Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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Main>Peter Hofbauer Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Main>Peter Hofbauer Keine Bearbeitungszusammenfassung |
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=== Ungerade Potenzen === | === Ungerade Potenzen === | ||
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | ||
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::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | ::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend. | ||
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | ::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv''). | ||
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von | : zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br /> | ||
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle <math> | :: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math> | ||
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt <math> | :: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>. | ||
}} | }} | ||
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=== Teste dein Wissen === | === Teste dein Wissen === | ||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
Wir betrachten die Funktionen | Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | # Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)? | ||
:{{Lösung versteckt| | :{{Lösung versteckt| | ||
:Der Punkt P(2;32) wird für <math> | :Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br> | ||
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math> | :Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>. | ||
}} | }} | ||
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| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | | {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT= | ||
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen | # Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | ||
{{ Lösung versteckt | | {{ Lösung versteckt | | ||
: zu 1.) | : zu 1.) | ||
:* Für | :* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht. | ||
:* Für <math> | :* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert | ||
:* Für <math> | :* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x. | ||
:* Der Wert <math> | :* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus. | ||
: zu 2.) | : zu 2.) | ||
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | :: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten. | ||
Version vom 17. Januar 2011, 09:46 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a xn, mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste Dein Wissen
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten. |
