Potenzfunktionen - 2. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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== Die Graphen der Funktionen | == Die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Gerade Potenzen === | === Gerade Potenzen === | ||
'''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen | '''Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...''' | ||
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=== Parabel und Hyperbel === | === Parabel und Hyperbel === | ||
Du hast nun Potenzfunktionen | Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=x<sup>n</sup> und f(x)=x<sup>-n</sup> kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen: | ||
{{ Merksatz | MERK = | {{ Merksatz | MERK = | ||
* Die Graphen von Funktionen | * Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Parabeln''', oder genauer: '''Parabel ''n''-ter Ordnung'''. <BR> | ||
* Für | * Für f(x)=x<sup>2</sup> heißt der Graph '''Normalparabel'''; für f(x)=x<sup>3</sup> dann nennt man den Graphen '''kubische Grundparabel''' (oder '''Parabel dritter Ordnung'''). | ||
* Die Graphen von Funktionen | * Die Graphen von Funktionen f(x)=x<sup>-n</sup> und einer natürlichen Zahl n heißen '''Hyperbeln (n-ter Ordnung)'''. Diese haben die x- und die y-Achse als Asymptoten. | ||
}} | }} | ||
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=== Ungerade Potenzen === | === Ungerade Potenzen === | ||
'''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen | '''Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x<sup>-n</sup>, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..''' | ||
{| <!--class="prettytable sortable" --> | {| <!--class="prettytable sortable" --> | ||
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=== Teste dein Wissen === | === Teste dein Wissen === | ||
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= | ||
Wir betrachten die Funktionen | Wir betrachten die Funktionen der Form f(x) = x<sup>-n</sup>, n eine natürliche Zahl | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>? | # Für welches n verläuft der Graph durch den Punkt <math>P(2;\textstyle \frac{1}{16})</math>? | ||
# Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | # Für welches n verläuft der Graph durch <math>Q ( 0,\!5;8 )</math>? | ||
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== Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>∈</small> IR == | == Die Graphen von f(x) = a x<sup>-n</sup> mit a <small>∈</small> IR == | ||
'''Wir betrachten jetzt die Funktionen | '''Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math>, wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n <small>∈</small> IN, a <small>∈</small> IR .''' | ||
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# Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | # Es sei zunächst n = 2, also <math>f(x) = a \cdot x^{-2}</math>. Beschreibe die Veränderung des Graphen von f bei der Veränderung des Parameters a! | ||
# Beschreibe die Veränderung der Graphen | # Beschreibe die Veränderung der Graphen von <math>f(x) = a \cdot x^{-n} </math> bei der Veränderung des Parameter a! Unterscheide dabei wieder zwischen geraden und ungeraden Exponenten. | ||
{{ Lösung versteckt | | {{ Lösung versteckt | | ||
: zu 1.) | : zu 1.) | ||
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{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | {{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT= | ||
Wir betrachten wieder die Funktionen | Wir betrachten wieder die Funktionen <math>f(x) = a \cdot x^{-n}</math> für eine eine natürliche Zahl n. | ||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben. | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-2)''' und '''B(2;1)''' verläuft.<br /> Die nebenstehende Graphik dient als Hilfe; die Punkte A und B kannst du darin frei verschieben. | ||
# Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | # Bestimme a und n so, dass der Graph durch die Punkte '''A(-1;-1)''' und '''B(1;3)''' verläuft. Was fällt auf? Erkläre deine Beobachtungen. | ||
Version vom 17. Januar 2011, 08:11 Uhr
Die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, n ∈ IN
Gerade Potenzen
Wir betrachten zunächst die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine gerade Zahl ist, also n = 2, 4, 6, ...
| Vorlage:Arbeiten |
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Parabel und Hyperbel
Du hast nun Potenzfunktionen der Form f(x)=xn und f(x)=x-n kennengelernt. Ihre Graphen spielen in der Mathematik und in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle. Sie haben deshalb eigene Bezeichnungen:
Vorlage:Merksatz
Ungerade Potenzen
Wir betrachten nun die Graphen der Funktionen f(x) = x-n, wenn n eine ungerade Zahl ist, also n = 1, 3, 5, ..
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste dein Wissen
Die Graphen von f(x) = a x-n mit a ∈ IR
Wir betrachten jetzt die Funktionen der Form , wenn n eine natürliche Zahl und a eine reelle Zahl ist, also n ∈ IN, a ∈ IR .
| Vorlage:Arbeiten | Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
| Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Teste Dein Wissen
- Ordne dem Graphen der Potenzfunktion die richtige Gleichung zu!
- Erkenne die Art der Funktion und ordne dem Graphen die entsprechende Funktionsgleichung zu!
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Als nächstes erfährst du etwas über Potenzfunktionen, die Stammbrüche im Exponenten haben. |
