Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Wie sieht der Funktionsterm einer linearen Funktion aus?)
Zeile 55: Zeile 55:
  
 
==Wie sieht der Funktionsterm einer linearen Funktion aus?==
 
==Wie sieht der Funktionsterm einer linearen Funktion aus?==
so
+
Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
 +
 
 +
Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?
 +
Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!
 +
<br>
 +
<iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/1995255/width/929/height/887/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/false/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="929px" height="887px" style="border:0px;"> </iframe>
 +
 
 +
'''<u>Ergebnis:</u>'''<br>
 +
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben werden.<br> Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist und deren Funktionsgleichung dir Form <math>f(x)=m\cdot x+t</math> heißen lineare Funktionen.
 +
 
 +
 
 +
{{Merksatz|MERK= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt lineare Funktion. <br>
 +
Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.<br><br>
 +
[[Datei:Merksatz lin Funktion.png|600px|Geradengleichung]]<br>
 +
 
 +
*Man nennt t den '''y-Achsenabschnitt''' der Geraden.
 +
*m bezeichnet die '''Steigung der Geraden.'''<br><br>
 +
*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>) so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br>
 +
<br>
 +
'''<big>Beispiel</big>'''<br>
 +
Bei obiger Gerade gilt:
 +
*y-Achsenabschnitt: <math>t=3</math>
 +
*Steigung: <math>m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5</math>
 +
<br>
 +
Damit lautet die Funktionsgleichung: '''<math>f(x)=0,5x+3</math>'''
 +
}}

Version vom 6. November 2015, 13:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden

Steigung einer Gerade In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann.


Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.



In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden im Koordinatensystem beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.

Für's Gefühl

Starte die App und überlege genau, bevor du die Fragen beantwortest.


Was ist neu?

Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen proportionaler Zusammenhänge der Form f(x)=m\cdot x betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden nicht mehr beschrieben werden können.
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert nicht gleich 0 ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m3, sondern zum Beispiel 400m3 war.
Trotzdem stellt der Graph noch eine Gerade dar, da die Wassermenge immer noch gleichmäßig zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur Ursprungsgeraden nach oben oder unten verschoben.

Um aber auch diese Situationen beschreiben zu können, lernen wir nun eine allgemeinere Art von Funktionen kennen,
nämlich die linearen Funktionen.


Vorlage:Merksatz


Hand.gif   Übung

Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!


Stift.gif   Aufgabe

Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. Begründe deine Entscheidung.
  "Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
  "Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."

Wie sieht der Funktionsterm einer linearen Funktion aus?

Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: f(x) =m\cdot x.

Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann? Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!

Ergebnis:
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung f(x)=m\cdot x+t beschrieben werden.
Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist und deren Funktionsgleichung dir Form f(x)=m\cdot x+t heißen lineare Funktionen.


Vorlage:Merksatz