Signifikanztest für binomialverteilte Zufallsgrößen

Hier wiederholst du nochmal die wichtigsten Grundlagen der Binomialverteilung.

In der ersten Übung wiederholst du die grundlegenden Begriffe der Binomialverteilung.

Übung 1: wichtige Begriffe der Binomialverteilung

Fülle den Lückentext aus!

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen (Treffer und Niete) nennt man Bernoulli-Experiment. Wird solch ein Experiment n-mal wiederholt und sind die Versuche unabhängig voneinander, erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist p die Trefferwahrscheinlichkeit und X die Zufallsvariable, welche die Anzahl k der Treffer angibt, dann kann die Wahrscheinlichkeit für k Treffer durch die Formel von Bernoulli ($P(X=k)=B_{n,p}(k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$) berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. Der Erwartungswert der Binomialverteilung wird durch $E(X)=n\cdot p$ berechnet. Stellt man die Binomialverteilung in einer Grafik dar (p-k Diagramm), erhält man näherungsweise eine Glockenkurve. Der Hochpunkt der Funktion liegt beim Erwartungswert. Neben der Binomialverteilung benötigt man auch häufig die zugehörige Verteilungsfunktion, für deren Wahrscheinlichkeit die Schreibweise $P(X\leq k)$ üblich ist. Bei der Verteilungsfunktion werden die Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmen k-Wert aufsummiert: $P(X\leq k)=\sum_{i=0}^k B_{n,p}(i)$.

Vor allem die grafische Anschauung der Binomialverteilung und der Umgang mit der Verteilungsfunktion sind wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests. Prüfe und wiederhole dein Können dazu in Übung 2.

Übung 2: Grafische Anschauung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Die Schüler*innen der Umweltgruppe befragen 1000 Menschen in Deutschland, ob sie den Klimawandel als Bedrohung ansehen. Für die folgenden Aufgaben wird angenommen, dass immer noch 71% der Menschen in Deutschland sich durch den Klimawandel bedroht fühlen.

a) Skizziere die Binomialverteilung für die Befragung.

Fertige ein p-k Diagramm an. Die Binomialverteilung ist näherungsweise eine Glockenkurve. Überlege dir, wo der Hochpunkt der Funktion liegt.

Den Hochpunkt hat die Funktion beim Erwartungswert ($E(X)=n\cdot p$)
In dieser Aufgabe errechnet sich der Erwartungswert also wie folgt: $E(X)=1000\cdot 0.71=710$.
Hinweis! Die Breite der Glockenkurve ergibt sich aus der Standardabweichung. Für die Skizze reicht es aus, wenn du die Breite der Kurve nach Gefühl einträgst.

Bereche die Wahrscheinlichkeit dafür,...

b) dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen.

In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.

Nutze die Formel von Bernoulli!
Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechner! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechnern ist es die Funktion binompdf(n,p,k))

$B_{1000,0.71}(710)=\binom{1000}{710}\cdot 0.71^{710}\cdot (1-0.71)^{290}=0.0278$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau 710 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,78 %.

c) dass höchstens 680 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Höchtens heißt, es können 0,1,2,3, ...,680 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.

Nutze die Verteilungsfunktion (siehe Übung 1).
Zur Berechnung nutze deinen Taschenrechner! (Hinweis: Bei den meisten Taschenrechnern ist es die Funktion binomcdf(n,p,k))

$P(X\leq680)=\sum_{i=0}^{680} B_{1000,0,71} (i) = 0,0206$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe höchstens 680 der Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 2,06. %

d) dass mindestens 740 Menschen aus der Stichprobe den Klimawandel als Bedrohung sehen.

Mindestens heißt, es können 740, 741, ...,1000 der Befragten den Klimawandel als Bedrohung ansehen.
In der Skizze ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit rot markiert.

Mindestwahrscheinlichkeiten werden über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
$P(X\geq k)= 1-P(X\leq k-1)$
Die Wahrscheinlichkeit für höchstens kannst du wieder mit dem Taschenrechner berechnen. Hinweis! Merke dir diesen Trick! Du brauchst ihn später noch beim Signifikanztest.

$P(X\geq740)=1-P(X\leq739)=0,0191$

Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe mindestens 740 Menschen den Klimawandel als Bedrohung ansehen, beträgt 1,91 %.

Super gemacht! Dann geht es jetzt weiter mit dem Signifikanztest!

Grundidee vom Signifikanztest