Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Jan Wörler |
Main>Jan Wörler (Lösung zu Aufgabe 2.1.1 und 2.1.2) |
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# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | # Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre> | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | # Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.! | ||
:{{Lösung versteckt| | |||
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt: | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0) | |||
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | |||
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | |||
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von <math>n</math> in allen Graphen.<br /> | |||
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da <math>n</math> nach Voraussetzung ungerade ist, ist <math>n-1</math> eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math> | |||
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt <math>0^r = 0</math> und <math>1^r=1</math> für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>. | |||
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Version vom 31. März 2009, 10:35 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
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Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
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Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
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Teste Dein Wissen
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. |
