Integralrechnung/Aufgaben II und Einführung in die Integralrechnung: Unterschied zwischen den Seiten

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<!--==Aufgaben II==-->
{{Lernpfad|In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/index.htm Einführung in die Integralrechnung] der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von [http://www.mathe-online.at/ mathe-online] und [http://www.geogebra.at GeoGebra] entstanden ist.}}
===Beispiel===
{{Babel-1|M-digital}}
Das Integral <math>\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x</math> berechnet sich mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wie folgt:
__NOTOC__
<br><br>
===1. Das Flächenproblem===
<math>\int\limits_1^4 x^2 \ \mathrm{d}x = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_1^4 = \frac{1}{3} \cdot 4^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = 21</math>.
*Wie groß ist der [http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/Grundstueck.htm Flächeninhalt des Grundstücks]?<br>
<br><br>
*Wie groß ist der [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/wasserverbrauch.htm    Wasserverbrauch]?
{{Aufgaben-M|17|
===2. Unter- und Obersumme===
Berechne das bestimmte Integral!
[[bild:Integral1.png|right]]
# <math>\int\limits_2^5 \frac{2}{3}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^3 \sqrt{5} \ \mathrm{d}x;  
*Begriffsklärung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme.htm Unter- und Obersumme]
  \qquad \int\limits_4^5 2x^2 \ \mathrm{d}x</math>
*'''Aufgabe''': Gegeben ist die Funktion f(x) = 0.25 x².
# <math>\int\limits_3^7 2 \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_2^5 1 \ \mathrm{d}x;
#Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  \qquad \int\limits_2^4 0 \ \mathrm{d}x</math>
#Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
# <math>\int\limits_3^8 \frac{1}{\sqrt{x}}x \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_1^2 \frac{5}{\sqrt{x}} \ \mathrm{d}x; \qquad \int\limits_4^9 \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ \mathrm{d}x</math>
#Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
}}
#[[Mathematik-digital/Einführung in die Integralrechnung/Lösung|Lösung]]
<br>
*Berechnung von Unter- und Obersummen mit [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/unterobersumme_geogebra.htm  GeoGebra]
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
*Zusammmenfassung im {{pdf|Infini_AB1.pdf|Arbeitsblatt 1}}
# <math>7; \quad 2 \sqrt{5}; \quad \frac{122}{3}</math>
 
# <math>8; \quad 3; \quad 0</math>
=== 3. Das bestimmte Integral ===
# <math>11,62; \quad 10 \sqrt{2} - 10; \quad 1</math>
*Berechne:  <math>\int_{0}^{3}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>;  <math>\int_{1}^{4}(x^2-2x-3)\, \mathrm{d}x</math>
}}}}
*Überprüfe die Lösung mit folgendem {{Ggb|Bestimmtes_Integral.ggb|Applet}}. Verändere die Schieberegler!
<br>
*{{pdf|Infini AB02.pdf|Weitere Aufgaben mit Lösung zur Berechnung bestimmter Integrale}}
{{Aufgaben-M|18|
 
Berechne das Integral.
=== 4. Flächenberechnung ===
# <math>\int\limits_0^3 (2x^3 + 3x - 2) \ \mathrm{d}x</math>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue1.htm Aufgaben zur Flächenberechnung] mit Geogebra
# <math>\int\limits_1^2 \frac{1 + 3x^2}{5} \ \mathrm{d}x</math>
* Kläre die Bedeutung [http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/bestInt_ue2.htm "negativer Flächeninhalt"]
# <math>\int\limits_1^3 \frac{3x^2 - 7\sqrt{x}}{x} \ \mathrm{d}x</math>
*Erkläre den Unterschied zwischen dem Wert des bestimmten Integrals und dem [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/orientierteflaeche/flaeche.html| Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse!]
}}
 
<br>
=== 5. Integralfunktion ===
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
* Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur [http://www.geogebra.at/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/integralfkt/integralfkt1.html Integralfunktion]. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
# <math>48</math>
*Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
# <math>\frac{8}{5}</math>
*Bearbeite nun als Zusammmenfassung das {{pdf|Infini_AB7.pdf|Arbeitsblatt 4}}.
# <math>26 - 14 \sqrt{3}</math>
 
}}}}
===6. Aufgaben===
<br>
*[http://www.geogebra.at/medienvielfalt/materialien/int_einfuehrung/lernpfad/content/beispiel_unb_grenze.htm  Integration mit unbekannten Grenzen]
{{Aufgaben-M|19|
 
Berechne die Fläche zwischen dem Graphen von <math>f</math> und der x-Achse.
===7. Hauptsatz der Integralrechnung ===
# <math>f(x) = -x^3 + x</math>
*[http://teacher.eduhi.at/alindner/Dyn_Geometrie/DiffInt/HS_DiffInt.htm Satz mit ausführlichem Beweis]
# <math>f(x) = 4 x^2 - 3</math>
 
# <math>f(x) = (x^2 - 16)(x^2 + 3)</math>
{{Mitgewirkt|
}}
*[[Benutzer:Maria Eirich|Maria Eirich]] 22:11, 25. Feb 2007 (CET)
<br>
*[[Benutzer:Andrea schellmann|Andrea Schellmann]] 22:29, 25. Feb 2007 (CET)}}
{{Lösung versteckt|{{Lösung|
# Es ergeben sich die Nullstellen -1, 0 und 1. Damit müssen zwei Integrale ausgewertet werden. Diese erstrecken sich von der ersten bis zur zweiten Nullstelle sowie von der zweiten bis zur dritten. Insgesamt ergibt sich der Wert für die Fläche aus den Beträgen der einzelnen Integrale zu <math>\frac{1}{2}</math>. Nach der Regel zur Intervalladditivität könnte auch ein einzelnes Integral von der niedrigsten bis zur höchsten Nullstelle betrachtet werden, wenn nach dem Wert des Integrals gefragt wäre. Jedoch ist nach der Fläche gefragt. Deshalb müssen die Beträge der Integrale einzeln betrachtet werden!!! Vergleiche dazu den Wert des Integrals in denselben Grenzen, er ist 0.
# Nullstellen: <math>\frac{1}{2}\sqrt{3}</math> und <math>- \frac{1}{2}\sqrt{3}</math>. Der Flächeninhalt hat den Wert <math>2 \sqrt{3}</math>.
# Nullstellen: 4 und -4. Der Flächeninhalt hat den Wert <math>\frac{7936}{15}</math>.
<br>
Bemerkung: Hier gibt es nur positive Ergebnisse, da die Beträge der Integrale auszuwerten sind, denn es waren ja die Flächen gefragt und nicht die Integrale!
}}}}
<br>
<div align="center">
[[../Integrationsregeln|<<Zurück<<]] &nbsp; &nbsp; [[Benutzer:Dickesen|Autor]]
</div>
<br>
{{Navigation Lernpfad Integral}}

Version vom 6. März 2007, 23:04 Uhr

Lernpfad
Einführung in die Integralrechnung
In diesem Lernpfad können die Schüler die grundlegenden Zusammenhänge der Integralrechnung anhand vieler interaktiver Übungen entdecken. Einige Übungen sind dem gleichnamigen Lernpfad Einführung in die Integralrechnung der österreichischen Arbeitsgruppe Medienvielfalt entnommen, die aus einer Kooperation von mathe-online und GeoGebra entstanden ist.


Vorlage:Babel-1

1. Das Flächenproblem

2. Unter- und Obersumme

Integral1.png
  1. Zerlege das Intervall [0;4] in 8 gleichlange Teilintervalle und skizziere den Graphen und die Rechtecke in dein Heft.
  2. Berechne die zugehörige Ober- und Untersumme.
  3. Gib auch das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme als Näherungswert für die Fläche unter dem Funktionsgraphen an.
  4. Lösung

3. Das bestimmte Integral

4. Flächenberechnung

5. Integralfunktion

  • Bearbeite die Punkte 1 bis 6 des dynamischen Arbeitsblatts zur Integralfunktion. Halte die Ergebnisse in deinem Heft fest.
  • Überlege: Welche Funktionen der Kurvenschar sind keine Integralfunktionen?
  • Bearbeite nun als Zusammmenfassung das Pdf20.gif Arbeitsblatt 4.

6. Aufgaben

7. Hauptsatz der Integralrechnung

Vorlage:Mitgewirkt

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