Quadratische Funktionen/Kapitel 4: Der Graph der quadratischen Funktion "f(x) = ax²" und Quadratische Funktionen/Kapitel 2: Die Quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)² + ys" - Die Scheitelpunktsform: Unterschied zwischen den Seiten
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Main>Michael Schober K (Satzbau Satzzeichen Rechtschreibung) |
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{{Lernpfad-M|<big>''' | {{Lernpfad-M|<big>'''Die Quadratische Funktion "f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" - Die Scheitelpunktsform'''</big> | ||
'''In diesem Lernpfad lernst du die | '''In diesem Lernpfad lernst du die Scheitelpunktsform kennen! Bearbeite den unten aufgeführten Lernpfad''' | ||
*''' | *'''Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor''' | ||
*''' | *'''Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub>''' | ||
*''' | *'''Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor''' | ||
*''' | *'''Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>''' | ||
*''' | *'''Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform''' | ||
*'''Aufgaben zur Scheitelpunktsform''' | |||
}} | }} | ||
Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' kennen gelernt. | |||
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen. | |||
Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff einführ werden, da dieser später häufiger verwendet wird. | |||
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''' | {{Merke| | ||
Die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>"''' ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb '''Normalparabel''' | |||
}} | |||
<div align="center"><big><u>'''STATION 1: Der Parameter y<sub>s</sub> stellt sich vor'''</u></big></div> | |||
< | Zunächst betrachten wir den Parameter y<sub>s</sub>, welcher zur quadratischen Funktion '''"f(x) = x<sup>2</sup>"''' dazuaddiert wird. | ||
Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus: | |||
'''f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' | |||
Bearbeite das folgende '''Arbeitsblatt | Bearbeite das folgende '''Arbeitsblatt''' und entdecke die Eigenschaften vom Parameter y<sub>s</sub>! | ||
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math> | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>+ y<sub>s</sub> !! Hinweise, Aufgabe und Lückentext: | ||
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename=" | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> || | ||
'''Hinweise:''' <br>* In der | '''Hinweise:''' <br>* In der Abbildung links ist die Normalparabel schwarz-gestrichelt und die von y<sub>s</sub> abhängige, quadratische Funktion blau eingezeichnet <br>* Bediene mit gehaltener linker Maustaste den schwarzen Schieberegler y<sub>s</sub>, er verändert dessen Wert <br>* Ziehe im folgenden Lückentext die möglichen Lösungen aus dem blauen Feld, ebenfalls mit gehaltener linker Maustaste, in die richtigen Felder | ||
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'''Aufgabe:''' <br>Bediene den Schieberegler y<sub>s</sub>. Welche Veränderungen stellst du fest? | |||
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<br> | <br> | ||
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br> | '''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' <br> | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
Der | Der Parameter y<sub>s</sub> '''verschiebt''' die Normalparabel auf der '''y-Achse'''. Dabei bleibt die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel. <br> | ||
Ist der Parameter y<sub>s</sub> positiv, so wird die Parabel um y '''Einheiten''' in Richtung der y-Achse nach '''oben''' verschoben. <br> | |||
Ist der Parameter y<sub>s</sub> hingegen '''negativ''', so wird die Parabel um y Einheiten in Richtung der '''y-Achse''' nach '''unten''' verschoben. <br> | |||
Ist | Der '''Scheitelpunkt''' der Parabel befindet sich auf der y-Achse, genauer gesagt bei Punkt '''[0; y<sub>s</sub>]'''. Zudem ist die y-Achse die '''Symmetrieachse''' der Parabel. | ||
</div> | </div> | ||
|} | |} | ||
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{{Merke| | {{Merke| | ||
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>x² + y<sub>s</sub>"''' gilt: | ||
* | * Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der y-Achse | ||
* Für ''' | * Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
* Für ''' | * Für '''y<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''oben''' | ||
* Für '''y<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um y Einheiten nach '''unten''' | |||
* | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S (0; y<sub>s</sub>)''' | ||
* Die y-Achse ist '''Symmetrieachse''' | |||
* | |||
}} | }} | ||
Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen. | |||
<div align="center"><big><u>'''STATION 2: Aufgaben zum Parameter y<sub>s</sub>'''</u></big></div> | |||
<big>'''1. Aufgabe: Zuordnung'''</big> | |||
Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>". | |||
Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen. | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
| [[Bild:Parabele1.png|150px]] || [[Bild:Parabele2.png|150px]] || [[Bild:Parabele3.png|150px]] || [[Bild:Parabele4.png|150px]] || [[Bild:Parabele5.png|150px]] | |||
|- | |||
| <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 1,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3,5 </strong> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 0,5 </strong> | |||
|} | |||
</div> | |||
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<big>'''2. Aufgabe:'''</big> | |||
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu! | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
| || <u> Scheitelpunkt </u> || <u> Funktionsgleichung </u> | |||
|- | |||
| 1. || S <math>(0\!\,|\!\,4,7)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 4,7 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 2. || S <math>(0\!\,|\!\,-23)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 23 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 3. || S <math>(0\!\,|\!\,-2,5)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 2,5 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 4. || S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> <br> | |||
|- | |||
| 5. || S <math>(0\!\,|\!\,13)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 13 </strong> | |||
|} | |||
</div> | |||
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<big>'''3. Aufgabe:'''</big> | |||
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S. | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
| || <u> Funktionsgleichung </u> || <u> Scheitelpunkt </u> | |||
|- | |||
| 1. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 5,2 || <strong> S [0; 5,2] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 2. || y<math>=</math> 3 + x<sup>2</sup> || <strong> S [0; 3] </strong> | |||
|- | |||
| 3. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 3 || <strong> S [0; -3] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 4. || y<math>=</math> x<sup>2</sup> || <strong> S [0; 0] </strong> <br> | |||
|} | |||
</div> | |||
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<big>'''4. Aufgabe: Zuordnung'''</big> | |||
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
! Quadratische Funktion f(x) = | ! Aufgabe !! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>x<sup>2</sup>+ y<sub>s</sub> | ||
|- | |- | ||
| < | |Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten.<br> Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt. | ||
<br> | |||
Überlege dir rechnerisch, welcher Punkt zu welcher Parabel gehört. <br> | |||
Hilfe:<br> | |||
{{versteckt| | |||
Es liegt nur dann ein Punkt auf der Parabel, <br> wenn durch Einsetzen eines x-Wertes,<br> der zugehörige y-Wert herauskommt. | |||
}} | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
| 1. || y <math>=</math> x<sup>2</sup> - 1 || <strong> [3; 8] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 2. || y <math>=</math> x<sup>2</sup> - 5 || <strong> [3; 4] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 3. || y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 0 || <strong> [2; 4] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 4. || y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 2 || <strong> [1; 3] </strong> <br> | |||
|- | |||
| 5. || y <math>=</math> x<sup>2</sup> + 4 || <strong> [2; 8] </strong> <br> | |||
|} | |||
</div> | |||
Überprüfe dein Ergebnis mit dem Applet rechts.<br> Verschiebe dafür die Parabel entsprechend der Funktionsgleichung. | |||
|| | |||
<ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParametere.ggb" /> | |||
|} | |||
<br> | |||
<br> | |||
<br> | |||
<div align="center"><big><u>'''STATION 3: Der Parameter x<sub>s</sub> stellt sich vor'''</u></big></div> | |||
Nachdem du jetzt den Parameter y<sub>s</sub> kennst, wollen wir uns mit dem Parameter x<sub>s</sub> beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert: | |||
'''f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>''' | |||
Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler x<sub>s</sub> in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken! | |||
<br><br> | |||
<div align="center"><ggb_applet height="450" width="400" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterd.ggb" /> </div> | |||
<br> | |||
'''Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:''' | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Der Parameter x<sub>s</sub> der quadratischen Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" bewirkt eine '''Verschiebung''' der Normalparabel auf der '''x-Achse'''. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters y<sub>s</sub>, ist die verschobene Parabel '''kongruent''' zur Normalparabel. | |||
Mit Hilfe des Schiebereglers x<sub>s</sub> stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um '''x-Einheiten''' nach '''rechts''' erfolgt. Ist der Wert von x<sub>s</sub> '''negativ''', so wird der Graph um x-Einheiten nach '''links''' verschoben. | |||
<br> | |||
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>'''". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>" lautet, entsteht für positive Werte eine '''Differenz''' in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von x<sub>s</sub>, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = '''[x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup>". | |||
Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten "S '''[x<sub>s</sub>; 0]'''", denn der y-Wert bleibt '''Null'''. | |||
Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur '''x-Achse'''. | |||
</div> | </div> | ||
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen! | |||
{{Merke| | {{Merke| | ||
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math> | Für die quadratische Funktion '''"f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>"''' gilt: | ||
* | * Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel entlang der x-Achse | ||
* Für ''' | * Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel | ||
* Für ''' | * Für '''x<sub>s</sub> > 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''rechts''' | ||
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''' gilt: Verschiebung um x Einheiten nach '''links''' | |||
* | * Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei '''S [x<sub>s</sub>; 0]''' | ||
* Die '''Symmetrieachse''' ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse | |||
* | |||
}} | }} | ||
'''Achtung!''' | |||
* Für '''x<sub>s</sub> > 0''', mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x – x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''" | |||
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = 5: f(x) = (x - 5)<sup>2</sup> | |||
* Für '''x<sub>s</sub> < 0''', mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "'''f(x) = (x + x<sub>s</sub>)<sup>2</sup>'''" | |||
Beispiel: Für x<sub>s</sub> = -5: f(x) = (x + 5)<sup>2</sup> | |||
Ebenso wie beim Parameter y<sub>s</sub>, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen. | |||
<div align="center"><big><u>'''STATION 4: Aufgaben zum Parameter x<sub>s</sub>'''</u></big></div> | |||
<big>'''1. Aufgabe: Zuordnung'''</big> | |||
Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen. | |||
Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu: | |||
<div | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
{| | |||
|- | |||
| [[Bild:Parabeld-4,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld-2,5.jpg]] || [[Bild:Parabeld0.jpg]] || [[Bild:Parabeld2.jpg]] || [[Bild:Parabeld5.jpg]] | |||
|- | |||
| <strong> y<math>=</math> [x + 4,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x + 0]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> </strong> || <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> </strong> | |||
|} | |||
</div> | |||
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<big>'''2. Aufgabe:'''</big> | |||
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu! | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
{| | {| | ||
| | |- | ||
| | | || <u> Scheitelpunkt </u> || <u> Funktionsgleichung </u> | ||
| | |- | ||
|- | | 1. || S <math>(2,5\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br> | ||
| | |- | ||
| | | 2. || S <math>(-3\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> </strong> <br> | ||
| | |- | ||
| 3. || S <math>(-2,5\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x + 2,5]<sup>2</sup> </strong> <br> | |||
|- | |||
| 4. || S <math>(0\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> x<sup>2</sup> </strong> <br> | |||
|- | |- | ||
| | | 5. || S <math>(3\!\,|\!\,0)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> </strong> | ||
| | |||
| | |||
|} | |} | ||
</div> | </div> | ||
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<big>'''3. Aufgabe:'''</big> | |||
Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen. | |||
f(x) = (x - 2)<sup>2</sup> | |||
f(x) = (x - 5)<sup>2</sup> | |||
f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> | |||
Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht. | |||
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="620" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_3_Aufgabe_3.ggb" /></div> | |||
<br> | |||
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<div align="center"><big><u>'''STATION 5: Zusammenführung der Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> | |||
Bevor wir nun die beiden Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung. | |||
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht! | |||
Zeile 181: | Zeile 346: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
| || <u> | | || <u> Frage </u> || <u> Antwort </u> | ||
|- | |- | ||
| 1. || | | 1. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup>? || <strong>S [2, 0] </strong> <br> | ||
|- | |- | ||
| 2. || | | 2. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? || <strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> - y<sub>s</sub></strong> | ||
|- | |- | ||
| 3. || Scheitelpunkt | | 3. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> x<sup>2</sup> - 4? || <strong>S [0, -4] </strong> | ||
|- | |- | ||
| 4. || | | 4. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse? || <strong>y<math>=</math> [x + x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong> | ||
|- | |- | ||
| 5. || | | 5. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> x<sup>2</sup> + 2? || <strong>S [0, 2] </strong> | ||
|- | |- | ||
| 6. || | | 6. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse? || <strong>y<math>=</math> [x - x<sub>s</sub>]<sup>2</sup></strong> | ||
|- | |- | ||
| 7. || | | 7. || Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse? || <strong>y<math>=</math> x<sup>2</sup> + y<sub>s</sub></strong> | ||
|- | |- | ||
| 8. || | | 8. || Wie lautet der Scheitelpunkt für y<math>=</math> [x + 4]<sup>2</sup>? || <strong>S [-4, 0] </strong> | ||
|} | |} | ||
</div> | </div> | ||
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Zeile 213: | Zeile 377: | ||
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<br> | <br> | ||
Zeile 218: | Zeile 383: | ||
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<br> | <br> | ||
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können. | |||
< | In dieser Lerneinheit hast du die Parameter y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> einzeln kennen gelernt. | ||
<br><br> | |||
Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion '''"f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>"''', in der beide Parameter integriert sind. | |||
<br><br> | |||
Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat. | |||
Während der Parameter y<sub>s</sub> für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter x<sub>s</sub> den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>" deshalb '''Scheitelpunktsform'''. <br> | |||
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>. | |||
<br><br> | |||
Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg! | |||
{| {{Prettytable}} | {| {{Prettytable}} | ||
|- style="background-color:#8DB6CD" | |- style="background-color:#8DB6CD" | ||
! Quadratische Funktion f(x) = | ! Quadratische Funktion f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub> !! Hinweise und Quiz: | ||
|- | |- | ||
| <ggb_applet height="500" width=" | | <ggb_applet height="500" width="350" showResetIcon="true" filename="VerschiebenParameterdunde.ggb" /> || | ||
'''Hinweise:''' <br>* In der Grafik siehst du die verschobene Normalparabel | |||
<br>* Mit den Schiebereglnern y<sub>s</sub> und x<sub>s</sub> kannst du die Lage der Parabel verändern | |||
<br>* Bediene die Schieberegler und versuche das folgende Quiz zu lösen | |||
<br> | |||
'''Quiz:''' <br> | |||
<div class=" | Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, dass bedeutet z.B. für x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden. | ||
<div class="kreuzwort-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
| Scheitelpunkt || Wie nennt man den Punkt S(x<sub>s</sub>, y<sub>s</sub>) der Parabel? | |||
|- | |||
| Scheitelpunktsform || Wie bezeichnet man die FORM der Funktionsgleichung f(x) = (x - x<sub>s</sub>)² + y<sub>s</sub>? | |||
|- | |||
| Symmetrieachse || Wie heißt die Achse, für die x = y<sub>s</sub> gilt? | |||
|- | |||
| Normalparabel || Zu welcher Parabel sind die verschobenen Parabeln kongruent? | |||
|- | |||
| Unten || In welche Richtung verschiebt man die Parabel f(x) = x² - 4? | |||
|- | |||
| x-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter x<sub>s</sub> die Parabel? | |||
|- | |||
| Ebene || Die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub> bewirken eine Verschiebung der Normalparabel in der... | |||
|- | |||
| y-Achse || Auf welcher Achse verschiebt der Parameter y<sub>s</sub> die Parabel? | |||
|- | |||
| Zwei || Um wie viele Einheiten wird die Funktion f(x) = (x - 5)² + 2 nach oben verschoben? | |||
</div> | </div> | ||
|} | |||
|} | |||
<br> | <br> | ||
<br> | |||
<br> | |||
{{Merke| | |||
Für die quadratische Funktion '''f(x)<math>=</math>(x - x<sub>s</sub>)<sup>2</sup> + y<sub>s</sub>''' gilt: | |||
* Der Graph der Funktion ist eine '''verschobene''' Parabel in der '''Ebene''' | |||
* Die Parabel ist '''kongruent''' zur Normalparabel | |||
* Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um '''x Einheiten''' entlang der '''x-Achse''' und um '''y Einheiten''' entlang der '''y-Achse''' | |||
* Der '''Scheitelpunkt''' liegt bei S [x<sub>s</sub>; y<sub>s</sub>] | |||
* Die '''Symmetrieachse''' hat die Gleichung x <math>=</math> y<sub>s</sub> | |||
}} | |||
<div align="center"><big><u>'''STATION 6: Aufgaben zur Scheitelpunktsform'''</u></big></div> | |||
''' | <big>'''1. Aufgabe: Multiple Choice'''</big> | ||
</ | |||
Kreuze '''alle''' richtigen Aussagen an! | |||
<div class="multiplechoice-quiz"> | <div class="multiplechoice-quiz"> | ||
''' | '''f(x) <math>=</math> (x - 5)<sup>2</sup> - 3''' (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben) | ||
'''f(x) <math>=</math> 5 + (x + 12)<sup>2</sup>''' (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse) | |||
'''f(x) <math>=</math> x<sup>2</sup> + 3''' (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet) | |||
< | '''f(x) <math>=</math>-5 + (x - 6)<sup>2</sup>''' (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben) | ||
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<big>'''2. Aufgabe:'''</big> | |||
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. | |||
Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift: | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
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| || <u> Scheitelpunkt </u> || <u> Funktionsgleichung </u> | |||
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| 1. || S <math>(2\!\,|\!\,-5)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 2]<sup>2</sup> - 5 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 2. || S <math>(4\!\,|\!\,-8)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> - 8 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 3. || S <math>(4\!\,|\!\,8)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 4]<sup>2</sup> + 8 </strong> <br> | |||
|- | |||
| 4. || S <math>(5\!\,|\!\,-2)</math> || <strong> y<math>=</math> [x - 5]<sup>2</sup> - 2 </strong> <br> | |||
|} | |||
</div> | |||
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'''Aufgabe:''' | <big>'''3. Aufgabe-Zuordnung:'''</big> | ||
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen! | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
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| [[Bild: | | [[Bild:Parabel1lo.jpg]] |||| [[Bild:Parabel1ro.jpg]] |||| [[Bild:Parabel1ru.jpg]] |||| [[Bild:Parabel1lu.jpg]] | ||
|- | |- | ||
| <strong> y = | | <strong> y<math>=</math> [x + 3]<sup>2</sup> + 4 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x - 3]<sup>2</sup> + 2 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x - 1]<sup>2</sup> - 5 </strong> |||| <strong> y<math>=</math> [x + 5]<sup>2</sup> - 1 </strong> | ||
|} | |} | ||
</div> | </div> | ||
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<br> | <br> | ||
< | <big>'''4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:'''</big> | ||
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken. <br> | |||
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)<sup>2</sup> + 1,5 und die Punkte W, X, T und P. | |||
Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung! | |||
< | a) W <math>(0\!\,|\!\,1)</math> | ||
b) X <math>(0\!\,|\!\,10,5)</math> | |||
c) T <math>(-1\!\,|\!\,2)</math> | |||
d) P <math>(-3\!\,|\!\,1,5)</math> | |||
Hilfe: <br> Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen! | |||
{{versteckt| | |||
[[Setze den x-Wert in die Gleichung ein, wenn du den vorgegebenen y-Wert erhälst, dann liegt der Punkt auf der Parabel]] | |||
}} | |||
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren. | |||
Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen. | |||
<div align="center"><ggb_applet height="480" width="580" showResetIcon="true" filename="Für_Lernpfad_2_Station_6_Aufgabe_4.ggb " /></div> | |||
'''Prima!''' | |||
Damit kennst du nun die Parameter x<sub>s</sub> und y<sub>s</sub>, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind. | |||
In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen. |
Version vom 9. September 2009, 10:35 Uhr
Im letzten Lernpfad hast du die quadratische Funktion "f(x) = x2" kennen gelernt.
In diesem Lernpfad wollen wir uns mit zwei zusätzlichen Parametern beschäftigen.
Bevor wir beginnen, soll zunächst noch ein neuer Begriff einführ werden, da dieser später häufiger verwendet wird.
Die quadratische Funktion "f(x)x2" ist eine spezielle Parabel. Von ihr aussgehend werden alle Veränderungen betrachtet und man nennt sie deshalb Normalparabel
Zunächst betrachten wir den Parameter ys, welcher zur quadratischen Funktion "f(x) = x2" dazuaddiert wird. Die quadratische Funktion schaut dann wie folgt aus:
f(x) = x2 + ys
Bearbeite das folgende Arbeitsblatt und entdecke die Eigenschaften vom Parameter ys!
Quadratische Funktion f(x)x2+ ys | Hinweise, Aufgabe und Lückentext: |
---|---|
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Hinweise: Der Parameter ys verschiebt die Normalparabel auf der y-Achse. Dabei bleibt die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel. |
Für die quadratische Funktion "f(x)x² + ys" gilt:
- Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der y-Achse
- Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
- Für ys > 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach oben
- Für ys < 0 gilt: Verschiebung um y Einheiten nach unten
- Der Scheitelpunkt liegt bei S (0; ys)
- Die y-Achse ist Symmetrieachse
Es folgen nun einige Aufgaben, um das gerade erlernte Wissen zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Du siehst hier 5 verschiedene Graphen der quadratischen Funktion "f(x) = x2 + ys". Ermittle zu den vorgegebenen Graphen die passende Funktionsgleichung. Falls du Probleme hast, betrachte nochmals die Veränderungen des oben aufgeführten Graphen.
2. Aufgabe:
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S | y x2 + 4,7 |
2. | S | y x2 - 23 |
3. | S | y x2 - 2,5 |
4. | S | y x2 |
5. | S | y x2 + 13 |
3. Aufgabe:
Nun hast du die Funktionsgleichung gegeben. Finde jetzt den zugehörigen Scheitelpunkt S.
Funktionsgleichung | Scheitelpunkt | |
1. | y x2 + 5,2 | S [0; 5,2] |
2. | y 3 + x2 | S [0; 3] |
3. | y x2 - 3 | S [0; -3] |
4. | y x2 | S [0; 0] |
4. Aufgabe: Zuordnung
Aufgabe | Quadratische Funktion f(x)x2+ ys | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Gegeben sind fünf Funktionsgleichungen, sowie fünf verschiedene Koordinaten. Finde zu jeder Funktionsgleichung den Punkt, der auf ihrer Parabel liegt.
Hilfe:
|
Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Nachdem du jetzt den Parameter ys kennst, wollen wir uns mit dem Parameter xs beschäftigen. Er wird in die quadratische Funktion wie folgt integriert:
f(x) = (x - xs)2
Um die Eigenschaften dieses Parameters zu erlernen, bediene den Schieberegler xs in der nachfolgenden Geogebraanwendung, er verändert dessen Wert. Die schwarz-strichelte Parabel ist die Normalparabel. Löse anschließend den darauf folgenden Lückentext und ziehe hierfür die richtigen Textbausteine mit gehaltener linker Maustaste in die Lücken!
Lückentext! - Ordne die richtigen Begriffe zu:
Der Parameter xs der quadratischen Funktion "f(x) = (x - xs)2" bewirkt eine Verschiebung der Normalparabel auf der x-Achse. Wie schon bei der Verschiebumg des Parameters ys, ist die verschobene Parabel kongruent zur Normalparabel.
Mit Hilfe des Schiebereglers xs stellt man fest, dass für positive Werte eine Verschiebung um x-Einheiten nach rechts erfolgt. Ist der Wert von xs negativ, so wird der Graph um x-Einheiten nach links verschoben.
Aber Achtung! Es wird ein kleines Verwirrspiel getrieben, denn für positive x-Werte lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x - xs]2". Man macht leicht den Fehler und stellt für positve Werte die Gleichung "f(x) = [x + xs]2" auf. Da die Funktionsgleichung jedoch "f(x) = (x - xs)2" lautet, entsteht für positive Werte eine Differenz in der Klammer. Genau andersherum verhält es sich für negative Werte von xs, denn dort lautet die Funktionsgleichung "f(x) = [x + xs]2".
Für den Scheitelpunkt gelten die Koordinaten "S [xs; 0]", denn der y-Wert bleibt Null.
Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse senkrecht zur x-Achse.
Das waren einige wichtige Erkenntnisse, die wir nachfolgend festhalten wollen!
Für die quadratische Funktion "f(x)(x - xs)2" gilt:
- Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel entlang der x-Achse
- Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
- Für xs > 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach rechts
- Für xs < 0 gilt: Verschiebung um x Einheiten nach links
- Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; 0]
- Die Symmetrieachse ist die Parallelachse zur y-Achse, senkrecht zur x-Achse
Achtung!
- Für xs > 0, mit einer Verschiebung nach rechts, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x – xs)2"
Beispiel: Für xs = 5: f(x) = (x - 5)2
- Für xs < 0, mit einer Verschiebung nach links, lautet die Funktionsgleichung "f(x) = (x + xs)2"
Beispiel: Für xs = -5: f(x) = (x + 5)2
Ebenso wie beim Parameter ys, folgen wieder einige Aufgaben, um auch diese Eigenschaften zu vertiefen.
1. Aufgabe: Zuordnung
Gegeben sind die Graphen 5 verschiedener quadratischer Funktionen. Ordne jedem Graph die richtige Funktionsgleichung durch "drag and drop" zu:
2. Aufgabe:
Bestimme mit Hilfe der vorgegebenen Scheitelpunkte die Funktionsgleichung. Ordne dann die entsprechende Funktionsgleichung dem jeweiligen Scheitelpunkt zu!
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S | y [x - 2,5]2 |
2. | S | y [x + 3]2 |
3. | S | y [x + 2,5]2 |
4. | S | y x2 |
5. | S | y [x - 3]2 |
3. Aufgabe:
Du siehst im folgendenden Koordinatensystem 3 Parabeln. Man kann diese 3 Parabeln durch bedienen der Schieberegler verschieben. Verschiebe die drei Parabeln so, dass sie den Platz für die folgenden Funktionsgleichungen einnehmen.
f(x) = (x - 2)2 f(x) = (x - 5)2 f(x) = (x + 3)2
Überprüfe anschlißend durch Anklicken des Kontrollkästchens, ob du die Aufgabe richtig gelöst hast. Überdecken die blau-gestrichelten Parabeln deine verschobenen Parabeln, dann hast du alles richtig gemacht.
Bevor wir nun die beiden Parameter ys und xs zusammenführen, wollen wir nochmal die wichtigsten Eigenschaften wiederholen. Löse dafür die folgende Zuordnung.
Mal sehen wer am wenigstens Versuche braucht!
Frage | Antwort | |
1. | Wie lautet der Scheitelpunkt für y [x - 2]2? | S [2, 0] |
2. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach unten auf der y-Achse? | y x2 - ys |
3. | Wie lautet der Scheitelpunkt für y x2 - 4? | S [0, -4] |
4. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach links auf der x-Achse? | y [x + xs]2 |
5. | Wie lautet der Scheitelpunkt für y x2 + 2? | S [0, 2] |
6. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach rechts auf der x-Achse? | y [x - xs]2 |
7. | Wie lautet die Funktionsgleichung für eine Verschiebung nach oben auf der y-Achse? | y x2 + ys |
8. | Wie lautet der Scheitelpunkt für y [x + 4]2? | S [-4, 0] |
Jetzt sind wir an dem Punkt angekommen, an dem wir die Scheitelpunktsform aufstellen können.
In dieser Lerneinheit hast du die Parameter ys und xs einzeln kennen gelernt.
Ziel dieser Lerneinheit ist die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys", in der beide Parameter integriert sind.
Du weißt mittlerweile, welche Aufgaben der jeweilige Parameter hat.
Während der Parameter ys für den y-Wert im Koordinatensystem steht, gibt der Parameter xs den x-Wert an. Genau durch diese beiden Punkte wird der Scheitelpunkt der Parabel bestimmt und man nennt die quadratische Funktion "f(x) = (x - xs)2 + ys" deshalb Scheitelpunktsform.
Die Scheitelpunktsform vereint somit die Eigenschaften der Paramter xs und ys.
Im folgenden Kreuzworträtsel werden diese Eigenschaften nun nochmal abgefragt. Viel Erfolg!
Quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys | Hinweise und Quiz: | ||||||||||||||||||
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Die Datei [INVALID] wurde nicht gefunden. |
Hinweise: Quiz: Beim Klick auf die Ziffern im Kreuzworträtsel öffnet sich ein Eingabefeld. Trage dort deine Antwort ein. In deiner Lösung dürfen keine Bindestriche vorkommen, dass bedeutet z.B. für x-Achse schreibt man xAchse. Erst wenn das komplette Rätsel ausgefüllt ist, können die Ergebnisse überprüft werden.
|
Für die quadratische Funktion f(x)(x - xs)2 + ys gilt:
- Der Graph der Funktion ist eine verschobene Parabel in der Ebene
- Die Parabel ist kongruent zur Normalparabel
- Man erhält den Graph von f durch verschieben der Normalparabel um x Einheiten entlang der x-Achse und um y Einheiten entlang der y-Achse
- Der Scheitelpunkt liegt bei S [xs; ys]
- Die Symmetrieachse hat die Gleichung x ys
1. Aufgabe: Multiple Choice
Kreuze alle richtigen Aussagen an!
f(x) (x - 5)2 - 3 (!Die Parabel ist nach rechts und nach oben verschoben)(!Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [-3, 5])(Die Parabel hat den Scheitelpunkt S [5, -3]) (!Die Parabel ist nach unten geöffnet) (Die Parabel ist nach rechts und nach unten verschoben)
f(x) 5 + (x + 12)2 (!Es liegt keine Parabel vor) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach oben verschoben) (!Die Parabel ist um 12 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 12 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse) (!Die Parabel hat keine Symmetrieachse)
f(x) x2 + 3 (!Die Parabel ist eine um 3 Einheiten nach links verschobene Normalparabel) (Die Parabel hat den Scheitelpunkt [0, 3]) (Die Symmetrieachse der Parabel ist die y-Achse) (!Die Parabel ist um eine Einheit nach rechts verschoben) (Die Parabel ist nach oben geöffnet)
f(x) -5 + (x - 6)2 (!Die Funktionsgleichung ist keine quadratische Funktion) (!Die Parabel ist um 5 Einheiten nach links verschoben) (Die Parabel ist um 6 Einheiten nach rechts verschoben) (Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten verschoben) (! Die Parabel ist um 5 Einheiten nach unten und um 6 Einheiten nach links veschoben)
2. Aufgabe:
Gegeben ist der Scheitelpunkt S einer verschobenen Normalparabel. Finde zum jeweiligen Scheitelpunkt die richtige Funktionsvorschrift:
Scheitelpunkt | Funktionsgleichung | |
1. | S | y [x - 2]2 - 5 |
2. | S | y [x - 4]2 - 8 |
3. | S | y [x - 4]2 + 8 |
4. | S | y [x - 5]2 - 2 |
3. Aufgabe-Zuordnung:
Finde die richtige Funktionsvorschrift für die Graphen!
4. Aufgabe: KNIFFELAUFGABE:
Zum Abschluss dieser Lektion noch eine kleine Aufgabe zum Nachdenken.
Gegeben ist die Funktion f(x) = (x + 3)2 + 1,5 und die Punkte W, X, T und P.
Welche der folgenden Punkte liegt auf dem Graphen? Überprüfe dies durch Kopfrechnung!
a) W b) X c) T d) P
Hilfe:
Falls du nicht weiterkommst, lass dir helfen!
Vorlage:Versteckt
Bediene nun noch den Schieberegler um den Graphen an die richtige Stelle zu positionieren.
Mit dem Anklicken des Kontrollkästchens "Punkte an", erkennst du, welche Punkte auf der Parabel liegen.
Prima!
Damit kennst du nun die Parameter xs und ys, welche für die Verschiebung der Parabel in der Ebene verantwortlich sind.
In der nächsten Lerneinheit lernst du dann die Normalform kennen.