Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt:
Potenzfunktionen der Bauart <math>f(x)=x^{\frac{1}{n}}</math> und Wurzelfunktionen <math>g(x)=\sqrt[n]{x}</math> hängen eng zusammen, denn es gilt:


<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math>
:<math>x^{\frac{1}{n}}:=\sqrt[n]{x}</math>


Darin ist die n-te Wurzel festgelegt über:
Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:


<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>
:<math>\sqrt[n]{x} :\Leftrightarrow \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x</math>





Version vom 25. Januar 2009, 11:29 Uhr

Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n IN

Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}, insbesondere also IN0 =/= IN.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen positiven Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2

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Potenzen und Wurzeln

Eine Funktion mit der Gleichung mit heißt Wurzelfunktion.

Potenzfunktionen der Bauart und Wurzelfunktionen hängen eng zusammen, denn es gilt:

Darin ist die n-te Wurzel über folgenden Zusammenhang festgelegt:


Beispiele:

  • , aber
  • , nicht definiert.
  • , aber auch


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Definitionsbereich der Wurzelfunktionen

Einschränkung auf IR+

Offenbar kann man zum Beispiel wegen

  • , und

die Wurzelfunktionen zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x definieren.

Allerdings kann das zu Wiedersprüchen führen; folgende Rechnung zeigt die Problematik:

Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeit zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:

mit und

Wurzelfunktion auf ganz IR

Will man eine Wurzelfunktion dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g(x) derart, dass

. Dann gilt: IDg = IR.



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