Erweitern von Brüchen und Einführung in die Differentialrechnung: Unterschied zwischen den Seiten
Main>Katja Heimlich Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Roland Weber |
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Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung | |||
== Einstiegsaufgaben == | |||
===== Blumenvase ===== | |||
<ggb_applet width="443" height="548" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br> | |||
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden: | |||
<math>h(t)=0,001(t+8)^3</math> | |||
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu? | |||
===== Barringer-Krater ===== | |||
[[Datei:Meteor.jpg|400px]] | |||
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater. | |||
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: | |||
<math>k(x)=0,002x^2</math> für <math>0<=x<=300</math> | |||
''Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin'' | |||
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren? | |||
== Durchschnittliche Änderungsrate == | |||
===== Blumenvase ===== | |||
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Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:<br> | |||
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?<br> | |||
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?<br> | |||
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?<br> | |||
... | |||
== Sekantensteigung == | |||
===== Barringer-Krater ===== | |||
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) kann mit <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man ''Sekante''. <math> m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> ist dann die Sekantensteigung. | |||
{{Aufgaben-M|1| | |||
Überlegen Sie, wo in der Zeichnung folgende Größen zu finden sind: | |||
x<sub>1</sub>-x<sub>0</sub> und f(x<sub>1</sub>)-f(x<sub>0</sub>) | |||
''Achtung: Nicht auf den Monitor malen;-)'' | |||
}} | }} | ||
{{ | <ggb_applet width="650" height="800" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | ||
== | |||
<br><br> | |||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
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<br><br> | |||
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt. | |||
<br> | |||
{{Aufgaben-M|2| | |||
Nähern sie den Punkt B immer dem Punkt A. Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen. | |||
}} | |||
:{{Lösung versteckt|1= Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion. | |||
{{Kasten_blau| | |||
Die Gerade ist dann keine Sekante (die einen Graphen ja in zwei Punkten schneiden muss) mehr. Man nennt dies Gerade ''Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt A''. | |||
''Weitere Erläuterung des Begriffs Tangente.'' | |||
}} | |||
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<br><br> | |||
{{Aufgaben-M|3| | |||
Auf dem Arbeitsblatt, das am Pult liegt, ist der Graph der Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math> gezeichnet. | |||
* Zeichnen Sie die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung. | |||
* Zeichnen Sie ebenso die Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und C(1,5;f(1,5)) und bestimmen Sie aus der Zeichnung ihre Steigung. | |||
* Zeichnen Sie (näherungsweise) die Tangente an den Graphen im Punkt A(1;1) ein und bestimmen Sie ihre Steigung aus der Zeichnung. | |||
}} | |||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
* Die Steigung ist (ungefähr) 3. | |||
* Die Steigung ist (ungefähr) 2,5. | |||
* die Steigung ist (ungefähr) 2. | |||
}} | |||
<br><br> | |||
{{Aufgaben-M|4| | |||
* Bestimmen Sie rechnerisch für die Werte <math>x_0=1</math> und <math>x_1=1</math> mit Hilfe der obigen Formel die Steigung der Sekante durch die Punkte A(1;f(1)) und B(2;f(2)). Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | |||
* Näheren Sie nun die Steigung der Tangenten im Punkt A(1;1) an den Graphen besser an, indem Sie für x<sub>1</sub> einen Wert wählen, der näher an x<sub>0</sub> liegt. Vergleichen Sie mit Ihrem Ergebnis aus der vorherigen Aufgabe. | |||
* Überlegen Sie, wie man einen möglichst genauen Wert für die Steigung der Tangenten erhalten kann. | |||
}} | |||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
* Die Steigung ist <math>m=\frac{4-1}{2-1}=3</math>. | |||
* Wählt man <math> x_1=1,5</math>, so ergibt sich <math>m=2,5</math>. | |||
* Wenn man x<sub>1</sub> sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau. | |||
{{Kasten_blau| | |||
Die Idee bei der Annäherung der Tangente durch Sekanten ist es, den Wert x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern. Dann ergibt die Steigung der Sekanten eine immer bessere Näherung für die Tangentensteigung. | |||
}} | |||
}} | |||
<br><br> | |||
Anstatt x<sub>1</sub> immer mehr x<sub>0</sub> anzunähern, kann man auch die Differenz <math>h=\Delta x=x_1-x_0</math> klein werden lassen. Es ist dann <math> x_1=x_0+h</math>. | |||
{{Aufgaben-M|5| | |||
Überlegen Sie, wo in der folgenden Zeichnung die Größen h, x<sub>0</sub>+h, f(x<sub>0</sub>+h) | |||
f(x<sub>0</sub>+h)-f(x<sub>0</sub>) zu finden sind. | |||
}} | |||
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<br><br> | |||
:{{Lösung versteckt|1= | |||
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}} | |||
<br><br> | |||
{{Aufgaben-M|6| | |||
gegeben ist wieder die Funktion f mit <math> f(x)=x^2</math>. | |||
Berechnen Sie für <math>h = 0,1</math> (<math>h= 0,01</math> und <math>h = 0,001</math>) die Steigung der Sekanten für <math>x_0= 1</math> und <math>x_1= 1+h </math>. (Verwenden Sie die Tabellenfunktion Ihres Taschenrechners; Schreiben Sie dazu <math>h=\frac{1}{10^n}</math> mit n gleich 1, 2, 3,...) | |||
''Wer das Thema Folgen hatte, kann hier in seiner Variante des Lernpfads ändern.'' | |||
Bestimmen Sie einen Näherungswert für die Steigung der Tangenten an die Parabel im Punkt A(1;1). Vergleichen Sie mit den Ergbnissen der vorherigen Aufgaben. | |||
}} | |||
{{Aufgaben-M|7| | |||
* ''das gleiche mit einer anderen Funktion'' | |||
* ''irgendwas zur zeitlichen und inhaltlichen Differenzierung'' | |||
}} | |||
== Differenzenquotient == | |||
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase | |||
Plenumsphase? | |||
Möglicher Inhalt: | |||
Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen. | |||
== Differentialquotient == | |||
{{Kastendesign1| | |||
BORDER = #97BF87| | |||
BACKGROUND = #AADDAA| | |||
BREITE =100%| | |||
INHALT= Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten | |||
Differentialquotient <math> f'(x_0) = lim_{x_1\to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}</math> | |||
Der Differentialquotient f'(x<sub>0</sub>) wird auch als ''Ableitung der Funktion f an der Stelle x<sub>0</sub>'' bezeichnet. | |||
| | |||
BILD=Nuvola_Icon_Kate.png| | |||
ÜBERSCHRIFT=Information| | |||
}} | |||
Der Differentialquotient f'(x<sub>0 </sub>) | |||
* beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x<sub>0 </sub> und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x<sub>0</sub> und x<sub>1</sub> den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> annnährt, | |||
* beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) und B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) den Punkt B(x<sub>1</sub>|f(x<sub>1</sub>)) immer mehr dem Punkt A(x<sub>0</sub>|f(x<sub>0</sub>)) annähert. | |||
<br><br> | |||
<ggb_applet width="650" height="800" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |||
<br><br /> | |||
{{Protokollieren|}}Schreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft. | |||
< | <br> | ||
{{Aufgaben-M|17| | |||
Verschieben Sie im Applet den Punkt B nahe zu A und beobachten den Wert des Differenzenquotienten. Was passiert, wenn B und A zusammenfallen? Beschreiben Sie Ihre Beobachtungen in Ihrem Heft. | |||
}} | |||
Andere Schreibweise: | |||
Statt den Wert x<sub>1</sub> immer mehr dem Wert x<sub>0</sub> anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte <math> h=x_1-x_0</math> immer kleiner werden lassen. | |||
{{Aufgaben-M|18| | |||
Ersetzen Sie in der Definition des Differentialquotienten den Wert x<sub>1</sub> durch x<sub>0</sub>+h. | |||
}} | |||
== | :{{Lösung versteckt|1= | ||
<math> f'(x_0)=lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> | |||
<br><br> | |||
Dies nennt man die ''h-Schreibweise'' des Differentialquotienten. | |||
=== | <br><br> | ||
<ggb_applet width="650" height="800" version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> | |||
<br> | |||
{{untersuchen|}} Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen. | |||
< | }} | ||
<br /><br /> | |||
{{Aufgaben-M|19| | |||
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgaben: | |||
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue1.htm Übung1] | |||
* [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/06_diffue2.htm Übung 2] | |||
}} | |||
<br> | |||
{{Aufgaben-M|8| | |||
''Rohfassung'' Betrachte noch einmal die beiden Einstiegsaufgaben: | |||
* Was waren die Problemstellungen? | |||
* Was waren die ersten Lösungsansätze? | |||
* Wie sieht die mathematische Lösung aus? | |||
}} | |||
== | == Ableitungsfunktion == | ||
[http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/diff_einfuehrung/lernpfad/content/07_ableitung.htm Ableitungsfunktion] | |||
.... | ''Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.'' | ||
Kontext plus Übung | |||
''Diagnoseinstrument'' |
Version vom 28. Oktober 2013, 21:38 Uhr
Achtung: Baustelle: Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung
Einstiegsaufgaben
Blumenvase
In eine Vase wird gleichmäßig Wasser eingefüllt. Die Höhe des Wasserstandes in Abhängigkeit von der Zeit kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
Mit welcher Geschwindigkeit nimmt die Wasserhöhe zum Zeitpunkt t=12 Sekunden zu?
Barringer-Krater
In Arizona gibt es einen Einschlagskrater eines Meteoriten, den sogenannten Barringer-Krater.
Der Krater hat einen Durchmesser von etwa 1200 Meter und eine Tiefe von 180 Meter. An der flachsten Stelle kann der Kraterrand durch die folgende Funktion beschrieben werden: für
Hier kommt noch ein Koordinatensystem mit der Funktion hin
Im Krater befindet sich ein Fahrzeug, das eine Steigung von bus zu 100% bewältigen kann. Kann das Fahrzeug den Kraterrand erreichen und aus dem Krater herausfahren?
Durchschnittliche Änderungsrate
Blumenvase
Beantworte die Fragen, indem du die Schieberegler für t und t1 entsprechend einstellst:
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 14 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 13 Sekunden?
Mit wie vielen cm/s ändert sich die Höhe im Schnitt im Zeitintervall zwischen 12 und 12,5 Sekunden?
...
Sekantensteigung
Barringer-Krater
Die durchschnittliche Steigung des Kraters zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) kann mit berechnet werden. Dies enspricht der Steigung der Geraden, die durch die Punkte A und B geht. Eine soche Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten scheidet, nennt man Sekante. ist dann die Sekantensteigung.
- {{Lösung versteckt|1=
In der Graphik der Lösung der vorherigen Aufgabe kann man den Punkt B bewegen, indem man mit der Maus auf ihn zeigt und bei gedrückter linker Maustaste die Maus bewegt.
Die beiden Schnittpunkte der Sekante nähern sich immer mehr einander an. Wenn der Punkt B mit dem Punkt A zusammenfällt, gibt es nur noch einen Schnittpunkt der Geraden mit dem Graphen der Funktion.
- Die Steigung ist (ungefähr) 3.
- Die Steigung ist (ungefähr) 2,5.
- die Steigung ist (ungefähr) 2.
- Die Steigung ist .
- Wählt man , so ergibt sich .
- Wenn man x1 sehr dicht an 1 wählt, ist die Näherung recht genau.
Anstatt x1 immer mehr x0 anzunähern, kann man auch die Differenz klein werden lassen. Es ist dann .
Differenzenquotient
Reflexionsaufgabe: Gemeisamkeiten herausarbeiten als Vorbereitung der Plenumsphase
Plenumsphase? Möglicher Inhalt: Verbindung zwischen durchschnittlicher Änderungsrate, Sekantenssteigung und Differenzenquotient (allgemeine Beschreibung für die beiden Konzepte) herstellen.
Differentialquotient
Der Differentialquotient f'(x0 )
- beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion f an der Stelle x0 und entsteht im Rahmen eines Grenzprozesses, wenn man bei der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen x0 und x1 den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 annnährt,
- beschreibt die Steigung der Tangenten an den Graphen der Funktion im Punkt A(x0|f(x0)) und entsteht, wenn man in Rahmen eines Grenzprozesses bei der Sekantensteigung zwischen den Punkten A(x0|f(x0)) und B(x1|f(x1)) den Punkt B(x1|f(x1)) immer mehr dem Punkt A(x0|f(x0)) annähert.
Vorlage:ProtokollierenSchreiben Sie die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in Ihr Heft.
Andere Schreibweise:
Statt den Wert x1 immer mehr dem Wert x0 anzunähern, können wir auch die Differenz der beiden Werte immer kleiner werden lassen.
Dies nennt man die h-Schreibweise des Differentialquotienten.
Vorlage:Untersuchen Vergleichen Sie die beiden Applets und untersuchen Sie die Veränderungen.
Ableitungsfunktion
Ableitungsfunktion Applet als Link übernehmen?Passt doch eigentlich so.
Kontext plus Übung
Diagnoseinstrument