Potenzfunktionen - 4. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen

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== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>-1/n</sup>, n <small>&isin;</small> IN ==
Es sei stets <math>\mathbb N_0 = \left\{ 0,1,2,\dots \right\}</math> und <math>\mathbb N = \left\{ 1,2,3,\dots \right\}</math>, insbesondere also <math>\mathbb N_0 \neq \mathbb N</math>.<br />
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen ''negativen'' Stammbruch der Form <math>\textstyle - \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Für diese Art der Exponenten gilt: <math>-1\leq \textstyle -\frac{1}{n}< 0</math>.


=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3 ===

Version vom 28. März 2009, 20:24 Uhr


Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x-1/n, n IN

Vergleich mit Funktionen aus Stufe 3

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Exponenten, Brüche und Potenzgesetze

Im vorliegenden Fall betrachten wir negative Stammbrüche als Exponenten. Denke dabei insbesondere an folgenden Zusammenhang:

Für eine reelle Zahl und eine natürliche Zahl wird definiert:
für


Auf unsere Situation angewandt ergibt sich:

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Potenzfunktionen und ihre Umkehrfunktionen

Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, definiert durch . Gesucht ist die Umkehrfunktion von .

ergibt sich aus durch Auflösen nach . Es ist:

Vertauschen von und ergibt schließlich die gesuchte Funktion: .

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Beispiel

Es sei eine Potenzfunktion, nun definiert durch mit Definitionsbereich ID = IR+. Gesucht ist wieder ihre Umkehrfunktion .

Auflösen nach ergibt:

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Hinweis: Man beachte besonders hier die unterschiedliche Bedeutung von und !

Vergleich mit Potenzfunktionen der Stufe 1

Im Zusammenhang mit den Umkehrfunktionen dieser Art kann es sinnvoll sein, sich die Potenzfunktionen der Stufe 1 noch einmal vor Augen zu führen. Hier kannst Du direkt zur Stufe 1 springen.

Zusammenfassung

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit

Die Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen mit für sind Potenzfunktionen mit .

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*Zusammenfassung: Was bewirken Parameter in Potenzfunktionen? - Merkregel "5 S"-Prinzip

*: freiwillig


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*Zum Weiterdenken: Mit Funktionen malen

(freiwillig)

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Das obenstehende Bild ist vollständig aus Potenzfunktionen der Form

mit zusammengesetzt.

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Das erste Blatt setzt sich aus drei Potenzfuntktionen zusammen, die nur auf bestimmten Intervallen definiert sind.
Wie müssen die Parameter verändert werden, wenn sie das Blatt links unten bilden sollen?
Wie kann man die Größe der Blätter beeinflussen?

Maehnrot.jpg Und nun gehts zum Abschlusstest

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