Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Abschlusstest und Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Einstiegsproblem: Die zufällige Shuffle-Funktion: Unterschied zwischen den Seiten

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Um dein Wissen über Wahrscheinlichkeiten zu testen, bearbeite alle Aufgaben des folgenden Abschlusstest, der durchmischt Aufgaben zu allen Themen dieses Lernpfades erhält.
Wahrscheinlichkeiten und Zufälle sind euch im Alltag bestimmt schon ein paar mal begegnet. Wir verwenden den Begriff in vielen Situationen, um etwas mit ''hoher Wahrscheinlichkeit'' oder mit ''unwahrscheinlich'' zu beschreiben. Oder wir beschreiben etwas als ''reiner Zufall''.


Die Lösungen enthalten nur die Antworten, jedoch nicht den Lösungsweg, sondern ein Hinweis zu dem Themengebiet, den du wiederholen solltest, falls die jeweilige Aufgabe noch nicht so gut geklappt hat.
Überlegt euch zunächst, wann ihr den Begriff der Wahrscheinlichkeit und des Zufalls benutzt oder gehört habt:


= Abschlusstest =
{{Box-spezial
|Titel= Frage
|Inhalt= Was verstehst du unter dem Begriff '''Wahrscheinlichkeit''' und dem Begriff '''Zufall'''?
Notiere zunächst für dich selbst, was du darunter verstehst und wo dir im Alltag (oder in welchen Situationen) die Begriffe begegnet sind.


== Aufgabe 1 ==
Tausche dich danach mit deinem Übungspartner/deiner Übungspartnerin aus.
== Aufgabe 2 ==
|Farbe= #f1d650     
<div class="zuordnungs-quiz">
|Icon= {{Icon question}}   
<big>'''Zuordnung'''</big><br>
}}
Bestimme, ob es sich bei den Vorgängen um Zufallsexperimente handelt oder nicht.
{|  
|-
|Zufallsexperiment || Eine Karte aus einem Kartenstapel ziehen || Wettervorhersage || Glücksrad drehen || Eine Person befragen, welche Partei sie wählen wird
|-
| kein Zufallsexperiment || Hütchenspielen || Testen wann Wasser zu kochen beginnt
|-


|}
</div>


== Aufgabe 3 ==
== Die Wahrscheinlichkeit beim Musikhören ==
Bei dem jährlichen Schulfest findet eine Verlosung statt. Dabei wurde eine Kugel aus einem Eimer mit 65 schwarzen, 18 roten und 3 weißen Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...


:a) eine schwarze Kugel zu ziehen?
Viele Menschen benutzen heutzutage Musik-Streamingdienste, um Musik zu Hause oder unterwegs zu hören. Bei diesen Diensten ist es möglich Playlisten zu erstellen, um bestimmte Lieblingslieder oder Interpreten hintereinander hören zu können.


:b) keine rote Kugel zu ziehen?
[[Datei:Headphones-791078 960 720.jpg|zentriert|280px]]


:c) eine rote oder weiße Kugel zu ziehen?


Leonie hat eine neue Playlist mit dem Namen ''Workout'' erstellt, die sie beim Sport hören möchte.
Die Playlist setzt sich folgendermaßen zusammen:


<popup name="Lösung">
{|
:a) P("schwarze Kugel") = 0,7558 => 75,58%
|-
 
| Goodbye Machine || - Fiana Lovelace
:b) P("keine rote Kugel") = 0,7907 => 79,07%
|-
 
| Thoughts for the man || - Fiana Lovelace
:c) P("weiße oder rote Kugel") = 0,2442 => 24,42%
|-
</popup>
| Beautiful heart || - Fiana Lovelace
 
|-
== Aufgabe 4 ==
| Summer of Lies || - Asparagus Boys
Man wählt eine zufällige Zahl zwischen 13 und 53. Gib die Ereignismenge und die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an:
|-
:a) Die Zahl ist ungerade
| Turn up the Volume || - Integral Dimensions
:b) Die Zahl ist durch 4 teilbar
|-
:c) Die Zahl ist eine Primzahl und gerade
| I’m Insane || - Math Teachers United
:d) Die Zahl enthält die Ziffer 5
 
 
<popup name="Lösung">
'''Lösung für a):'''
 
A: Eine ungerade Zahl wird gezogen
 
A = {13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53}
 
P(A) = 0,5122 => 51,22%
 
'''Lösung für b):'''
 
B: Eine Zahl wird gezogen, die durch 4 teilbar ist
 
B = {16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52}
 
P(B) = 0,2439 => 24,39%
 
'''Lösung für c):'''
 
C: Eine Zahl wird gezogen, die Primzahl ist und gerade
 
C = { }
 
P(C) = 0
 
'''Lösung für d):'''
 
D: Die Zahl die gezogen wird, enthält die Ziffer 5
 
D = {15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53}
 
P(D) = 0,1951 => 19,51%
</popup>
 
== Aufgabe 5 ==
In einer Box sind 12 verschieden farbige Kugeln, darunter befindet sich eine rote Kugel.
:a) Es werden nacheinander vier Kugeln gezogen und zur Seite gelegt. Darunter befindet sich die rote Kugel nicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Nächstes die rote Kugel zu ziehen?
 
:b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im vierten Zug die rote zu ziehen, wenn die drei zuvor gezogenen Kugeln jedes Mal wieder zurückgelegt werden?
 
 
<popup name="Lösung">
'''Lösung für a):'''
 
P("rote Kugel ziehen") = 0,125 => 12,5%
 
'''Lösung für b):'''
 
P("rote Kugel ziehen") = 0,0833 => 8,33%
</popup>
 
== Aufgabe 6 ==
Ein nicht fairer Würfel mit den Augenzahlen 1-4 hat bei 500 Testdurchläufen folgende Daten geliefert:
 
{| class="wikitable"
|-
|-
! Augenzahl!! Eins !! Zwei !! Drei !! Vier
| Get it together || - Mr. Regret
|-
|-
| Anzahl || Beispiel || Beispiel || Beispiel || Beispiel
| Wicked madness || - Fiana Lovelace
|}
 
Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
 
:a) Wie häufig fällt die Augenzahl 3?
 
:b) Wie häufig fällt eine gerade Augenzahl?
 
:c) Wie wahrscheinlich ist es, dass nicht die 1 fällt?
 
<popup name="Lösung">
:a) P(A) =
 
:b) P(B) =
 
:c) P(C) =
</popup>
 
== Aufgabe 7 ==
Aus dem Wort „ZUFALLSEXPERIMENT“ wird zufällig ein Buchstabe ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
:a) A: Es handelt sich um ein „E“.
:b) B: Es handelt sich um einen Konsonanten.
:c) C: Es handelt sich um einen Vokal.
 
 
<popup name="Lösung">
:a) P(A) = 0,1176
 
:b) P(B) = 0,647
 
:c) P(C) = 0,3529
</popup>
 
== Aufgabe 8 ==
In einem Würfelspielt steht folgende Spielregel: "Man werfe zwei Würfel und bilde die größtmögliche Zahl aus den beiden Augenzahlen" (Beispiel: Wenn man eine 2 und eine 4 würfelt, ist das die Zahl 42)
 
:a) Gib den Ergebnisraum für dieses Spiel an.
 
:b) Gib folgende Ereignismengen an:
::1) A: Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.
::2) B: Die Zahl enthält mindestens eine 4.
::3) D: Die Zahl ist größer als 50.
 
 
<popup name="Lösung">
:a) <math>\Omega</math> = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 22, 32, 42, 52, 62, 33, 43, 53, 63, 44, 54, 64, 55, 65, 66}
 
:b)
::1) A = {11, 22, 33, 44, 55, 66}
::2) B = {41, 42, 43, 44, 54, 64}
::3) C = {53, 54, 55, 61, 62, 63, 64, 65, 66}
</popup>
 
== Aufgabe 9 ==
In einem Hut befinden sich 100 Lose. Davon sind 30 kleine Gewinne, 10 große Gewinne und 2 Hauptgewinne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit...
 
:a) etwas zu gewinnen?
 
:b) einen großen Gewinn zu ziehen?
 
:c) keinen Hauptgewinn zu ziehen?
 
 
<popup name="Lösung">
:a) P("Gewinn") = 0,42 => 42%
 
:b) P("großer Gewinn") = 0,1 => 10%
 
:c) P("kein Hauptgewinn") = 0,98 => 98%
</popup>
 
== Aufgabe 10 ==
Im Sommer 2009 gab es in Berlin folgende Zahlen an Schulabgängern:
 
{| class="wikitable"
|-
|-
| Gesamtzahl || mit allgemeiner Hochschulreife || mit mittlerem Schulabschluss || Hauptschulabschluss || ohne Schulabschluss
| Bad lies || - Mr. Regret
|-
|-
| 24 600 || 11 600 || 6 400 || 4 500 || 2 100
| Hard chance || - Asparagus Boys
|}
|}


Berechne die Wahrscheinlichkeit...
Leonie möchte die Playliste im Shuffle-Modus hören, um eine Abwechslung beim Hören zu haben. Dies bedeutet, dass die Lieder in zufälliger Reihenfolge hintereinander abgespielt werden (ein Lied kann bei diesem Shuffle-Modus auch zufällig mehrmals hintereinander gespielt werden).
 
:a) dass ein Schulabgänger im Jahr 2009 mit mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
:b) dass ein Schüler mit allgemeiner Hochschulreife oder mittlerem Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
:c) dass ein Schüler mit Schulabschluss von der Schule gegangen ist.
 
<popup name="Lösung">
:a) P("mittlerer Schulabschluss") = 0,2602 => 26,02%
 
:b) P("Hochschuleife oder mittlerer Schulabschluss") = 0,7317 => 73,17%


:c) P("Schulabschluss") = 0,9146 => 91,46%
== Aufgabe ==
</popup>


== Aufgabe 11 ==
* Wie wahrscheinlich ist es, dass das nächste abgespielte Lied in der Playliste von Fiana Lovelace ist?


Begründe deine Antwort mit deiner Vorgehensweise bei der Lösungssuche.


<popup name="Lösung">
{{Lösung versteckt|Überlege dir zunächst mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Lied in der Playliste als nächstes abgespielt wird. (Wie wahrscheinlich ist es z.B. das als nächstes das Lied Beautiful Heart von Fiana Lovelace läuft? )
4+3=7
</popup>
== Aufgabe 12 ==
Zwei Würfel werden geworfen und es wird anschließend die Summe der Augenzahlen notiert.  
:a) Gib den Ergebnisraum <math>\Omega</math> für dieses Experiment an.
:b) Warum ist dies '''kein''' Laplace-Experiment?


Wie ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit, wenn mehrere Songs von der Playliste vom gleichen Interpreten sind?


<popup name="Lösung">
Inwiefern spielt die Anzahl der Songs in der Playliste eine Rolle?
'''Lösung für a):'''


= {2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn man einen Song vom Interpreten zu der Playliste hinzufügt oder entfernt?|Hilfestellung|Hilfestellung verbergen}}


'''Lösung für b):'''
Es handelt sich nicht um ein Laplace-Experiment, da die Ergebnisse aus der Ergebnismenge nicht gleichwahrscheinlich sind.


So hat die Augensumme 2 nur eine Kombination der Würfel, die dazu führt (beide Würfel zeigen eine 1). Daher gilt:
'''Zum weiteren Nachdenken:'''


P("Augensumme 2") = <math>\frac{1}{36} = 0,0278</math> => 2,78%
* Wie wahrscheinlich ist es, dass das nächste Lied '''nicht''' von Mr. Regret ist?


Die Augensumme 3 hat schon zwei mögliche Kombinationen, die zu dem Ergebnis führt (erster Würfel zeigt 1 und zweiter Würfel zeigt 2 | Erster Würfel zeigt 2 und zweiter Würfel zeigt 1)
{{Weiter|../Simulation_der_Shuffle-Funktion|Simulation der Shuffle-Funktion}}


P("Augensumme 3") = <math>\frac{2}{36} = 0,0556</math> => 5,56%


=> Daher handelt es sich nicht um ein Laplace-Experiment
{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
</popup>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Sekundarstufe 1]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Mathematik-digital]]
[[Kategorie:ZUM2Edutags]]

Version vom 15. Oktober 2018, 22:00 Uhr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  1. Weißt du noch? Absolute und relative Häufigkeiten
  2. Einstiegsproblem: Die zufällige Shuffle-Funktion
  3. Simulation der Shuffle-Funktion
  4. Noch mehr Simulation zur Shuffle-Funktion
  5. Abschluss des Einstiegsproblems
  6. Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
    Urn10.png
< Mathematik-digital

Wahrscheinlichkeiten und Zufälle sind euch im Alltag bestimmt schon ein paar mal begegnet. Wir verwenden den Begriff in vielen Situationen, um etwas mit hoher Wahrscheinlichkeit oder mit unwahrscheinlich zu beschreiben. Oder wir beschreiben etwas als reiner Zufall.

Überlegt euch zunächst, wann ihr den Begriff der Wahrscheinlichkeit und des Zufalls benutzt oder gehört habt:


Frage

Was verstehst du unter dem Begriff Wahrscheinlichkeit und dem Begriff Zufall? Notiere zunächst für dich selbst, was du darunter verstehst und wo dir im Alltag (oder in welchen Situationen) die Begriffe begegnet sind.

Tausche dich danach mit deinem Übungspartner/deiner Übungspartnerin aus.


Die Wahrscheinlichkeit beim Musikhören

Viele Menschen benutzen heutzutage Musik-Streamingdienste, um Musik zu Hause oder unterwegs zu hören. Bei diesen Diensten ist es möglich Playlisten zu erstellen, um bestimmte Lieblingslieder oder Interpreten hintereinander hören zu können.

Headphones-791078 960 720.jpg


Leonie hat eine neue Playlist mit dem Namen Workout erstellt, die sie beim Sport hören möchte. Die Playlist setzt sich folgendermaßen zusammen:

Goodbye Machine - Fiana Lovelace
Thoughts for the man - Fiana Lovelace
Beautiful heart - Fiana Lovelace
Summer of Lies - Asparagus Boys
Turn up the Volume - Integral Dimensions
I’m Insane - Math Teachers United
Get it together - Mr. Regret
Wicked madness - Fiana Lovelace
Bad lies - Mr. Regret
Hard chance - Asparagus Boys

Leonie möchte die Playliste im Shuffle-Modus hören, um eine Abwechslung beim Hören zu haben. Dies bedeutet, dass die Lieder in zufälliger Reihenfolge hintereinander abgespielt werden (ein Lied kann bei diesem Shuffle-Modus auch zufällig mehrmals hintereinander gespielt werden).

Aufgabe

  • Wie wahrscheinlich ist es, dass das nächste abgespielte Lied in der Playliste von Fiana Lovelace ist?

Begründe deine Antwort mit deiner Vorgehensweise bei der Lösungssuche.

Überlege dir zunächst mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Lied in der Playliste als nächstes abgespielt wird. (Wie wahrscheinlich ist es z.B. das als nächstes das Lied Beautiful Heart von Fiana Lovelace läuft? )

Wie ändert sich dann die Wahrscheinlichkeit, wenn mehrere Songs von der Playliste vom gleichen Interpreten sind?

Inwiefern spielt die Anzahl der Songs in der Playliste eine Rolle?

Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit ändern, wenn man einen Song vom Interpreten zu der Playliste hinzufügt oder entfernt?


Zum weiteren Nachdenken:

  • Wie wahrscheinlich ist es, dass das nächste Lied nicht von Mr. Regret ist?


Simulation der Shuffle-Funktion
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