|
Main>Jan Wörler |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{Navigation verstecken|{{Lernpfad Potenzfunktionen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}} | | {{Information_ohne_UploadWizard |
| __NOTOC__
| | |Beschreibung = |
| | | |Quelle = |
| == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>∈</small> IN ==
| | |Urheber = |
| === Gerade Potenzen ===
| | |Datum = |
| | | |Genehmigung = |
| '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
| | |Andere Versionen = |
| | | |Anmerkungen = |
| {{Box|1=Aufgabe 1|2=
| |
| # Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
| |
| #* Symmetrie
| |
| #* Monotonie
| |
| #* größte und kleinste Funktionswerte
| |
| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre>
| |
| # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
| |
| # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
| |
| | |
| <ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="jyhdqyrm" />
| |
| | |
| {{Lösung versteckt|
| |
| :zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
| |
| :* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
| |
| :* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
| |
| :* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
| |
| :<br />
| |
| :zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
| |
| :* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
| |
| :* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
| |
| :<br />
| |
| :zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
| |
| :: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
| |
| :<br />
| |
| :zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
| |
| : Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
| |
| }} | | }} |
| |3=Arbeitsmethode}}<br>
| |
|
| |
|
| |
| === Ungerade Potenzen ===
| |
|
| |
| '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''
| |
|
| |
| {{Box|1=Aufgabe 2|2=
| |
| # Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
| |
| #* Symmetrie
| |
| #* Monotonie
| |
| #* größte und kleinste Funktionswerte
| |
| # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
| |
| # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
| |
|
| |
| <ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="qspxb2nx" />
| |
|
| |
| {{Lösung versteckt|
| |
| : zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
| |
| ::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
| |
| ::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
| |
| ::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
| |
| : zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
| |
| :: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
| |
| :: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
| |
| }}
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
|
| |
| === Teste dein Wissen ===
| |
|
| |
| {{Box|1=Aufgabe 3|2=
| |
| Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
| |
| # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
| |
| # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
| |
|
| |
| {{Lösung versteckt|
| |
| :Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
| |
| :Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
| |
| }}
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
|
| |
| == Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>∈</small> IR ==
| |
|
| |
| '''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .'''
| |
|
| |
| {{Box|1=Aufgabe 4|2=
| |
| # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
| |
| # Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
| |
|
| |
| <ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="urua7my2" />
| |
|
| |
| {{Lösung versteckt|
| |
| : zu 1.)
| |
| :* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
| |
| :* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
| |
| :* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
| |
| :* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
| |
| : zu 2.)
| |
| :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
| |
| }}
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
|
| |
|
| |
|
| |
| {{Box|1=Aufgabe 5|2=
| |
| Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
| |
| # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
| |
| # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
| |
| <br />
| |
| <ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="g3yke6kx" />
| |
|
| |
| {{ Lösung versteckt |
| |
| :zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
| |
| : '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
| |
| :: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
| |
| :zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
| |
| : '''Begründung:''' <br />
| |
| ::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
| |
| ::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
| |
| ::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
| |
| :: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
| |
| }}
| |
| |3=Arbeitsmethode}}
| |
|
| |
|
| |
| === Teste Dein Wissen ===
| |
|
| |
| * [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
| |
| <br />
| |
| ----
| |
|
| |
| '''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />
| |
|
| |
| {{Weiter|Potenzfunktionen_-_2._Stufe|Weiter}}
| |
