Potenzfunktionen - 1. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
==Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n <small>&isin;</small> IN==
=== Gerade Potenzen ===
===Gerade Potenzen===


'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''


{| cellspacing="10"
{{Box|1=Aufgabe 1|2=  
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Symmetrie
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>2</sup> zu f(x) = x<sup>4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>4</sup> zu f(x) = x<sup>6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
:{{Lösung versteckt|
 
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="jyhdqyrm" />
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
 
{{Lösung versteckt|
:zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten <math>n \in \{0,2,4,6,...\}</math>. Dann gilt:
:* Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
:* Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
:* Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.<br />
:<br />
:zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
:* Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n<math>=</math>0 gilt (-1)<sup>0</sup> <math>=</math> 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten <math>\textstyle n \in \{2,4,6,8,10,...\}</math> sind Vielfache von 2, also von der Art <math>2 \cdot k</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}</math>; dann gilt: <math>(-1)^n=(-1)^{2 \cdot k}= 1^k = 1</math> für alle <math>k \in {\Bbb N}.</math>
:* Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige <math>r \in {\Bbb R}</math> ist 1<sup>r</sup><math>=</math>r und damit insbesondere für <math>r \in {\Bbb N}</math>.
:<br />
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.
:<br />
:zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br>
: Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>.
}}
}}
}}<br>
|3=Arbeitsmethode}}<br>
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 
filename="3_gerade_xn.ggb" />
|}


=== Ungerade Potenzen ===
===Ungerade Potenzen===


'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  


{| <!--class="prettytable sortable" -->
{{Box|1=Aufgabe 2|2=  
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_xn.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Symmetrie
Zeile 43: Zeile 48:
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>1</sup> zu f(x) = x<sup>3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>3</sup> zu f(x) = x<sup>5</sup> usw.!
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="qspxb2nx" />
{{Lösung versteckt|
: zu 1) Wir betrachten hier Exponenten <math>n\in\{1,3,5,7,...\}</math>. Dann gilt:
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
::* Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; '''Beachte:''' für <math>n\in\{3,5,7,...\}</math> haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
::* Der Wertebereich der Funktion ist ganz <math>{\Bbb R}</math>, alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit ''surjektiv'').
: zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.<br />
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^n=(-1)\cdot(-1)^{n-1}.</math> Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter: <math>(-1)\cdot(-1)^{n-1}=(-1)\cdot 1 = -1.</math>
:: '''Begründung''' für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0<sup>r</sup><math>=</math>0 und 1<sup>r</sup><math>=</math>1 für alle <math>r \in \mathbb{R}\backslash\{0 \}</math>.
}}
}}
|}
|3=Arbeitsmethode}}


=== Teste dein Wissen ===
===Teste dein Wissen===
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
 
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
{{Box|1=Aufgabe 3|2=  
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?  
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
# Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
:{{Lösung versteckt|
 
:Der Punkt P(2;32) wird für <math>n=5</math> durchlaufen: <math>f (2) = 2^5 = 32</math>.<br>
{{Lösung versteckt|
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für <math>n=3</math> durchlaufen: <math>f (1,5) = 2^3 = 3,375</math>.
:Der Punkt P(2;32) wird für n<math>=</math>5 durchlaufen: <math>f \left( 2 \right ) = 2^5 = 32</math>.<br>
:Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n<math>=</math>3 durchlaufen: <math>f \left( 1,\!5 \right ) = \left( 1,\!5 \right )^3 = 3,\!375</math>.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
==Die Graphen von f(x) = a x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR==
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
{{Box|1=Aufgabe 4|2=
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^2</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^n </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="urua7my2" />
{{Lösung versteckt|
: zu 1.)
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}


== Die Graphen von f(x) = a*x<sup>n</sup>, mit a <small>&isin;</small> IR ==


'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
{{Box|1=Aufgabe 5|2=
Wir betrachten wieder die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^n</math>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-2;4)''' und '''B(1;-0,5)''' verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(0,5;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
<br />
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="g3yke6kx" />


{| <!--class="prettytable sortable"-->  
{{ Lösung versteckt |  
|- style="vertical-align:top;"
:zu 1.) Lösung: a<math>=</math>-0,5 und n<math>=</math>3. <br />
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=
: '''Begründung:''' An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(1)=(-0,\!5)\cdot 1^3 = -0,\!5</math> <br />
# Es sei zunächst n = 2, also f(x) = a*x<sup>2</sup>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
:: und an der Stelle x<math>=</math>-2 ist <math>f(-2)=(-0,\!5)\cdot (-2)^3 = (-0,\!5)\cdot(-8)=4</math> <br />
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit f(x) = a*x<sup>n</sup> bei der Veränderung des Parameter a ! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
:zu 2.) Es gibt keine Lösung! <br />
: '''Begründung:''' <br />
::* Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion <math>f(x)=a\cdot x^n</math> mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt. <br />
::* Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a<math>=</math>1 sein (vgl. Aufgabe 4). <br />
::* Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss <math>f(0,\!5)=a\cdot (0,\!5)^n=3</math> gelten. <br />
:: Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die <math>(0,\!5)^n=3</math> erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da <math>(0,\!5)^n \to 1</math> für <math>n \to \infty.</math>
}}
}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
|3=Arbeitsmethode}}
filename="4_axn.ggb" />
 


|}
===Teste Dein Wissen===


*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]


{| <!--class="prettytable sortable"-->
<br />
|-  style="vertical-align:top;"
----
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_axn_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=
Wir betrachten wieder die Funktionen mit f(x) = a*x<sup>n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Nebenstehende Graphik dient als Hilfe. Die Punkte A und B kannst du frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
: 1. <math>a = -0.5, n = 3</math><br>
: 2. Es gibt keine Lösung, denn ...}}
}}<br>


|}
'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.'''<br />


=== Teste Dein Wissen ===
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=Potenzfunktionen_-_2._Stufe}}


* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/ggbxhochn.html Betrachte den Graphen und finde die richtigen Aussagen!]
[[Kategorie:Mathematik]]
* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:34 Uhr


Die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, n IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x2 zu f(x) = x4, dann die beim Übergang von f(x) = x4 zu f(x) = x6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = xn, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
GeoGebra
zu 1.) Wir betrachten hier Exponenten . Dann gilt:
  • Die Funktionen haben stets positive Funktionswerte.
  • Die Graphen sind stets Achsensymmetrisch zur y-Achse.
  • Für n>1 sind alle Graphen im Intervall ]-∞,0[ streng monoton fallend, im Intervall ]0,∞[ streng monoton steigend; die Graphen verlaufen durch den Ursprung (0;0) und 0 ist der kleinste Funktionswert. Ein größter Funktionswert wird nicht angenommen.

zu 2.) Alle Graphen haben die Punkte (-1;1) und (1;1) gemeinsam.
  • Begründung für Punkt (-1;1): Für den Fall n0 gilt (-1)0 1 nach Definition der Potenzen. Alle anderen Exponenten sind Vielfache von 2, also von der Art für alle ; dann gilt: für alle
  • Begründung für Punkt (1;1): Für beliebige ist 1rr und damit insbesondere für .

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Funktionswerte kleiner, an den Stellen x für x< -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.) Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-kn-facht.
Symbolisch .



Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit f(x) = xn, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x1 zu f(x) = x3, dann die beim Übergang von f(x) = x3 zu f(x) = x5 usw.!
GeoGebra
zu 1) Wir betrachten hier Exponenten . Dann gilt:
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle Punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0)
  • Die Graphen der Potenzfunktionen sind alle monoton steigend; Beachte: für haben die Funktionen im Ursprung einen Terassen- bzw. Sattelpunkt, sind dort also nicht streng-monoton steigend.
  • Der Wertebereich der Funktion ist ganz , alle Werte werden durchlaufen (die Funktion ist damit surjektiv).
zu 2) Man findet die drei Punkte (-1;-1), (0;0) und (1;1) unabhängig von n in allen Graphen.
Begründung für den Punkt (-1;-1): An der Stelle x-1 ist Da n nach Voraussetzung ungerade ist, ist n-1 eine gerade Zahl. Deswegen gilt weiter:
Begründung für die Punkte (0;0) und (1;1): Es gilt 0r0 und 1r1 für alle .

Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = xn, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt P(2;32)?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch Q(1,5;3,375)?
Der Punkt P(2;32) wird für n5 durchlaufen: .
Der Punkt Q(1,5;3,375) wird für n3 durchlaufen: .

Die Graphen von f(x) = a xn, mit a IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n IN, a IR .

Aufgabe 4
  1. Es sei zunächst n = 2, also . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
GeoGebra
zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a1 bleibt er unverändert
  • Für a0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)0 für alle x.
  • Der Wert a-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen der Form , n eine natürliche Zahl

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-2;4) und B(1;-0,5) verläuft. Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B lassen sich darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(0,5;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.


GeoGebra
zu 1.) Lösung: a-0,5 und n3.
Begründung: An der Stelle x1 ist
und an der Stelle x-2 ist
zu 2.) Es gibt keine Lösung!
Begründung:
  • Die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) ist negativ, die des Punktes B(0,5;3) positiv. Also sucht man eine Potenzfunktion mit ungeradem n (vgl. Aufgabe 2), die monoton steigt.
  • Damit der Funktionsgraph durch A(-1;-1) läuft, muss darin der Parameter a1 sein (vgl. Aufgabe 4).
  • Damit der Funktionsgraph durch B(0,5;3) läuft, muss gelten.
Zusammengenommen sucht man also nach einer natürlichen Zahl n, die erfüllt. Diese kann nicht exisitieren, da für


Teste Dein Wissen



Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten.