Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen/Ziegen: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Kasten Mathematik|[[File:Monty open door.svg|links]]In einer Quizshow kann sich der Kandidatzwischen drei Türen entscheiden. Hinter einem wartet ein Auto als Hauptgewinn. Hinter den beiden anderen steht als Niete jeweils eine Ziege. | |||
Hat sich der Kandidat für eine Tür entschieden, bietet ihm der Moderator einen Deal an: | |||
Zuerst öffnet er eine nicht gewählte Tür, hinter der sicher eine Ziege steht. | |||
Dann fragt er den Kandidaten, ob er die Tür wechseln will. | |||
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{{Aufgabe|Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm! | |||
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Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden? | |||
Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung! | |||
{{Rechtsklick Fenster}} [http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html Ziegen-Problem anschaulich erklärt] | |||
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Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen? | |||
Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. '''„Reset Doors“''' schließt die Türen wieder. | |||
Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal. | |||
{{Rechtsklick Fenster}}[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 Ziegen-Problem, nur mit Schweinchen] | |||
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'''Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegen-Problems“!''' | |||
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt. | |||
{{Aufgaben-M|5.1|Bevor die Show beginnt wird das Auto hinter eine zufällige Tür gestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter jeder Tür? Zeichne ein Baumdiagramm!}} | |||
{{Lösung versteckt|Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}</math>: | |||
BaumdiagrammAuto}} | |||
{{Aufgaben-M|5.2|Mit welcher Wahrscheinlichkeit wählt der Kandidat sofort die Tür mit dem Hauptgewinn? Erweitere dein Baumdiagramm aus Aufgabe 5.1.}} | |||
{{Lösung versteckt|Der Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}</math>: | |||
BaumdiagrammKandidat}} | |||
{{Aufgaben-M|5.3|Der Moderator öffnet nun eine der nicht gewählten Türen, aber natürlich nicht die mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steht das Auto hinter der '''anderen''' Tür? Erweitere auch hier dein Baumdiagramm.}} | |||
Lösungshilfe: {{versteckt|Hier gibt es verschieden Fälle, je nachdem wo der Hauptgewinn steht und welche Tür der Kandidat wählt. Hat der Kandidat bereits die Tür mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig eine der beiden anderen Türen. Steht hinter der gewählten Tür eine Ziege, kann der Moderator nur eine Tür öffnen.}} | |||
{{Lösung versteckt|Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab: | |||
BaumdiagrammModerator}} | |||
{{Aufgaben-M|5.4|Interpretiere das gesamte Baumdiagramm nun richtig. Betrachte die Pfade, bei denen der Kandidat sein Tor behält und jene, bei denen er wechselt. Kannst du jetzt die Frage beantworten, ob sich ein Wechsel lohnt oder nicht?}} | |||
{{Lösung versteckt|Betrachten wir zuerst die Streategie, nicht zu wechseln. Man erhält nun die Gewinnwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade „ohne Wechsel“ '''addiert''': | |||
BaumdiagrammkeinWechsel | |||
<math></math> | |||
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade „mit Wechsel“, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn man prinzipiell die Tür wechselt: | |||
BaumdiagrammWechsel | |||
<math></math> | |||
<u>Fazit:</u> Wenn man die Türe wechselt '''verdoppelt''' sich die Gewinnwahrscheinlichkeit von <math>\frac{1}{3}</math>: auf <math>\frac{2}{3}</math>: !!!}} | |||
[http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 3-Türen-Problem] mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.). | [http://www.shodor.org/interactivate/activities/AdvancedMontyHall/?version=1.6.0_13&browser=MSIE&vendor=Sun_Microsystems_Inc.&flash=10.0.22 3-Türen-Problem] mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.). | ||
Version vom 6. September 2009, 11:18 Uhr
Das „Ziegenproblem“
Ist es vorteilhaft für den Kandidaten zu wechseln? Löse die Aufgabe mit einem Baumdiagramm!
Oder hast du das „Ziegenproblem“ noch nicht so richtig verstanden?
Dann öffne folgende Seite mit einer anschaulichen Beschreibung in einem neuen Fenster. Betrachte aber noch nicht die Lösung!
Vorlage:Rechtsklick Fenster Ziegen-Problem anschaulich erklärt
Hast du dir schon überlegt, ob sich die Wahrscheinlichkeit beim Wechseln ändert und möchtest deine Hypothese überprüfen? Oder möchtest du einfach die Quiz-Show nachspielen?
Dann öffne das Java-Applet und spiele das „Ziegenproblem“ nach! Die Türen öffnen sich durch anklicken. „Reset Doors“ schließt die Türen wieder.
Versuche dich an zwei Strategien: Behalte deine ausgewählte Tür oder wechsle die Tür jedes mal.
Vorlage:Rechtsklick FensterZiegen-Problem, nur mit Schweinchen
Versuche dich nun selbst an der Lösung des „Ziegen-Problems“!
Brauchst du ein wenig Unterstützung, so bearbeite die folgenden Aufgaben Schritt für Schritt.
Das Auto steht hinter jeder Tür mit einer Wahrscheinlichkeit von :
BaumdiagrammAutoDer Kandidat wählt sofort die Tür mit dem Hauptgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von :
BaumdiagrammKandidatLösungshilfe: Vorlage:Versteckt
Lese die Wahrscheinlichkeiten im Baudiagramm ab:
BaumdiagrammModeratorBetrachten wir zuerst die Streategie, nicht zu wechseln. Man erhält nun die Gewinnwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade „ohne Wechsel“ addiert:
BaumdiagrammkeinWechsel
Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade „mit Wechsel“, um die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhalten, wenn man prinzipiell die Tür wechselt:
BaumdiagrammWechsel
Fehler beim Parsen (⧼math_empty_tex⧽): {\displaystyle }
3-Türen-Problem mit Schweinchen und bis zu 10 Türen (außerdem Simple Monty Hall, Urnen-Experiment 4-farbig, Augensumme eines/zweier Würfel mit Spiel, Glücksrad etc.).
