregel angeben

Gesucht ist der kritische Wert bei dem die kumulierte Wahrscheinlichkeit für X mindestens dem kritischen Wert ist und diese kleiner gleich dem festgelegten Signifikanzniveau $\alpha$ ist.
Erinnere wie du Wahrscheinlichkeiten mit mindestens ausrechnen kannst.

$P(X\geq kr)\leq 0,05 \Rightarrow 1-P(X\leq kr-1)\leq0,05$
$P(X\leq kr-1)\geq0,95$
Aus Ablesen der Tabelle erhalten wir $kr-1=15 \Rightarrow kr=16$

Annahmebereich:{0..15}, Verwerfungsbereich:{16...100}.

5. Schritt: Entscheiden aufgrund des Ergebnisses der Stichprobe

Da 10 im Annahmebereich liegt, kann keine Aussage getroffen werden.

Klausurtraining - Signifikanztest