Trigonometrische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Einsatz einer Tabellenkalkulation)
 
(10 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 +
== Lernpfade ==
 +
 +
* {{Lernpfadlink-M-digital|Die trigonometrischen Funktionen}}
 +
* {{Lernpfadlink-M-digital|Trigonometrische Funktionen}}
 +
* {{mv|Trigonometrische Funktionen}}
 +
 +
== Ableitung und Stammfunktion ==
 +
 +
<center>
 +
{| class="wikitable"
 +
|+<big>Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen</big>
 +
|-
 +
!<math>\operatorname{}</math>
 +
 +
!<span style="color:#00688B">sin(x)</span>
 +
!<span style="color:#00688B">cos(x)</span>
 +
!<span style="color:#00688B">tan(x)</span>
 +
!<span style="color:#00688B">arc sin(x)</span>
 +
!<span style="color:#00688B">arc cos(x)</span>
 +
!<span style="color:#00688B">arc tan(x)</span>
 +
|- 
 +
|<span style="color:#00688B">'''F(x)'''</span>
 +
|<math>\operatorname{-cos(x)}</math>
 +
|<math>\operatorname{sin(x)}</math>
 +
|<math>\operatorname{-\ln|\cos x|}</math>
 +
|<math>\operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}}</math>
 +
|<math>\operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}}</math>
 +
|<math>\operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}</math>
 +
|-
 +
|<span style="color:#00688B">'''f '(x)'''</span>
 +
|<math>\operatorname{cos(x)}</math>
 +
|<math>\operatorname{-sin(x)}</math>
 +
|<math>\operatorname{1+tan^2(x)}</math>
 +
|<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 +
|<math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
 +
|<math>\operatorname{\frac{1}{x^2+1}}</math>
 +
|
 +
|}</center>
 +
 +
 +
== Eigenschaften der Funktionen ==
 +
[[Datei:Trigonometrische Funktionen.png|miniatur|700px|Funktionsgraphen]]
 +
 +
=== Eigenschaften der Sinusfunktion ===
 +
 +
;Funktion: <math>\operatorname{f(x)=\sin(x)}</math>
 +
 +
;Definitionsbereich: <math>x\in\mathbb{R}</math> <br>
 +
 +
;Wertebereich: <math>\operatorname{[-1;1]}</math><br>
 +
 +
;Nullstellen:       
 +
:<math>f(0)=k\cdot 180^\circ</math>   
 +
:bzw.    <math>\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}</math>     
 +
:wobei <math>k\in\mathbb{Z}</math><br>
 +
 +
;Hochpunkte:
 +
:bei <math>x\in[0;2\pi]</math>  ;  <math>x=\frac{\pi}{2}</math> 
 +
:bzw.  <math>x=90^\circ</math><br> 
 +
 +
;Tiefpunkte:
 +
:bei <math>x\in[0;2\pi]</math>  ;  <math>x=\frac{3}{2}\pi</math> 
 +
:bzw.    <math>x=270^\circ</math>
 +
 +
;Periode: <math>360^\circ</math> bzw. <math>\operatorname{2\pi}</math>
 +
 +
;Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung  <math>\operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}</math><br>
 +
 +
 +
=== Eigenschaften der Cosinusfunktion ===
 +
 +
;Funktion: <math>\operatorname{f(x)=\cos(x)}</math>
 +
 +
;Definitionsbereich: <math>x\in\mathbb{R}</math> <br>
 +
 +
;Wertebereich: <math>\operatorname{[-1;1]}</math><br>
 +
 +
;Nullstellen:       
 +
:<math>f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ</math>   
 +
:bzw.    <math>f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi</math>     
 +
:wobei <math>k\in\mathbb{Z}</math><br>
 +
 +
;Hochpunkte:
 +
:bei <math>x\in[0;2\pi]</math>  ;  <math>\operatorname{x=0}</math> ; <math>\operatorname{x=2\pi}</math> 
 +
:bzw.  <math>x=0^\circ</math> ; <math>x=360^\circ</math><br> 
 +
 +
;Tiefpunkte:
 +
:bei <math>x\in[0;2\pi]</math>  ; <math>\operatorname{x=\pi}</math> 
 +
:bzw.    <math>x=180^\circ</math>
 +
 +
;Periode:
 +
:<math>360^\circ</math> bzw. <math>\operatorname{2\pi}</math>
 +
 +
;Symmetrie: achsensymmetrisch zur y-Achse  <math>\operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}</math>
 +
 +
 +
=== Eigenschaften der Tangensfunktion ===
 +
 +
;Funktion: <math>\operatorname{f(x)=\tan(x)}</math>
 +
 +
;Definitionsbereich: <math>x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}  </math> <br>
 +
 +
;Wertebereich: <math>\operatorname{\mathbb{R}}</math><br>
 +
 +
;Nullstellen:       
 +
:<math>f(0)=k\cdot 180^\circ</math>   
 +
:bzw.    <math>\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}</math>     
 +
:wobei <math>k\in\mathbb{Z}</math><br>
 +
 +
;Extrema: Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da <math>\operatorname{f'(x)}</math> an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
 +
 +
;Periode: <math>180^\circ</math> bzw. <math>\operatorname{\pi}</math>
 +
 +
;Symmetrie: punktsymmetrisch zum Koordinatensystem  <math>\operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}</math>
 +
 +
 +
=== trigonometrischer Pythagoras ===
 +
 +
:<math>\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}</math>
 +
::Pythagoras lautet <math>\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}</math>. Die Kathete und die Ankathete sind <math>\operatorname{\sin \alpha}</math> und <math>\operatorname{\cos \alpha}</math>. Die Hypotenuse hat die Länge <math>\operatorname{1}</math>.
 +
::Es gilt <math>\operatorname{1^2 = 1}</math>.
 +
 +
 +
=== Additionstheoreme ===
 +
 +
:<math>\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
 +
:<math>\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}</math>
 +
:<math>\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
 +
:<math>\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}</math>
 +
:<math>\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
 +
:<math>\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}</math>
 +
  
 
== Einsatz einer Tabellenkalkulation ==
 
== Einsatz einer Tabellenkalkulation ==
  
−
**Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d <br>  (trig steht für sin, cos, tan oder cot)  zum Beispiel mit:  http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
+
*Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d <br>  (trig steht für sin, cos, tan oder cot)  zum Beispiel mit:  http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
  
 
== Funktionsplotter-Einsatz ==
 
== Funktionsplotter-Einsatz ==
 
* Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d <br>  (trig steht für sin, cos, tan oder cot) :  http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
 
* Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d <br>  (trig steht für sin, cos, tan oder cot) :  http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
 
* [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigonometrisch1.html Untersuchung der Parameter] von f(x) = b sin(x+a)+c [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigonometrie_projektbeschreibung.pdf Kommentar (pdf)], [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigo_funktionen.zip Download (zip)]
 
* [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigonometrisch1.html Untersuchung der Parameter] von f(x) = b sin(x+a)+c [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigonometrie_projektbeschreibung.pdf Kommentar (pdf)], [http://www.geogebra.at/de/examples/trigo_funktionen/trigo_funktionen.zip Download (zip)]
−
 
−
== Lernpfade ==
 
−
 
−
{{Lernpfad-M-digital|Die trigonometrischen Funktionen}}
 
  
 
== Siehe auch ==
 
== Siehe auch ==
  
 
* [[Funktionsplotter/Einsatz]]
 
* [[Funktionsplotter/Einsatz]]
 +
* [[Lernvideos Mathematik/Winkelfunktionen]]
 
* [[Tabellenkalkulation/Einsatz]]
 
* [[Tabellenkalkulation/Einsatz]]
 
* [[Themenstränge im Mathematikunterricht]]
 
* [[Themenstränge im Mathematikunterricht]]
Zeile 20: Zeile 149:
  
  
−
[[Kategorie:Funktionen]]
+
[[Kategorie:Trigonometrische Funktionen|!]]
−
 
+
[[Kategorie:Mathematik]][[Kategorie:Koffer gepackt]]
  
 
[[mvw:Trigonometrische Funktionen]]
 
[[mvw:Trigonometrische Funktionen]]

Aktuelle Version vom 8. März 2017, 17:32 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Lernpfade

Ableitung und Stammfunktion

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen
\operatorname{} sin(x) cos(x) tan(x) arc sin(x) arc cos(x) arc tan(x)
F(x) \operatorname{-cos(x)} \operatorname{sin(x)} \operatorname{-\ln|\cos x|} \operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}} \operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}
f '(x) \operatorname{cos(x)} \operatorname{-sin(x)} \operatorname{1+tan^2(x)} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \operatorname{\frac{1}{x^2+1}}


Eigenschaften der Funktionen

Funktionsgraphen

Eigenschaften der Sinusfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\sin(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}
Wertebereich
\operatorname{[-1;1]}
Nullstellen
f(0)=k\cdot 180^\circ
bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
wobei k\in\mathbb{Z}
Hochpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{\pi}{2}
bzw. x=90^\circ
Tiefpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; x=\frac{3}{2}\pi
bzw. x=270^\circ
Periode
360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
Symmetrie
punktsymmetrisch zum Ursprung \operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}


Eigenschaften der Cosinusfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\cos(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}
Wertebereich
\operatorname{[-1;1]}
Nullstellen
f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ
bzw. f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi
wobei k\in\mathbb{Z}
Hochpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=0} ; \operatorname{x=2\pi}
bzw. x=0^\circ ; x=360^\circ
Tiefpunkte
bei x\in[0;2\pi]  ; \operatorname{x=\pi}
bzw. x=180^\circ
Periode
360^\circ bzw. \operatorname{2\pi}
Symmetrie
achsensymmetrisch zur y-Achse \operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}


Eigenschaften der Tangensfunktion

Funktion
\operatorname{f(x)=\tan(x)}
Definitionsbereich
x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}
Wertebereich
\operatorname{\mathbb{R}}
Nullstellen
f(0)=k\cdot 180^\circ
bzw. \operatorname{f(0)=k\cdot \pi}
wobei k\in\mathbb{Z}
Extrema
Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da \operatorname{f'(x)} an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
Periode
180^\circ bzw. \operatorname{\pi}
Symmetrie
punktsymmetrisch zum Koordinatensystem \operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}


trigonometrischer Pythagoras

\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}
Pythagoras lautet \operatorname{a^2 + b^2 = c^2}. Die Kathete und die Ankathete sind \operatorname{\sin \alpha} und \operatorname{\cos \alpha}. Die Hypotenuse hat die Länge \operatorname{1}.
Es gilt \operatorname{1^2 = 1}.


Additionstheoreme

\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}
\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}
\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}


Einsatz einer Tabellenkalkulation

Funktionsplotter-Einsatz

Siehe auch

Von „https://wiki.zum.de/index.php?title=Trigonometrische_Funktionen&oldid=365357“