Einführung in die Integralrechnung und Mathematik-digital: Unterschied zwischen den Seiten

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<div class="rahmen">
|{{Lernpfad-M|{{Kurzinfo-1|M-digital}}
[[Datei:Mathematik-digital Logo4.png|100px|left|link=]] [[Datei:OER-Award 2017 - Nominiert.png|rechts|mini|120px|link=https://open-educational-resources.de/veranstaltungen/17/award/ OER-Award 2017|<small> Nominiert für den OER-Award 2017 in der Kategorie "'''Qualität für OER'''" </small> .]]
[[Bild:Integral Titel.png|200px|left]]In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe [http://www.austromath.at/medienvielfalt/ Medienvielfalt im Mathematikunterricht] entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.
<span style="font-size:28pt;">Lernpfade</span>


<br>'''Voraussetzungen: '''  
<span style="font-size:14pt;">'''Interaktive Unterrichtseinheiten'''</span>
<br>'''Zeitbedarf: ''' etwa 3 Schulstunden
 
<br>'''Materialien:'''{{pdf|Infini_AB1.pdf|Das bestimmte Integral}}; {{pdf|Infini AB02.pdf|Aufgaben mit Lösung}}; {{pdf|Infini_AB7.pdf|Integralfunktion}}
Die Lernpfade sind im Wiki erstellt und daher leicht veränderbar. Sie können jederzeit der individuellen Unterrichtssituation angepasst werden.
 
Die Lernpfade eignen sich hervorragend zum eigenverantwortlichen Lernen. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen.
{{Fortsetzung|weiter=Weitere Informationen zur Konzeption der Wiki-Lernpfade|weiterlink=Mathematik-digital/Informationen}}</div>
'''Klasse 5 '''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Römische Zahlen|Römische Zahlen ]]  <small>{{pdf|Infoblatt Lernpfad Roemische Zahlen.pdf|Infoblatt Lernpfad Römische Zahlen}}</small>
*[[Einführung in die Negativen Zahlen]]
*[[Figuren im Koordinatensystem]]
*[[Achsensymmetrie]]
*[[Rechteck - Flächeninhalt und Eigenschaften]]
*[[Umfang und Flächeninhalt vom Rechteck]]
*[[Flächeninhalt des Rechtecks]] <small>{{pdf|Infoblatt Lernpfad Rechteck.pdf|Infoblatt Lernpfad (Rechteck)}}</small>
*[[Flächeninhalt eines Rechtecks - Aufgaben]]
 
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Figuren im Koordinatensystem]]
[[Datei:Schatzkarte.jpg|180px]]
 
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50         
}}
}}
|}




'''Klasse 6 '''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Grundwissen - Brüche]]
*[[Bruchteile bestimmen]]
*[[Erweitern von Brüchen]]
*[[Kürzen von Brüchen]]
*[[Teilbarkeitsregeln]]
*[[Größenvergleich von Brüchen]]
*[[Achsenspiegelung/Grundlagen_der_Achsenspiegelung|Grundlagen der Achsenspiegelung]]
*[[Achsenspiegelung/Eigenschaften_der_Achsenspiegelung|Eigenschaften der Achsenspiegelung]] <small>[http://dmuw.zum.de/wiki/Lernpfade/Achsenspiegelung Achsenspiegelung]  im DMUW-Wiki</small>
*[[Achsenspiegelung/Achsensymmetrische_Vierecke_und_Dreiecke|Achsensymmetrische Vierecke und Dreiecke]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Erweitern von Brüchen]]
[[Datei:Comic Frage.gif|180px]]
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}


==Das Flächenproblem==


{|
'''Klasse 7 '''
|[[Bild:Integral Grundstück.png|200px|left]]
{{Box-spezial
|Ziel der folgenden Überlegungen ist es, ein Verfahren zu entwickeln, mit dem Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Flächen berechnet werden können.
|Titel= 
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?
|Inhalt=
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
<div class="grid">
|}
<div class="width-2-3">
*[[Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Lot]]
*[http://rmg.zum.de/wiki/Lernpfad_Terme Lernpfad Terme]<small> im RMG-Wiki</small>
*[[Textaufgaben|Textaufgaben - Textgleichungen mit einer Variablen]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Textaufgaben|Textaufgaben]]  
[[Datei:KatharinaP Agent Tafel.jpg|180px]]
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}




'''Klasse 8 '''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*'''Vera 8''': [[Vera 8 interaktiv/Mathematik/Test A|Test A]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_B|Test B]] - [[Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_C|Test C]]
*'''BMT 8''': [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2011|2011]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2008|2008]] - [[Jahrgangsstufentest/BMT8_2007|2007]]
*[[Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
*[[Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen]]
*[[Lineare Funktionen]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Laplace-Wahrscheinlichkeit wiederholen und vertiefen|Laplace-Wahrscheinlichkeit]]




==Unter- und Obersumme==
[[bild:Int_abb1.png|220px|right]]
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
# Lösung:
<popup name="Lösung">
Wir zerlegen das [0;4] in 8 Teilintervalle. Jedes Teilintervall ist 0,5 breit. <br>Zu den x-Werten 0; 0,5; 1; 1,5;.....4 gehören die folgenden y-Werte:
  x  |  0    0,5    1    1,5    2  2,5    3      3,5    4
-----------------------------------------------------------
f(x)|  0  0,0625  0,25  0,5625  1  1,5625  2,25  3,0625  4


Für den '''Flächeninhalt der Obersumme''' gilt:<br>
[[File:Efron_dice.png|right|300px]]
S = f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + f (1) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (4) <math>\cdot</math> 0,5 = 0,5 <math>\cdot</math>f(0,5) + f(1) + ...f (4) = 6,375 <br>
<div id="ggbContainerbf08f431cc93a1815077e8251eee0ded"></div>
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}


Für den '''Flächeninhalt der Untersumme''' gilt:<br>
s = f (0) <math>\cdot</math> 0,5 + f (0,5) <math>\cdot</math> 0,5 + .....f (3,5) <math>\cdot</math> 0,5 = 4,375 <br>


'''Mittelwert: 5,375'''
'''Klasse 9 '''
</popup>
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Rechnen mit Quadratwurzeln]]
*[[Binomische Formeln]]
*[[Einführung in quadratische Funktionen]]
*[[Quadratische Funktionen erkunden]]
*[[Kongruenz von Dreiecken]]
*[[Inhalt_und_Drumherum|Inhalt und Drumherum]]
*[[Zylinder-Oberfläche]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''':
[[Inhalt_und_Drumherum|Inhalt und Drumherum]]


*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
[[Datei:Quadratische_Pyramide_mit_Beschriftung.jpg|150px]]
</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}




'''Klasse 10'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Trigonometrische Funktionen]]
*[[Sinus- und Kosinusfunktion]]
*[[Potenzfunktionen]]
*[[Grenzwerte spezieller Funktionen]]
*[[Ganzrationale Funktionen]]
*[[Eigenschaften ganzrationaler Funktionen]]
*[[Nullstellen bestimmen]]


</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''': [[Sinus- und Kosinusfunktion]]


==Das bestimmte Integral==
[[Datei:Sine cosine one period.svg|300px]]
*Informiere dich im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt "Das bestimmte Integral"}} über die Definition des Begriffs "bestimmtes Integral".
</div>
*Auf dem {{pdf|Infini AB02 ohne Lösung.pdf|Arbeitsblatt}} sind für einige einfache Funktionen die bestimmten Integrale über dem Intervall [a;b] angegeben. Finde anschauliche Erklärungen für die Herleitung und berechne die bestimmten Integrale für die angegeben Werte! {{pdf|Infini AB02L.pdf|Lösung}}
</div> <!-- End .grid -->
*Berechne:  <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>;  <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>; <math>\int_{4}^{1}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
|Farbe= #f19a50       
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|LP_best_Int.ggb|Applet}}, in dem du mit Hilfe der Schieberegler die Integrationsgrenzen anpasst!
}}




'''Klasse 11'''
{{Box-spezial
|Titel= 
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Einführung in die Differentialrechnung]]
*[[Zusammenhang zwischen Graph einer Funktion und Ableitung]]
*[[Anwendungsbezogene Extremwertaufgaben]]
</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick ''': [[Einführung in die Differentialrechnung]]


[[Datei:Meteor.jpg|180px]]


==Flächenberechnung==
</div>
[[bild:Int_abb2a.png|220px|right]]
</div> <!-- End .grid -->
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
|Farbe= #f19a50       
* Kläre die Bedeutung des Begriffs [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]!  
}}
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse]!
<br>
<br>
<br>




'''Klasse 12'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Einführung in die Integralrechnung]]
*[[Integral]]


</div>
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''


==Integralfunktion==
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt "Die Integralfunktion"}}.


</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #f19a50       
}}




'''Besondere Themen'''
{{Box-spezial
|Titel=
|Inhalt=
<div class="grid">
<div class="width-2-3">
*[[Mathematik für Grundschüler]]
*[[Differenzialgleichungen]]


==Zusätzliche Übungsaufgaben==
</div>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]
<div class="width-1-3">
'''Im Blick '''




</div>
</div> <!-- End .grid -->
|Farbe= #8FCD25       
}}




==Für Interessierte==
'''Kooperationen'''
*Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit [http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm ausführlichem Beweis]
<div class="subnavigation" style="padding:10px;background:#ddeeff;border:0">
<center>
<span style="padding: 1rem">[[File:Institutlogo f.png|link=http://www.dms.uni-landau.de Institut für Mathematik]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Zum Logo Baustein2.png|link=http://www.zum.de]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Didaktik_der_MathemathikUniWürzburg.png|link=http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/aktuelles]]</span>
<span style="padding: 1rem">[[File:Medien f.png|link=http://www.austromath.at/medienvielfalt]]</span>
</center>
</div>


*Informiere dich im Internet über die Geschichte der Integralrechnung.
[[Kategorie:Mathematik]]
*Bei welchen Fragestellungen kommt die Integralrechung zum Einsatz? Finde möglichst vielfältige Beispiele.
[[Kategorie:Mathematik-digital|!]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]
<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Lernpfad,Lernpfade,Mathematik,Unterrichtseinheiten,interaktive Übungen,COER13,OER,CC,BY-SA</metakeywords>


{{Mitgewirkt|
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]]
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]]}}


[[dmuw:Lernpfade]]
[[medienvielfalt:Hauptseite]]


{{SORTIERUNG:Einführung in die Integralrechnung}}
__NOTOC__ __NOEDITSECTION__
[[Kategorie:Integralrechnung|!]]
[[Kategorie:Lernpfad]]
[[Kategorie:Mathematik in der Oberstufe]]

Version vom 8. November 2018, 18:03 Uhr

Mathematik-digital Logo4.png
Nominiert für den OER-Award 2017 in der Kategorie "Qualität für OER" .

Lernpfade

Interaktive Unterrichtseinheiten

Die Lernpfade sind im Wiki erstellt und daher leicht veränderbar. Sie können jederzeit der individuellen Unterrichtssituation angepasst werden.

Die Lernpfade eignen sich hervorragend zum eigenverantwortlichen Lernen. Inhalte können selbst erarbeitet, geübt und gefestigt werden. Besonderer Wert wird auf die Selbstkontrolle der Lernenden gelegt. Dies geschieht z. B. durch die Integration von interaktiven Applets, Lernspielen oder durch versteckte Lösungen.

Weitere Informationen zur Konzeption der Wiki-Lernpfade

Klasse 5


Klasse 6


Klasse 7


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Klasse 10


Klasse 11


Klasse 12


Besondere Themen


Kooperationen

link=http://www.dms.uni-landau.de Institut für Mathematik Zum Logo Baustein2.png Didaktik der MathemathikUniWürzburg.png Medien f.png

<metakeywords>ZUM2Edutags,ZUM-Wiki,Mathematik-digital,Lernpfad,Lernpfade,Mathematik,Unterrichtseinheiten,interaktive Übungen,COER13,OER,CC,BY-SA</metakeywords>


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