Station 3: Unterschied zwischen den Versionen

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==Ursprungsgeraden reichen nicht!==
 
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Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.
 
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Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
 
Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen '''proportionaler''' Zusammenhänge der Form <math>f(x)=m\cdot x</math> betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den '''Ursprung''' verlaufen.
 
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Wie du eben gesehen hast, gibt jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.<br>
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Wie du eben gesehen hast, gibt es jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden '''nicht mehr beschrieben''' werden können.<br>
 
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war. <br>
 
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert '''nicht gleich 0''' ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m<sup>3</sup>, sondern zum Beispiel 400m<sup>3</sup> war. <br>
 
Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.<br><br>
 
Trotzdem stellt der Graph noch eine '''Gerade''' dar, da die Wassermenge immer noch '''gleichmäßig''' zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur '''Ursprungsgeraden''' nach oben oder unten verschoben.<br><br>
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==Lineare Funktion - Funktionsterm==
 
==Lineare Funktion - Funktionsterm==
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Wir wissen bereits, wie der Funktionsterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
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Wir wissen bereits, wie der Funktionssterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: <math>f(x) =m\cdot x.</math><br><br>
 
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{{Merksatz|MERK= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span> <br>
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{{Merke|1= Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung  <math>\color{blue}f(x)=m\cdot x+t</math> beschrieben wird, heißt <span style="color:blue">'''lineare Funktion'''.</span> <br>
 
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br>
 
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine '''Gerade'''.<br><br>
 
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*Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden.
 
*Man nennt <span style="color:red">'''t'''</span> den <span style="color:red">'''y-Achsenabschnitt'''</span> der Geraden.
 
*<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br>
 
*<span style="color:darkgreen">'''m'''</span> bezeichnet die <span style="color:darkgreen">'''Steigung der Geraden.'''</span><br><br>
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*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-y_Q}</math>.<br>
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*Verläuft der Graph durch die Punkte P(x<sub>P</sub>{{!}}y<sub>P</sub>) und Q(x<sub>Q</sub>{{!}}y<sub>Q</sub>), so gilt für die Geradensteigung: <math>m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}</math>.<br>
 
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Bei obiger Gerade gilt:
 
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&nbsp; Übung 11:  Finde die Funktionsgleichung!  
 
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Aktuelle Version vom 5. Juni 2018, 10:06 Uhr

Lernpfad: Lineare Funktionen - 1. Station - 1. Übung - 2. Station - 2. Übung - 3. Station - 3. Übung - Abschluss - Hilfe-Station - Pinnwand


Station 3: Beschreibung allgemeiner Geraden

Gerade In Station 2 hast du gelernt, wie man die Steigung von Geraden im Koordinatensystem bestimmen kann.


Allerdings haben wir bislang immer nur solche Geraden betrachtet, die Graph einer proportionalen Funktion waren, also Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.



In dieser Station lernst du, wie man beliebige Geraden durch eine Funktionsgleichung beschreiben kann, also auch solche, die keine Ursprungsgeraden sind.



Sind solche Geraden überhaupt relevant?

Starte die App und überlege genau, bevor du die Fragen beantwortest.


Ursprungsgeraden reichen nicht!

Ziehe die Begriffe unten in die richtige Lücke.

Bis jetzt haben wir immer nur Funktionen proportionaler Zusammenhänge der Form f(x)=m\cdot x betrachtet. Die Graphen zu diesen Funktionen waren immer Geraden, die durch den Ursprung verlaufen.
Wie du eben gesehen hast, gibt es jedoch Situationen, die mit solchen Funktionen und Geraden nicht mehr beschrieben werden können.
Dies ist vor allem dann der Fall, wenn beim x-Wert 0 der zugehörige y-Wert nicht gleich 0 ist. In unserem Fall bedeutete das, dass zum Zeitpunkt t=0 die zugehörige Wassermenge nicht 0m3, sondern zum Beispiel 400m3 war.
Trotzdem stellt der Graph noch eine Gerade dar, da die Wassermenge immer noch gleichmäßig zu- oder abnimmt.Diese ist jedoch im Vergleich zur Ursprungsgeraden nach oben oder unten verschoben.

Wie aber sieht eine Funktionsgleichung aus, die eine "allgemeine" Gerade richtig beschreiben kann?


Lineare Funktion - Funktionsterm

Wir wissen bereits, wie der Funktionssterm von Funktionen aussieht, deren Graphe eine Ursprungsgerade ist: f(x) =m\cdot x.

Jetzt stellt sich aber die Frage, wie denn dann ein Funktionsterm aussehen muss, der jeder beliebige Gerade beschreiben kann?

Um dies herauszufinden, folge bitte den Anleitungen in der nächsten App. Viel Erfolg!




Untersuchen


Ergebnis:
Jede beliebige Gerade im Koordinatensystem kann durch die Funktionsgleichung f(x)=m\cdot x+t beschrieben werden.

Feuerwerks-gif
Alle diese Funktionen, deren Graph eine Gerade ist
und deren Funktionsgleichung die Form \color{blue} f(x)=m\cdot x+t
heißen lineare Funktionen.



Maehnrot.jpg
Merke:

Jede Funktion, die durch die Funktiongleichung \color{blue}f(x)=m\cdot x+t beschrieben wird, heißt lineare Funktion.
Der Graph einer linearen Funktion ist immer (irgend) eine Gerade.

Geradengleichung

  • Man nennt t den y-Achsenabschnitt der Geraden.
  • m bezeichnet die Steigung der Geraden.

  • Verläuft der Graph durch die Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ), so gilt für die Geradensteigung: m=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}.


Beispiel
Bei obiger Gerade gilt:

  • y-Achsenabschnitt: \color{red}t=3


  • Steigung: \color{OliveGreen}m=\frac{6-4,5}{6-3}=\frac{1,5}{3}=0,5


Damit lautet die Funktionsgleichung: \color{blue}f(x)=0,5x+3

Übungen zum Verständnis

Hand.gif

  Übung 10: Ordne zu!

Starte die App und entscheide, welche der dargestellten Graphen zu einer linearen Funktion gehören!

(leicht)



Stift.gif   Aufgabe 6

Schreibe in den Schulheft hinter jede Aussage, ob sie richtig oder falsch ist. Begründe deine Entscheidung.
  "Jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion."
  "Jeder proportionale Funktion ist eine lineare Funktion."




Hand.gif

  Übung 11: Finde die Funktionsgleichung!

Starte die App und entscheide, welcher Funktionsterm den dargestellten Graphen richtig beschreibt.

(nicht ganz ohne)



--- aktuelle Meldung: Entwarnung im Bergwerk ---

Das Bergwerk hat ein Gesamtvolumen von 1800m3 und steht bereits völlig unter Wasser, als es endlich gelingt, neue Pumpen in Betrieb zu nehmen. Die neuen Pumpen haben eine max. Pumpleistung von 150m³ Wasser pro Stunde.
Wie lange wird es dauern, bis das Bergwerk wieder frei von Grundwasser ist?

 Neuigkeiten

Entscheide für dich selbst, in welchem Schwierigkeitsniveau du die Aufgabe bearbeiten möchtest!


1. Version der Aufgabe - mittlerere Schwierigkeitsgrad          

Balance mit Stab

2. Version der Aufgabe - hoher Schwierigkeitsgrad

Balance

Stift.gif   Aufgabe 7

a) Welcher der Graphen stellt die beschriebene Situation richtig dar? Begründe deine Entscheidung!    

b) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk vollständig leergepumpt? Begründe deine Antwort.

c) Gib die Funktionsgleichung zu der roten Geraden an.

d) Wie groß ist der Funktionswert (y-Wert) zur Zeit t=12h?

Pumpe_Bergwerk
Stift.gif   Aufgabe 7

a) Stelle eine Funktionsgleichung auf, die die Situation korrekt beschreibt.

b) Zeichne den Funktionsgraphen zu deiner Funktionsgleichung!

c) Nach wie vielen Stunden ist das Bergwerk leergepumpt? Findest zu zwei verschiedene Lösungswege?



Nimm dir bitte kurz Zeit, und gib eine Rückmeldung zu dieser Station.

Information



Alle Aufgaben erledigt? Dann kann's weitergehen!

Binoculars-1015267 1920.jpg Hier geht es weiter zur letzten Übung......
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