Kürzen von Brüchen und Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung/Zufallsexperiment: Unterschied zwischen den Seiten

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= Zum Überlegen =
__NOTOC__
{| class="hintergrundfarbe8"
{{Lernpfad-M|<big>'''Brüche kürzen'''</big>
|-
| [[Datei:Idee-Icon.png|40px]] || Überlege dir zunächst weitere Sitautionen (neben der Shuffle-Funktion), in dem der Zufall eine Rolle spielt. Inwieweit sind diese Situationen zufällig?
Notiere diese Situationen und tausche dich anschließend mit deinem Übungspartner/ deiner Übungspartnerin aus.
|}


''Teil 2 der Lernpfadgruppe: Brüche erweitern, kürzen und vergleichen.''
= Was ist ein Zufallsexperiment? =
Viele Berechnungen, in dem der Zufall eine Rolle spielt, liegen Zufallsexperimente zugrunde.


*'''Zeitbedarf:'''
Hier erfährst du was Zufallsexperimente sind:
*'''Material:''' Laufzettel
{| class="hintergrundfarbe3"
}}
|-
| [[Datei:Definition-Icon.png|50px]] || Ein '''Zufallsexperiment''' ist ein Versuch (Vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann, welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird.
Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden.
|}


{{Kurzinfo-1|M-digital}}
Kommen wir zu deinen notierten Situationen, in dem der Zufall eine Rolle spielt:


==Einführung Kürzen ==
{| class="hintergrundfarbe9"
|-
| [[Datei:Gedanken-icon.png|60px]]|| Sind alle deine Situationen Zufallsexperimente?
Wenn ja, warum?
Wenn nein, warum nicht? Begründe deine Gedankengänge.
|}


[[Bild:Comic_Kürzen.gif ]]
= Beispiele für Zufallsexperimente =


Wollen wir mal der Definition ein bisschen Leben einhauchen und sehen uns ein paar konkrete Beispiele für Zufallsexperimente an:
* Die '''Shuffle-Funktion''' in einer Playliste ist ein '''Zufallsexperiment''', weil:
:* man vorher nicht sagen kann, welcher Song als nächstes gespielt wird.
:* es soviele Ausgänge gibt, wie es Songs in der Playliste gibt
:* es sich beliebeig oft mit dem Knopfdruck auf Shuffle wiederholen lässt unter den gleichen Bedingungen


[[Datei:Football-1658110 960 720.jpg|200px]]
* Ein '''Münzwurf''' ist ein '''Zufallsexperiment''', weil:
:* man vorher nicht bestimmen kann, ob Kopf oder Zahl oben liegt
:* es zwei Ausgänge gibt: Kopf und Zahl
:* ein Münzwurf sich beliebig oft wiederholen lässt unter gleichen Bedingungen


'''Das ist ja viel übersichtlicher, wenn man im Zähler und im Nenner nicht so große Zahlen stehen hat,<br> das findest du doch auch, oder?!'''<br>
= Aufgaben zu Zufallsexperimenten =
 
== Aufgabe 1: Was sind Zufallsexperimente?==
 
<quiz display="simple">
<colorize>Los geht's, wir machen alles übersichtlicher!</colorize>
{ Wobei handelt es sich um ein Zufallsexperiment? }
 
+ Lose ziehen
#In diesem [http://lernpfad.ln0.de/Zimmer%20aufr%e4umen/zimmeraufraeumen_2.html Zimmer] liegt alles herum. Hilf mit, dann geht es schneller.
+ Würfeln
#Nachdem du beim Zimmeraufräumen geholfen hast, kannst du dich mit deinen Freunden verabreden. <br>Sortiere doch schon mal die [http://lernpfad.ln0.de/Naschi/Naschi_verteilen_2.html Süßigkeiten], damit jeder das bekommt, was ihm schmeckt.
- Siedetemperatur von Wasser in einem Experiment bestimmen
 
|| Wasser fängt immer bei 100°C an zu sieden, daher ist das Ergebnis vorhersagbar und es handelt sich nicht um ein Zufallsexperiment
+ Spielkarten aus einem Kartendeck ziehen
- Bestimmen der Innenwinkelsumme eines zufälligen Dreiecks
|| Auch wenn man ein zufälliges Dreieck auswählt, beträgt die Innenwinkelsumme immer 180°. Daher ist das Ergebnis vorhersgbar und es handelt sich nicht um ein Zufallsexperiment
</quiz>


Du hast gesehen, dass du aus einem Bruch, wie &nbsp;&nbsp;<math>\frac{6}{18}</math>&nbsp;&nbsp; durch sortieren oder aufräumen den Bruch &nbsp;&nbsp;<math>\frac{1}{3}</math>&nbsp;&nbsp; zaubern kannst.
== Aufgabe 2: eigene Zufallsexperimente ==
Überlege dir, wo dir im Alltag Zufallsexperimente begegnet sind. Notiere dir drei dieser Zufallsexpermiente und begründe, warum es sich um Zufallsexperimente handelt und welche mögliche Ausgänge sie haben.


===Aber was steckt hier dahinter? ===
Tausche dich anschließend mit deinem Lernpartner aus und lass dir von deinem Lernpartner die Begründung nennen, warum es sich um Zufallsexperimente handelt.
<popup name="Lösung">
'''Achtung:''' Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen.


Dazu schau dir die folgende Aufgabe an.


Welcher Bruchteil ist zu Beginn blau gefärbt? Welcher Bruchteil ist gefärbt, wenn du das Kästchen drückst?
Auf einem Jahrmarkt oder bei Gewinnspielen findet man manchmal Glücksräder, die man auf ein bestimmtes Feld zum Halten bringen muss, um einen Preis zu gewinnen.


<ggb_applet height="400" width="690" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Hokuspokus.ggb" />
Es handelt sich um ein Zufallsexperiment da...


<br>
*es mehrere mögliche Ausgänge gibt (jedes Feld des Glücksrades ist ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments)
<br>
*man vorher nicht sicher sagen kann, wo das Glücksrad beim nächsten mal stehen bleibt
Damit die Zahlen im Zähler und im Nenner nicht so groß sind, kannst du einzelne Unterteilungen entfernen, aber nicht alle.<br> Willst du versuchen, ob du unnötige Unterteilungen entfernen kannst?<br><br> [http://lernpfad.ln0.de/Hokuspokus/hokuspokus.html Hier hast du die Möglichkeit, es herauszufinden.]
*man es beliebeig oft wiederholen kann
<br>


===Begriff Kürzen ===
</popup>
<div style="border: 2px solid #ffd700; background-color:#ffffff; padding:7px;">
;[[Bild:Feststellung.gif|left]]
<br>
<br>
Was du gerade gemacht und beobachtet hast, nennt sich '''Kürzen'''.


Beim Kürzen eines Bruches vergröberst du die gezeigten Bruchteile, indem du die unnötigen Unterteilungen entfernst.
== Aufgabe 3: Lückentext ==
<br>
<div class="lueckentext-quiz">
<br>
Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen '''Ausgang''' man nicht '''vorhersagen''' kann. Bei einem '''Zufallsexperiment''' sollen '''mehrere''' mögliche Ausgänge möglich sein und es soll '''beliebig oft''' unter den '''gleichen''' Bedingungen wiederholbar sein.


Eine Münze oder einen '''Würfel''' zu werfen zählen zu Zufallsexperimenten. '''Test''' ist kein Zufallsexperiment.
</div>
</div>


<br>
== Aufgabe 4: Zufallsexperiment oder kein Zufallsexperiment? ==
Kommt dir das bekannt vor? {{Lösung versteckt|Kürzen ist das Gegenteil von Erweitern, allerdings mit einigen Besonderheiten.<br>[[Bild:Bild_erweitern_kürzen.png]]}}
<br>
<br>
<colorize>Die Rechnung, die dahinter steckt</colorize>
<br>
<br>
Hier hast du ein Rechteck. Von dem Rechteck sind &nbsp; <math>\frac{12}{24}</math> &nbsp; blau gefärbt.
 
Der Bruchteil lässt sich kürzen, dazu musst du den Schieberegler verschieben.
 
Bearbeite nun folgende Aufgaben und schreibe alles auf deinen Laufzettel, du wirst die Antworten noch brauchen.
{|
|[[Bild:Comic_Frage_klein.gif]]
|
# Welche Zahlen sind zum Kürzen eingestellt?
# Kürze nun mit '''2'''. Wie verändert sich der Zähler?
# Kürze als nächstes mit '''6'''. Wie verändert sich der Nenner?
# Kürze zum Schluss mit '''4'''. Wie verändern sich Zähler und Nenner?
# Überlege dir, warum es die '''5''' nicht auf dem Schieberegler gibt.
|}
<br>
<ggb_applet height="440" width="755" showMenuBar="false" showResetIcon="true" framePossible="false" enableRightClick="false" filename="Rechnung_kuerzen.ggb" />
 
<br>
Das waren ganz schön viele Fragen! Teste dich selbst, was und wieviel du richtig beantwortet hast.<br>
[http://lernpfad.ln0.de/Quiz/Rechnungstest_k/quiz_rechnungstest_k.html Hier geht's lang.]<br>
 
==Kürzen ==
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
&nbsp; '''Ein Bruch wird gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner durch die selbe Zahl dividiert.'''<br>&nbsp; Diese Zahl ist ein '''gemeinsamer Teiler''' von Zähler und Nenner.
<br> &nbsp;
<br>
&nbsp; Beispiel: <math>\frac{12}{18}=\frac{12 : 6}{18 : 6}=\frac{2}{3}</math>
</div>
<br>
<br>
<colorize> Wie oft und mit welchen Zahlen kannst du einen Bruch kürzen?</colorize>
<br>
 
Dass die Zahl, mit der du kürzen kannst, ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein muss,<br>
hast du schon festgestellt.
 
 
'''Wie viele gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner findest du...'''
 
<quiz display="simple">
{&nbsp; ...für den Bruch &nbsp;<math>\frac{4}{8}</math>&nbsp;?}
- zwei, nämlich 2 und 4
- einen, nämlich 4
+ drei und zwar 1, 2 und 4
 
{&nbsp; ...für den Bruch &nbsp;<math>\frac{1}{8}</math>&nbsp;?}
- zwei, nämlich 2 und 4
+ einen, nämlich 1
- keinen
</quiz>
 
 
'''Die 1 ist immer ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner.'''
<quiz display="simple">
<quiz display="simple">
{ Was machst du, wenn du keinen weiteren gemeinsamen Teiler findest? }
{ Handelt es ich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente oder um keine Zufallsexperimente?
+ Ich kann zwar mit 1 kürzen, aber der Bruch ändert sich dadurch nicht.
| typ="()"  }
- Das passiert nicht. Man findet immer noch weitere gemeinsame Teiler!
| Zufallsexperiment | kein Zufallsexperiment
 
+- Lotto spielen
+- Wettervorhersage
+- Ergebnis eines Fußballspiels
-+ Hütchenspielen
</quiz>
</quiz>
Das ist wichtig, bitte schreibe dir den folgenden Merksatz in dein Heft.
{{versteckt|1=
<div style="border: 2px solid red; background-color:#ffffff; padding:7px;">
[[Bild:Comic_Merke.gif| left]]
<br>&nbsp;Kannst du außer 1 keinen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner finden,<br>&nbsp; dann heißt der Bruch '''vollständig gekürzt'''<br>&nbsp; Du kannst dann den Bruch nicht weiter vereinfachen oder übersichtlicher machen.<br>
<br> &nbsp;
</div>
}}
===Die Zeit läuft ab jetzt... ===
[[Bild:Uhr-7.gif|left]]
In einer Stegreifaufgabe oder in einer Schulaufgabe ist die Zeit knapp!
Wenn du kürzen sollst, dann musst du dem Zähler und dem Nenner einen gemeinsamen Teiler ansehen.
Da bleibt keine Zeit z.B. den ggT auszurechnen.
Aber erinnerst du dich noch an die [[Benutzer:Katja Heimlich/Teilbarkeitsregeln| Teilbarkeitsregeln]]?
Sie können dir helfen einen gemeinsamen Teiler schneller zu sehen.
<br><br>
==Übungen zum Kürzen ==
===1. Kürze! ===
[http://lernpfad.ln0.de/%dcbungen%20zum%20K%fcrzen/kuerzeMit/kuerzeMit.html Kürze die Brüche].
===2. Mit welcher Zahl wurde gekürzt? ===
[http://lernpfad.ln0.de/%dcbungen%20zum%20K%fcrzen/kuerzZahl/findediezahl-kuerzen.html Findest du die Zahl, mit der gekürzt wurde?]
===3. Richtig oder falsch gekürzt? ===
[http://lernpfad.ln0.de/Quiz/rof_k/quiz_rof_k.html Findest du den Fehler?]
===4. Kürze soweit wie möglich ===
[http://www.lernpfad.ln0.de/%dcbungen%20zum%20K%fcrzen/vollst%e4ndig%20k%fcrzen/kuerzevollst.html Schaffst du es?] Trau' dich!
===5. Quiz: Findest du die passende Zahl? ===
[http://lernpfad.ln0.de/Quiz/mit%20welcher%20zahl%20gek%fcrzt/quiz_bildgekuerzt.html Quiz]
<div align="right">[[Benutzer:Katja Heimlich/Lernpfad Größenvergleich von Brüchen|weiter zum Lernpfad Brüche vergleichen]]</div>

Version vom 9. November 2017, 20:50 Uhr

Zum Überlegen

Datei:Idee-Icon.png Überlege dir zunächst weitere Sitautionen (neben der Shuffle-Funktion), in dem der Zufall eine Rolle spielt. Inwieweit sind diese Situationen zufällig?

Notiere diese Situationen und tausche dich anschließend mit deinem Übungspartner/ deiner Übungspartnerin aus.

Was ist ein Zufallsexperiment?

Viele Berechnungen, in dem der Zufall eine Rolle spielt, liegen Zufallsexperimente zugrunde.

Hier erfährst du was Zufallsexperimente sind:

Datei:Definition-Icon.png Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch (Vorgang) mit mehreren Ausgängen, bei den man nicht vorhersagen kann, welcher Ausgang beim nächsten Versuch auftreten wird.

Ein Zufallsexperiment kann unter gleichen Bedingungen mehrmals durchgeführt werden.

Kommen wir zu deinen notierten Situationen, in dem der Zufall eine Rolle spielt:

Datei:Gedanken-icon.png Sind alle deine Situationen Zufallsexperimente?

Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? Begründe deine Gedankengänge.

Beispiele für Zufallsexperimente

Wollen wir mal der Definition ein bisschen Leben einhauchen und sehen uns ein paar konkrete Beispiele für Zufallsexperimente an:

  • Die Shuffle-Funktion in einer Playliste ist ein Zufallsexperiment, weil:
  • man vorher nicht sagen kann, welcher Song als nächstes gespielt wird.
  • es soviele Ausgänge gibt, wie es Songs in der Playliste gibt
  • es sich beliebeig oft mit dem Knopfdruck auf Shuffle wiederholen lässt unter den gleichen Bedingungen

Football-1658110 960 720.jpg

  • Ein Münzwurf ist ein Zufallsexperiment, weil:
  • man vorher nicht bestimmen kann, ob Kopf oder Zahl oben liegt
  • es zwei Ausgänge gibt: Kopf und Zahl
  • ein Münzwurf sich beliebig oft wiederholen lässt unter gleichen Bedingungen

Aufgaben zu Zufallsexperimenten

Aufgabe 1: Was sind Zufallsexperimente?

Wobei handelt es sich um ein Zufallsexperiment?

Lose ziehen
Würfeln
Siedetemperatur von Wasser in einem Experiment bestimmen
Spielkarten aus einem Kartendeck ziehen
Bestimmen der Innenwinkelsumme eines zufälligen Dreiecks


Aufgabe 2: eigene Zufallsexperimente

Überlege dir, wo dir im Alltag Zufallsexperimente begegnet sind. Notiere dir drei dieser Zufallsexpermiente und begründe, warum es sich um Zufallsexperimente handelt und welche mögliche Ausgänge sie haben.

Tausche dich anschließend mit deinem Lernpartner aus und lass dir von deinem Lernpartner die Begründung nennen, warum es sich um Zufallsexperimente handelt. <popup name="Lösung"> Achtung: Hierbei handelt es sich um eine beispielhafte Lösung! Eure eigene Beispiele können und sollen ganz anders aussehen.


Auf einem Jahrmarkt oder bei Gewinnspielen findet man manchmal Glücksräder, die man auf ein bestimmtes Feld zum Halten bringen muss, um einen Preis zu gewinnen.

Es handelt sich um ein Zufallsexperiment da...

  • es mehrere mögliche Ausgänge gibt (jedes Feld des Glücksrades ist ein mögliches Ergebnis des Zufallsexperiments)
  • man vorher nicht sicher sagen kann, wo das Glücksrad beim nächsten mal stehen bleibt
  • man es beliebeig oft wiederholen kann

</popup>

Aufgabe 3: Lückentext

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang man nicht vorhersagen kann. Bei einem Zufallsexperiment sollen mehrere mögliche Ausgänge möglich sein und es soll beliebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholbar sein.

Eine Münze oder einen Würfel zu werfen zählen zu Zufallsexperimenten. Test ist kein Zufallsexperiment.

Aufgabe 4: Zufallsexperiment oder kein Zufallsexperiment?

Handelt es ich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente oder um keine Zufallsexperimente?

Zufallsexperiment kein Zufallsexperiment
Lotto spielen
Wettervorhersage
Ergebnis eines Fußballspiels
Hütchenspielen

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