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und <math>a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}\ </math>und den Definitionen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation kann man nun folgern, dass...<br /><br />
 
und <math>a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}\ </math>und den Definitionen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation kann man nun folgern, dass...<br /><br />
 
<math>\overline {a}\ =\ \overline {b}\ \wedge\ \overline {c}\ =\ \overline {d}\ \Rightarrow\ \overline {a\ +\ c}\ =\ \overline {b\ +\ d}\ \Rightarrow \overline {a}\ \oplus\ \overline {c}\ =\ \overline {b}\ \oplus\ \overline {d}</math><br />
 
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<math>\overline {17}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {12}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow\ \overline {17\ \cdot\ 12}\ =\  \overline {2\ \cdot\ 2}\ =\ \overline {17}\ \otimes\ \overline {12}=\ \overline {2}\ \otimes\ \overline {2}\ =\ \overline {4}\ </math>
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== Fragen ==
 
== Fragen ==

Version vom 3. Dezember 2012, 17:27 Uhr

Druckversion

Definition Restklassen

Es sei a \ \in \ \mathbb{Z} und m \ \in \ \mathbb{N}.
Jede Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big } 

bezeichnet man als Restklasse modulo m. 
Jedes x \in \overline {a}  heißt Repräsentant von \overline {a}.

Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als R_m.

Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_5 = \big {\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\big} = \Big { \big {...-5,0,5,10,...}, \big {-4,1,6,...},...\Big }
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_7 = {



Satz zur Restklassen

Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.

Seien a,b \in \mathbb {Z} und m \in \mathbb {N}.
Dann gilt:a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}

Beweis in zwei Richtungen:

"\Rightarrow" (die eine Richtung)

Es gilt nach Voraussetzung a \equiv b\ mod\ m
Zu zeigen: \overline {a} = \overline {b}.
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) \overline {a} \subseteq \overline {b} und (2) \overline {b} \subseteq \overline {a}

zu (1): zeige \overline {a} \subseteq \overline {b}
Sei x \in \overline {a}, dann gilt x \equiv a\ mod\ m (Definition Restklasse).
Außerdem gilt a \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \equiv b\ mod\ m (_____________________________)
\Rightarrow x \in \overline {b} (_____________________________)
\Rightarrow \overline {a} \subseteq \overline {b} (_____________________________)

zu (2): zeige \overline {b} \subseteq \overline {a}








"\Leftarrow" (Rückrichtung)

Es gelte: \overline {a} = \overline {b}
zu zeigen: a \equiv b\ mod\ m

a \in \overline {a} \Rightarrow a \in \overline {b} \Rightarrow a \equiv b \ mod \ m

b \in \overline {b} \Rightarrow


Definition: Restklassenaddition

Seien \overline {a} \ ,\ \overline {b}\ \in \ R_m.
Dann ist \overline {a}\ \oplus\ \overline {b}\ =\ \overline {a+b}

Beispiele:
\overline {2}\ \oplus\ \overline {3}\ =\ \overline {2+3}\ =\ \overline {5}\ =\ \overline {0}
\overline {1022}\ \oplus\ \overline {753}\ =\ \overline {1775}\ =\ \overline {0}


Definition: Restklassenmultiplikation

Seien \overline {a}\ ,\ \overline {b}\ \in\ R_m.

Dann ist \overline {a}\ \otimes\ \overline {b}\ =\ \overline {a \ \cdot\ b}

Beispiele:
\overline {17}\ \otimes\ \overline {12}\ =\overline {17\ \cdot\ 12}\ =\ \overline {204}\ =\ \overline {4}


Folgerungen aus bisher bewiesenen Sätzen und Definitionen

Aus den Sätzen a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m\ \Rightarrow\ a+c \equiv b+d\ mod\ m bzw. a \equiv b\ mod\ m\ \wedge\ c \equiv d\ mod\ m\ \Rightarrow\ a \cdot c \equiv b\cdot d\ mod\ m

und a \equiv b\ mod\ m \Leftrightarrow \overline {a} = \overline {b}\ und den Definitionen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation kann man nun folgern, dass...

\overline {a}\ =\ \overline {b}\ \wedge\ \overline {c}\ =\ \overline {d}\ \Rightarrow\ \overline {a\ +\ c}\ =\ \overline {b\ +\ d}\ \Rightarrow \overline {a}\ \oplus\ \overline {c}\ =\ \overline {b}\ \oplus\ \overline {d}

\overline {a}\ =\ \overline {b}\ \wedge\ \overline {c}\ =\ \overline {d}\ \Rightarrow\ \overline {a\ \cdot\ c}\ =\ \overline {b\ \cdot\ d}\ \Rightarrow \overline {a}\ \otimes\ \overline {c}\ =\ \overline {b}\ \otimes\ \overline {d}

Beispiele:
\overline {1022}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {753}\ =\ \overline {3}\ \Rightarrow\ \overline {1022\ +\ 753}\ =\ \overline {2\ +\ 3}\ =\ \overline {1022}\ \oplus\ \overline {753}=\ \overline {2}\ \oplus\ \overline {3}\ =\ \overline {0}

\overline {17}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {12}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow\ \overline {17\ \cdot\ 12}\ =\ \overline {2\ \cdot\ 2}\ =\ \overline {17}\ \otimes\ \overline {12}=\ \overline {2}\ \otimes\ \overline {2}\ =\ \overline {4}\

Fragen

Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!











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