Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
Main>Jan Wörler K (Lösung Aufg 1.4, Layout) |
Main>Jan Wörler |
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# Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | # Wie ändern sich die y-Werte bei f(x) = x<sup>-n</sup>, n gerade, wenn der x-Wert ver-k-facht wird? | ||
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: zu 1.) | |||
:* Alle Graphen sind Achsensymmetrisch zur y-Achse | |||
:* Für die betrachteten Exponenten sind alle Graphen im Intervall <math>]-\infty;0[</math> streng monoton steigend und im Intervall <math>]0;\infty[</math> streng monoton fallend. | |||
:* Die Funktionswerte aller Graphen sind positiv, ihre Wertebereiche sind <math>]0; \infty[</math>. Die x-Achse und die y-Achse sind Asympthoden der Funktionsgraphen. | |||
: zu 2.) Unabhängig vom Exponenten n laufen allge Graphen durch die Punkte (-1;1) und (1;1). | |||
:: '''Begründung:''' | |||
: zu 3.) siehe Stufe 1.1 | |||
: zu 4.) | : zu 4.) | ||
: Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-<math>\textstyle \frac{1}{k^n}</math>-facht. <br> | |||
:: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\ | :: Symbolisch: <math>f(k \cdot x) = (k\cdot x)^{-n} = k^{-n} \cdot x^{-n} =\textstyle \frac {1}{k^n} \cdot f(x)</math>. | ||
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Version vom 31. März 2009, 12:35 Uhr
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
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Parabel und Hyperbel
Du hast nun Potenzfunktionen mit den Gleichungen und kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
Die Graphen von Funktionen mit und einer natürlichen Zahl n heißen Parabeln, oder genauer: Parabel n-ter Ordnung.
Für heißt der Graph Normalparabel; für dann nennt man den Graphen kubische Grundparabel (oder Parabel dritter Ordnung).
Die Graphen von Funktionen mit und einer natürlichen Zahl n heißen Hyperbeln (n-ter Ordnung). Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten.
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen mit , wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
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Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen mit , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
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Teste Dein Wissen
- Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
- Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben. |
