Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:0px; border:2px solid #f4f0e4; padding: 0em 0em 0em 1em; background-color:#f4f0e4;">
{{Navigation verstecken|{{Lernpfad Potenzfunktionen}}|Lernschritte einblenden|Lernschritte ausblenden}}
'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 3. Stufe|3. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen Test|Test]]'''</div>
__NOTOC__


==Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN==
===Gerade Potenzen===


== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
=== Gerade Potenzen ===


'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...'''
{{Box|1=Aufgabe 1|2=  
 
{| cellspacing="10"
|- style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT=  
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
# Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Symmetrie
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# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-2</sup> zu f(x) = x<sup>-4</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-4</sup> zu f(x) = x<sup>-6</sup> usw.!
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="rpn4vez3" />
:{{Lösung versteckt|
:{{Lösung versteckt|
: zu 1.)  
: zu 1.)  
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:<br />
:<br />
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (-1;1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}.</math> Da wir hier nur gerade Zahlen <math>n \in \{2,4,6,...\}</math> betrachten gilt weiter: <math>\textstyle \frac{1}{(-1)^n}= \textstyle \frac{1}{1}=1</math> unabhängig von n.
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
:: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
:<br />
:<br />
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.  
:zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.  
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für <math>x< -1</math> bzw. <math>x > 1</math> werden die Funktionswerte größer.  
:: Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.  
:<br />
:<br />
: zu 4.)
: zu 4.)
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:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>.
}}
}}
}}<br>
|3=Arbeitsmethode}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
 
filename="3_gerade_x_minus_n.ggb" />
===Parabel und Hyperbel===
|}


=== Parabel und Hyperbel ===
Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:


Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen <math>f(x)=x^n</math> und <math>f(x)=x^{-n}</math> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
{{Box|1=Merke|2=
{{ Merksatz | MERK =
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^n</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR>
* Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Für <math>f(x)=x^2</math> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für <math>f(x)=x^3</math> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung''').
* Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
* Die Graphen von Funktionen mit <math>f(x)=x^{-n}</math> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
|3=Merksatz}}
}}
<br />
<br />


=== Ungerade Potenzen ===
===Ungerade Potenzen===


'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit <math>f(x) = x^{-n}</math>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..'''  


{| <!--class="prettytable sortable" -->
{{Box|1=Aufgabe 2|2=  
|-  style="vertical-align:top;"
| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="3_ungerade_x_minus_n.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT=  
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
# Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
#* Symmetrie
#* Symmetrie
Zeile 66: Zeile 59:
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!<br><pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen</pre>
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
# Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x<sup>-1</sup> zu f(x) = x<sup>-3</sup>, dann die beim Übergang von f(x) = x<sup>-3</sup> zu f(x) = x<sup>-5</sup> usw.!
{{ Lösung versteckt |
 
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="eevxcrnj" />
 
{{Lösung versteckt|
zu 1.)  
zu 1.)  
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).  
:* Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).  
::  Beachte: für <math>n=1</math> ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden <math>g: y=x.</math>
::  Beachte: für n<math>=</math>1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: y<math>=</math>x.
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich <math>\scriptstyle {\Bbb D} = {\Bbb R}\backslash \{0\}</math> streng monoton fallend.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
:* Als Funktionswerte werden alle Werte aus <math>\scriptstyle {\Bbb R}\backslash \{0\}</math>. Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.
<br />
<br />
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle <math>x=-1</math> ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für Punkt (-1;-1): An der Stelle x<math>=</math>-1 ist <math>f(x)=f(-1)=(-1)^{-n}=\textstyle \frac{1}{(-1)^n}=\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n</math>. Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist <math>\textstyle \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^n =\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{\,\,1}{-1}\right)^{n-1}=\left( \frac{\,\,1}{-1}\right) \cdot \left( \frac{1}{1}\right)^{n-1} = -1</math> für alle betrachteten n.
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle <math>x=1</math> ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
: '''Begründung''' für den Punkt (1;1): An der Stelle x<math>=</math>1 ist <math>f(x)=f(1)=1^{-n}=\textstyle \frac{1}{1^n}=1</math> für alle <math>n \in {\Bbb N}.</math>
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.  
zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.  
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.  
: In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.  
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.  
: In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.  
}}
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|}
 
 
===Teste dein Wissen===


=== Teste dein Wissen ===
{{Box|1=Aufgabe 3|2=  
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT=  
Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
Wir betrachten die Funktionen mit f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?  
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>?  
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>?
:{{Lösung versteckt|
{{Lösung versteckt|
zu 1.) Die Lösung ist <math>n=4.</math>
zu 1.) Die Lösung ist n<math>=</math>4.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(2) = \textstyle \frac{1}{2^4} = \frac 1{16}.</math>
zu 2.) Die Lösung ist <math>n=3.</math>
zu 2.) Die Lösung ist n<math>=</math>3.
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
: '''Begründung:''' Es gilt <math>f(0,\!5) = \textstyle \frac{1}{(0,5)^3} = 2^3 = 8</math>
}}
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}


== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>&isin;</small> IR ==
==Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>&isin;</small> IR==


'''Wir betrachten jetzt die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>&isin;</small> IN,  a <small>&isin;</small> IR  .'''


{| <!--class="prettytable sortable"-->
{{Box|1=Aufgabe 4|2=  
|-  style="vertical-align:top;"
| {{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=  
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!  
# Beschreibe die Veränderung der Graphen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
# Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
{{ Lösung versteckt |  
 
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="bcvuxnh4" />
 
{{Lösung versteckt|  
: zu 1.)
: zu 1.)
:* Für <math>1 < a</math> wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für <math>0<a<1</math> gestaucht.
:* Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
:* Für <math>a=1</math> bleibt er unverändert
:* Für a<math>=</math>1 bleibt er unverändert
:* Für <math>a=0</math> wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' mit <math>f(x)=0</math> für alle <math>x</math>.  
:* Für a<math>=</math>0 wird die Funktion zur ''Nullfunktion'' f(x)<math>=</math>0 für alle x.  
:* Der Wert <math>a=-1</math> bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
:* Der Wert a<math>=</math>-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
: zu 2.)
: zu 2.)
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
:: Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.
}}
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|| <ggb_applet height="300" width="350" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n.ggb" />
 
|}




{| <!--class="prettytable sortable"-->
{{Box|1=Aufgabe 5|2=  
|-  style="vertical-align:top;"
Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
| <ggb_applet height="350" width="450" showMenuBar="false" showResetIcon="true"
filename="4_ax_minus_n_test.ggb" />
||
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=  
Wir betrachten wieder die Funktionen mit <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
:{{Lösung versteckt|
 
: zu 1.) Die Lösung ist <math>a = 2, n = 1.</math>
<ggb_applet height="450" width="800" showMenuBar="false" showResetIcon="true" id="mejghjtk" />
 
{{Lösung versteckt|
: zu 1.) Die Lösung ist a<math>=</math>2, n<math>=</math>1.
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und  <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
:: '''Begründung:''' <math>f(-1)=2\cdot (-1)^{-1} = -2</math> und  <math>f(2)=2\cdot (2)^{-1} = 1.</math>
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
: '''Begründung:'''
: '''Begründung:'''
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.  
:* Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.  
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter <math>a = 1</math> sein.
:* Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a<math>=</math>1 sein.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art <math>f(x)=x^{-n}</math> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=1.</math> Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle <math>x=1</math> den Funktionswert <math>f(x)=3</math> hat.
: Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x)<math>=</math> x<sup>-n</sup> mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x<math>=</math>1 den Funktionswert f(x)<math>=</math>3 hat.
}}
}}
}}
|3=Arbeitsmethode}}
|}
 
 
===Teste Dein Wissen===


=== Teste Dein Wissen ===
*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
*[http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]


* [http://www.realmath.de/Neues/Klasse10/potenzfunktion/defpotquiz.html Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!]
* [http://www.tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/dfu/potenzfunktionen/potenzfunktionen_II.html Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!]
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{|border="0" cellspacing="0" cellpadding="4"
|align = "left" width="120"|[[Bild:Maehnrot.jpg|100px]]
|align = "left"|'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.'''<br />
[[Bild:Pfeil.gif]] &nbsp; [[Potenzfunktionen_3._Stufe|'''Hier geht es weiter''']]'''.'''


|}
'''Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.'''<br />
 
{{Fortsetzung|weiter=Weiter|weiterlink=Potenzfunktionen_-_3._Stufe}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Interaktive Übung]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Potenzfunktionen]]

Aktuelle Version vom 24. April 2022, 10:35 Uhr


Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n IN

Gerade Potenzen

Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...

Aufgabe 1
  1. Mit dem Schieberegler kannst du den Exponenten verändern. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen.
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen 
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-2 zu f(x) = x-4, dann die beim Übergang von f(x) = x-4 zu f(x) = x-6 usw.!
  4. Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x-n, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird?
GeoGebra
zu 1.)
  • Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall streng monoton steigend und im Intervall streng monoton fallend.
  • Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind . Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen.

zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1).
Begründung für den Punkt (-1;1): An der Stelle x-1 ist Da wir hier nur gerade Zahlen betrachten gilt weiter: unabhängig von n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x1 ist für alle

zu 3.) Die Punkte (-1;1) und (1;1) bleiben unverändert.
Dazwischen, genauer in den Intervallen ]-1;0[ und ]0;1[ werden die Fuktionswerte kleiner, an den Stellen x für x < -1 bzw. x > 1 werden die Funktionswerte größer.

zu 4.)
Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver--facht.
Symbolisch: .

Parabel und Hyperbel

Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:

Merke
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=xn und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
  • Für f(x)=x2 heißt der Graph Normalparabel; für f(x)=x3 dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
  • Die Graphen von Funktionen f(x)=x-n und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.


Ungerade Potenzen

Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..

Aufgabe 2
  1. Beschreibe wieder die Graphen! Achte dabei auf
    • Symmetrie
    • Monotonie
    • größte und kleinste Funktionswerte
  2. Gibt es Punkte, die allen Graphen gemeinsam sind? Begründe!
    HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen
  3. Beschreibe die Veränderung der Graphen beim Übergang von f(x) = x-1 zu f(x) = x-3, dann die beim Übergang von f(x) = x-3 zu f(x) = x-5 usw.!
GeoGebra

zu 1.)

  • Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0;0).
Beachte: für n1 ist der Graph zusätzlich achsensymmetrisch zur Geraden g: yx.
  • Alle Graphen sind auf ihrem Definitionsbereich streng monoton fallend.
  • Als Funktionswerte werden alle Werte aus . Damit sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich.


zu 2.) Alle Graphen verlaufen durch die Punkte (-1;-1) und (1;1).

Begründung für Punkt (-1;-1): An der Stelle x-1 ist . Da die Zahl n nach Voraussetzung ungerade ist, ist (n-1) eine gerade Zahl. Deswegen ist für alle betrachteten n.
Begründung für den Punkt (1;1): An der Stelle x1 ist für alle

zu 3.) Die Punkte (-1;-1) und (1;1) bleiben von der Änderung unberührt.

In den Intervallen ]-∞;-1[ und ]1;∞[ schmiegt sich der Graph näher an die y-Achse an, wenn n erhöht wird.
In den Intervallen ]-1;0[ un ]0;1[ werden die Graphen steiler, wenn n erhöht wird.


Teste dein Wissen

Aufgabe 3

Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x-n, n eine natürliche Zahl

  1. Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt ?
  2. Für welches n verläuft der Graph durch ?

zu 1.) Die Lösung ist n4.

Begründung: Es gilt

zu 2.) Die Lösung ist n3.

Begründung: Es gilt

Die Graphen von f(x) = a x-n mit a IR

Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n IN, a IR .

Aufgabe 4
  1. Es sei zunächst n = 2, also . Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a!
  2. Beschreibe die Veränderung der Graphen von bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten.
GeoGebra
zu 1.)
  • Für 1 < a wird der Graph der Funktion gestreckt und wird für 0<a<1 gestaucht.
  • Für a1 bleibt er unverändert
  • Für a0 wird die Funktion zur Nullfunktion f(x)0 für alle x.
  • Der Wert a-1 bewirkt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse; alle übrigen Fälle ergeben sich daraus.
zu 2.)
Die Beobachtungen aus 1.) übertragen sich auch für beliebige Exponenten.


Aufgabe 5

Wir betrachten wieder die Funktionen für eine eine natürliche Zahl n.

  1. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-2) und B(2;1) verläuft.
    Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben.
  2. Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte A(-1;-1) und B(1;3) verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen.
GeoGebra
zu 1.) Die Lösung ist a2, n1.
Begründung: und
zu 2.) Es gibt KEINE Lösung.
Begründung:
  • Da die y-Komponente des Punktes A(-1;-1) negativ ist, die des Punktes B(1;3) dagegen positiv, muss die gesuchte Zahl n ungerade sein.
  • Wenn der Graph der gesuchten Funktion durch den Punkt A(-1;-1) laufen soll, muss der Parameter a1 sein.
Zusammengenommen ist die gesuchte Funktion von der Art f(x) x-n mit ungeradem n. Diese Funktionen haben alle an der Stelle x1 den Funktionswert f(x)1. Daher kann es keine Funktion geben, die an der Stelle x1 den Funktionswert f(x)3 hat.


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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben.