Potenzfunktionen - 3. Stufe: Unterschied zwischen den Versionen
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'''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - 3. Stufe - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | '''[[Potenzfunktionen|Start]] - [[Potenzfunktionen Einführung|Einführung]] - [[Potenzfunktionen 1. Stufe|1. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 2. Stufe|2. Stufe]] - 3. Stufe - [[Potenzfunktionen 4. Stufe|4. Stufe]] - [[Potenzfunktionen 5. Stufe|5. Stufe]]'''</div> | ||
Es sei stets IN<sub>0</sub>={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.<br /> | |||
'''Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form <math>\textstyle \frac{1}{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}</math> als Exponenten haben.''' Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: <math>0<\textstyle \frac{1}{n}\leq 1</math>. | |||
== Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | == Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x<sup>1/n</sup>, n <small>∈</small> IN == | ||
=== Funkztionsgraph kennenlernen === | |||
{| cellspacing="10" | |||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Im Applet rechst siehst Du den Graphen der Funktion <math>f(x)=x^{\frac 1 n}</math> für <math>n \in \{1,2,3,4,5\}</math>.<br /> | |||
# Beschreibe den Graphen und achte dabei auf | |||
#* Definitionsbereich | |||
#* Monotonie | |||
#* größte und kleinste Funktionswerte | |||
# Gibt es Punkte, die allen Graphen dieser Bauart gemeinsam sind? Begründe! Zur Hilfe kannst du auch die Schar der Graphen zeichnen lassen. <br> <pre>HINWEIS: Rechtsklick auf Graph - "Spur an" auswählen </pre> | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="450" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="Woerler_001b.ggb" /> | |||
|} | |||
=== Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | === Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2 === | ||
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}} | }} | ||
}}<br> | }}<br> | ||
|| <ggb_applet height=" | || <ggb_applet height="450" width="550" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | ||
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neue Datei {{ggb|Woerler_001.ggb|datei}} | |||
== Potenzen und Wurzeln == | == Potenzen und Wurzeln == | ||
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:<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | :<math>\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3\cdot 3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{3}^3 = 3.</math> | ||
== | == Einfluss von Parametern == | ||
<ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | {| cellspacing="10" | ||
|- style="vertical-align:top;" | |||
| {{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= | |||
Im nebenstehenden Applet kannst Du die Parameter <math>a</math> und <math>c</math> mit den Schiebereglern verändern.<br /> | |||
# Wie beeinflusst der Parameter a die Lage des Graphen? | |||
# Wie beeinflusst der Parameter c die Lage des Graphen? | |||
:{{Lösung versteckt| | |||
:Wenn der x-Wert ver-k-facht wird, dann wird der y-Wert ver-k<sup>n</sup>-facht. <br> | |||
:Symbolisch <math>f(k \cdot x) = (kx)^n = k^n \cdot x^n = k^n \cdot f(x)</math>. | |||
}} | |||
}}<br> | |||
|| <ggb_applet height="450" width="600" showMenuBar="false" showResetIcon="true" | |||
filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | filename="8_ax1nc_w.ggb" /> | ||
|} | |||
<!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> | <!--{{ggb|8_ax1nc_w.ggb|Datei hochladen}}--> |
Version vom 11. Februar 2009, 13:25 Uhr
Es sei stets IN0={0,1,2,...} und IN={1,2,3,..}.
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Graphen solcher Funktionen, die einen (positiven) Stammbruch der Form mit als Exponenten haben. Während in Stufe 1 und 2 dieses Kurses die Exponenten stets ganzzahlig waren, gilt für die Stammbrüche: .
Die Graphen der Funktionen mit f(x) = x1/n, n ∈ IN
Funkztionsgraph kennenlernen
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Vergleich mit Funktionen aus Stufe 2
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Potenzen und Wurzeln
Eine Funktion mit der Gleichung mit IR+ heißt n-te Wurzelfunktion.
Wegen: gilt: Potenzfunktionen mit sind n-te Wurzelfunktionen .
Im Falle nennt man die Wurzel "Quadratwurzel" und man schreibt:
Im Falle nennt man die Wurzel "Kubikwurzel", i. Z.: bzw. .
Beispiel: Quadratwurzeln
Beispielsweise ergibt sich die Länge der Diagonale in einem Quadrat der Seitenlänge über den Satz des Pythagoras () zu:
Die mathematisch richtige Lösung ist in dieser Situation nicht sinnvoll und kann vernachlässigt werden.
Auch die Länge der Raumdiagonale im Einheitswürfel (das ist ein Würfel mit der Kantenlänge s=1) ergibt sich über eine analoge Rechnung aus dem Satz des Satz des Pythagoras (hier: ) zu:
Auch hier wird man nur die physikalisch sinnvolle Lösung angeben.
Beispiel: Kubikwurzel
Das Volumen eines Würfels (lat.: "cubus") der Kantenlänge ergibt sich über:
Umgekehrt erhält man die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen durch ziehen der 3.-Wurzel:
Einfluss von Parametern
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*Zum Weiterdenken: Definitionsbereich der Wurzelfunktionen
Einschränkung auf IR+
Offenbar ergibt die Wurzelfunktion zumindest bei ungeradem n sowohl für positive als auch negative x Lösungen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Allerdings kann die Definition der Wurzelfunktion auf ganz IR auch zu Wiedersprüchen führen. An einem Beispiel wird die Problematik klar:
Um solche Fälle von Nicht-Eindeutigkeiten oder langen Fallunterscheidungen zu umgehen, schränkt man den Definitionsbereich ID der Wurzelfunktionen i.d.R. grundsätzlich auf die positiven reelle Zahlen ein, also:
- mit und
Wurzelfunktion auf ganz IR
Will man eine Wurzelfunktion g dennoch auf ganz IR definieren (d.h. ID = IR), dann muss man sie - nach obiger Vorüberlegung - aus zwei einzelnen Wurzelfunktionen zusammensetzen. Man definiere etwa g derart, dass
- .
Dann gilt: IDg = IR.