Trigonometrische Funktionen

Ableitung und Stammfunktion

Ableitung und Stammfunktion von Trigonometrischen Funktionen

$\operatorname{}$	sin(x)	cos(x)	tan(x)	arc sin(x)	arc cos(x)	arc tan(x)
F(x)	$\operatorname{-cos(x)}$	$\operatorname{sin(x)}$	$\operatorname{-\ln|\cos x|}$	$\operatorname{x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{x \arccos x-\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{x \arctan x-\tfrac 12\ln\left(1+x^2\right)}$
f '(x)	$\operatorname{cos(x)}$	$\operatorname{-sin(x)}$	$\operatorname{1+tan^2(x)}$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{\frac{1}{x^2+1}}$

Eigenschaften der Funktionen

Funktionsgraphen

Eigenschaften der Sinusfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\sin(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{[-1;1]}$
    
• Nullstellen:
  • $f(0)=k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    
• Hochpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $x=\frac{\pi}{2}$
  • bzw. $x=90^\circ$
    

• Tiefpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $x=\frac{3}{2}\pi$
  • bzw. $x=270^\circ$
• Periode:
  • $360^\circ$ bzw. $\operatorname{2\pi}$
• Symmetrie:
  • punktsymmetrisch zum Ursprung $\operatorname{\sin(-x)=-\sin(x)}$
    

Eigenschaften der Cosinusfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\cos(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{[-1;1]}$
    

• Nullstellen:
  • $f(0)=90^\circ+k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $f(0)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \pi$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    

• Hochpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $\operatorname{x=0}$ ; $\operatorname{x=2\pi}$
  • bzw. $x=0^\circ$ ; $x=360^\circ$
    

• Tiefpunkte:
  • bei $x\in[0;2\pi]$  ; $\operatorname{x=\pi}$
  • bzw. $x=180^\circ$
• Periode:
  • $360^\circ$ bzw. $\operatorname{2\pi}$
• Symmetrie:
  • achsensymmetrisch zur y-Achse $\operatorname{\cos(-x)=\cos(x)}$

Eigenschaften der Tangensfunktion

• Funktion:
  • $\operatorname{f(x)=\tan(x)}$
• Definitionsbereich:
  • $x\in\mathbb{R}\setminus \left \{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right \}$
    
• Wertebereich:
  • $\operatorname{\mathbb{R}}$
    
• Nullstellen:
  • $f(0)=k\cdot 180^\circ$
  • bzw. $\operatorname{f(0)=k\cdot \pi}$
  • wobei $k\in\mathbb{Z}$
    
• Extrema:
  • Es gibt keine Hochpunkte und Tiefpunkte, da $\operatorname{f'(x)}$ an keiner Stelle den Wert 0 annimmt.
• Periode:
  • $180^\circ$ bzw. $\operatorname{\pi}$
• Symmetrie:
  • punktsymmetrisch zum Koordinatensystem $\operatorname{\tan(-x)=-\tan(x)}$

trigonometrischer Pythagoras

• $\operatorname{\sin^2 x +\cos^2x =1}$
  • Pythagoras lautet $\operatorname{a^2 + b^2 = c^2}$. Die Kathete und die Ankathete sind $\operatorname{\sin \alpha}$ und $\operatorname{\cos \alpha}$. Die Hypotenuse hat die Länge $\operatorname{1}$.
  • Es gilt $\operatorname{1^2 = 1}$.

Additionstheoreme

• $\operatorname{\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha\cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha\cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta}$
• $\operatorname{\tan(\alpha+\beta)=\frac{(\tan \alpha+ \tan \beta)}{(1-\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}$
• $\operatorname{\tan(\alpha-\beta)=\frac{(\tan \alpha- \tan \beta)}{(1+\tan \alpha \cdot \tan \beta)}}$

Lernpfade

 Die trigonometrischen Funktionen

Benutzer:MarinaMueller/Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen - im Medienvielfalt-Wiki

Einsatz einer Tabellenkalkulation

• Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d
  (trig steht für sin, cos, tan oder cot) zum Beispiel mit: http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls

Funktionsplotter-Einsatz

• Veranschaulichung der Wirkungen von Parameter-Änderungen in Trigonometrischen Funktionen f(x) = a·trig(b·(x+c))+d
  (trig steht für sin, cos, tan oder cot) : http://www.kohorst-lemgo.de/helmut/trigfunk/trigfunk.xls
• Untersuchung der Parameter von f(x) = b sin(x+a)+c Kommentar (pdf), Download (zip)

Siehe auch

• Funktionsplotter/Einsatz
• Tabellenkalkulation/Einsatz
• Themenstränge im Mathematikunterricht
• Unterrichtsthemen im Mathematikunterricht