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<math>\overline {17}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {12}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow\ \overline {17\ \cdot\ 12}\ =\ \overline {2\ \cdot\ 2}\ =\ \overline {17}\ \otimes\ \overline {12}=\ \overline {2}\ \otimes\ \overline {2}\ =\ \overline {4}\ </math> | <math>\overline {17}\ =\ \overline {2}\ \wedge\ \overline {12}\ =\ \overline {2}\ \Rightarrow\ \overline {17\ \cdot\ 12}\ =\ \overline {2\ \cdot\ 2}\ =\ \overline {17}\ \otimes\ \overline {12}=\ \overline {2}\ \otimes\ \overline {2}\ =\ \overline {4}\ </math> | ||
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Version vom 3. Dezember 2012, 17:29 Uhr
Definition Restklassen
Es sei und
.
Jede Menge Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \overline {a} := \big{ x \in \mathbb{Z}| x \equiv a\ mod\ m \big }
bezeichnet man als Restklasse modulo m.
Jedesheißt Repräsentant von
.
Die Menge aller Restklassen modulo m bezeichnet man als .
Beispiel:
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_5 = \big {\overline {0},\overline {1},\overline {2},\overline {3},\overline {4}\big} = \Big { \big {...-5,0,5,10,...}, \big {-4,1,6,...},...\Big }
Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): R_7 = {
Satz zur Restklassen
Vervollständige den Beweis und notiere die jeweiligen Begründungen.
Seien und
.
Dann gilt:
Beweis in zwei Richtungen:
"
" (die eine Richtung)
Es gilt nach Voraussetzung
Zu zeigen: .
Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, benutzt man oft die Antisymmetrie der Teilmengen-Relation. Man zeigt also
(1) und (2)
zu (1): zeige
Sei , dann gilt
(Definition Restklasse).
Außerdem gilt (_____________________________)
(_____________________________)
(_____________________________)
(_____________________________)
zu (2): zeige
"
" (Rückrichtung)
Es gelte:
zu zeigen:
Definition: Restklassenaddition
Seien .
Dann ist
Beispiele:
Definition: Restklassenmultiplikation
Seien .
Dann ist
Beispiele:
Folgerungen aus bisher bewiesenen Sätzen und Definitionen
Aus den Sätzen bzw.
und und den Definitionen der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation kann man nun folgern, dass...
Beispiele:
Fragen
Hast du noch Fragen? Notiere sie dir hier, damit du sie in deiner Lerngruppe, in der Übungsstunde oder in der nächsten Plenumssitzung klären kannst!